Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là \(ax + by = c\), trong đó \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0 (\(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\)).

• a) \(5x - 8y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 5 \ne 0, b = -8 \ne 0, c = 0\).
• b) \(4x + 0y = -2\) là phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 4 \ne 0, b = 0, c = -2\).
• c) \(0x + 0y = 1\) không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai hệ số \(a = 0\) và \(b = 0\).
• d) \(0x - 3y = 9\) là phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 0, b = -3 \ne 0, c = 9\).

Vậy các phương trình bậc nhất hai ẩn là a), b) và d) (Đáp án A).

Thay từng giá trị của \(x\) vào công thức \(y = 2x - 1\):

• Với \(x = -1 \implies y = 2(-1) - 1 = -3\).
• Với \(x = -0{,}5 \implies y = 2(-0{,}5) - 1 = -1 - 1 = -2\).
• Với \(x = 0 \implies y = 2(0) - 1 = -1\).
• Với \(x = 0{,}5 \implies y = 2(0{,}5) - 1 = 1 - 1 = 0\).
• Với \(x = 1 \implies y = 2(1) - 1 = 1\).
• Với \(x = 2 \implies y = 2(2) - 1 = 3\).

Ta được 6 nghiệm của phương trình là: \((-1; -3), (-0{,}5; -2), (0; -1), (0{,}5; 0), (1; 1), (2; 3)\).

Dãy giá trị tương ứng của \(y\) là: \(-3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 3\) (Đáp án A).

Từ phương trình \(2x - y = 1\), chuyển vế ta được: \(y = 2x - 1\).

Với mỗi giá trị tuỳ ý của \(x \in \mathbb{R}\), ta tính được một giá trị tương ứng của \(y = 2x - 1\).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \((x;\ 2x - 1)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tuỳ ý (hoặc viết dưới dạng hệ: \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2x - 1 \end{cases}\)) (Đáp án A).

• Nghiệm tổng quát: Từ \(2x - y = 3 \iff y = 2x - 3\). Nghiệm tổng quát là \((x;\ 2x - 3)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tuỳ ý.

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) bởi đường thẳng \(d: y = 2x - 3\).

• Cho \(x = 0 \implies y = -3\), đường thẳng đi qua điểm \(A(0; -3)\) trên trục tung \(Oy\).
• Cho \(y = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1{,}5\), đường thẳng đi qua điểm \(B(1{,}5; 0)\) trên trục hoành \(Ox\).

Vậy đáp án đúng là A.

• Phương trình \(0x + 2y = -4 \iff 2y = -4 \iff y = -2\).

• Nghiệm tổng quát: Cặp số \((x;\ -2)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tuỳ ý (hoặc \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = -2 \end{cases}\)).

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) bởi đường thẳng \(y = -2\). Đường thẳng này đi qua điểm \((0; -2)\) trên trục tung và song song với trục hoành \(Ox\).

Vậy đáp án đúng là A.

• Phương trình \(3x + 0y = 5 \iff 3x = 5 \iff x = \frac{5}{3}\).

• Nghiệm tổng quát: Cặp số \(\left(\frac{5}{3};\ y\right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tuỳ ý (hoặc \(\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y \in \mathbb{R} \end{cases}\)).

• Biểu diễn hình học: Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) bởi đường thẳng \(x = \frac{5}{3}\). Đường thẳng này đi qua điểm \(\left(\frac{5}{3};\ 0\right)\) trên trục hoành và song song với trục tung \(Oy\).

Vậy đáp án đúng là A.

Phương trình thứ nhất: \(2x = -6\) có thể viết lại là \(2x + 0y = -6\) (có \(a = 2 \ne 0, b = 0, c = -6\)), nên là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương trình thứ hai: \(5x + 4y = 1\) có \(a = 5 \ne 0, b = 4 \ne 0, c = 1\), nên là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó, hệ phương trình đã cho là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Đáp án A).

Thay \(x = -3\) và \(y = 4\) vào từng phương trình của hệ:

• Phương trình (1): \(2 \cdot (-3) = -6\) (thỏa mãn đẳng thức đúng).
• Phương trình (2): \(5 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = -15 + 16 = 1\) (thỏa mãn đẳng thức đúng).

Vì cặp số \((-3; 4)\) nghiệm đúng cả hai phương trình nên nó là một nghiệm của hệ phương trình đã cho (Đáp án A).

Thay lần lượt từng cặp số \((x; y)\) vào vế trái của phương trình \(5x + 4y = 8\):

• Với \((-2; 1)\): \(5(-2) + 4(1) = -10 + 4 = -6 \ne 8\) (loại).
• Với \((0; 2)\): \(5(0) + 4(2) = 8\) (thỏa mãn).
• Với \((1; 0)\): \(5(1) + 4(0) = 5 \ne 8\) (loại).
• Với \((1{,}5; 3)\): \(5(1{,}5) + 4(3) = 7{,}5 + 12 = 19{,}5 \ne 8\) (loại).
• Với \((4; -3)\): \(5(4) + 4(-3) = 20 - 12 = 8\) (thỏa mãn).

Vậy các cặp số là nghiệm của phương trình (1) là: \((0; 2)\) và \((4; -3)\) (Đáp án A).

Ở câu a, ta đã biết trong các cặp số đã cho, chỉ có \((0; 2)\) và \((4; -3)\) là nghiệm của phương trình (1).

Ta thử tiếp 2 cặp số này vào phương trình (2) \(3x + 5y = -3\):

• Với \((0; 2)\): \(3(0) + 5(2) = 10 \ne -3\) (không thỏa mãn).
• Với \((4; -3)\): \(3(4) + 5(-3) = 12 - 15 = -3\) (thỏa mãn).

Vậy cặp số \((4; -3)\) là nghiệm chung của cả hai phương trình, tức là nghiệm của hệ phương trình đã cho (Đáp án A).

Từ phương trình thứ nhất: \(x = y + 3\).

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

Thay \(y = 7\) vào biểu thức của \(x\): \(x = 7 + 3 = 10\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((10; 7)\) (Đáp án A).

Từ phương trình thứ hai: \(y = 2 - 4x\).

Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

Thay \(x = 1\) vào \(y = 2 - 4x\): \(y = 2 - 4(1) = -2\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((1; -2)\) (Đáp án B).

Từ phương trình thứ hai: \(x = 3y - 2\).

Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

Phương trình \(0y = 2\) vô nghiệm vì không có số thực \(y\) nào thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm (Đáp án C).

Hệ số của \(y\) trong hai phương trình đối nhau (\(2\) và \(-2\)).

Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

Thay \(x = 4\) vào phương trình \(3x + 2y = 6\):

Vậy hệ có nghiệm là \((4; -3)\) (Đáp án A).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 để hệ số của \(x\) bằng nhau:

Trừ từng vế hai phương trình:

Thay \(y = 3\) vào phương trình đầu: \(0{,}3x + 0{,}5(3) = 3 \iff 0{,}3x = 1{,}5 \iff x = 5\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((5; 3)\) (Đáp án B).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2:

Cộng từng vế hai phương trình, ta được: \(0x + 0y = 0\) (luôn đúng với mọi \(x, y\)).

Từ phương trình đầu: \(-2x + 6y = 8 \iff 6y = 2x + 8 \iff y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\).

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm dạng \(\left(x; \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) (Đáp án A).

Thay \(m = -2\) vào hệ phương trình, ta được:

Nhân hai vế của (1) với 4: \(8x - 4y = -12\). Cộng với (2):

Thay \(y = -\frac{9}{5}\) vào (1): \(2x - \left(-\frac{9}{5}\right) = -3 \iff 2x = -\frac{24}{5} \iff x = -\frac{12}{5} = -2{,}4\).

Vậy khi \(m = -2\), nghiệm của hệ là \(\left(-\frac{12}{5}; -\frac{9}{5}\right)\) (Đáp án A).

Thay \(m = -3\) vào hệ phương trình, ta được:

Chia hai vế của phương trình (2) cho \(-9\), ta được: \(2x - y = 0\).

Khi đó hệ trở thành \(\begin{cases} 2x - y = -3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}\). Trừ từng vế hai phương trình ta được \(0 = -3\) (vô lý).

Vậy khi \(m = -3\), hệ phương trình vô nghiệm (Đáp án B).