Toán 9 • Chương VIII: Xác suất của biến cố

Bài 25: Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Bước đầu xây dựng nền tảng lý thuyết xác suất toán học: nhận biết phép thử ngẫu nhiên, liệt kê toàn diện không gian mẫu $\Omega$ bằng sơ đồ hình cây và bảng toạ độ hai chiều.

Phép thử ngẫu nhiên và Không gian mẫu

Định nghĩa cơ bản

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử): là một hành động hay thực nghiệm mà ta không thể dự đoán trước chính xác kết quả của nó, nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Không gian mẫu của phép thử: là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra, ký hiệu là $\Omega$ (đọc là Ô-mê-ga).
Số phần tử của không gian mẫu được ký hiệu là $n(\Omega)$ hoặc $|\Omega|$.

Ví dụ kinh điển:

Gieo một con xúc xắc 6 mặt: $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \implies n(\Omega) = 6$.
Tung một đồng xu: $\Omega = \{S; N\}$ ($S$: sấp, $N$: ngửa) $\implies n(\Omega) = 2$.

Phương pháp mô tả không gian mẫu

1. Phương pháp Sơ đồ hình cây

Rất trực quan và hiệu quả khi phép thử trải qua nhiều giai đoạn liên tiếp (ví dụ: tung đồng xu rồi gieo xúc xắc, hoặc tung liên tiếp 3 đồng xu).

Mỗi nhánh của cây tương ứng với một kết quả có thể xảy ra ở từng bước. Một kết quả của phép thử là một đường đi từ gốc đến ngọn nhánh cây.

2. Phương pháp Bảng hai chiều

Thích hợp cho phép thử gồm hai giai đoạn hoặc gieo đồng thời hai đối tượng (như gieo 2 con xúc xắc, rút lần lượt 2 thẻ số).

Dòng biểu diễn kết quả của đối tượng thứ nhất, cột biểu diễn kết quả của đối tượng thứ hai. Ô giao nhau là một phần tử $(a; b)$ của $\Omega$.

Ví dụ: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối

Mỗi kết quả là một cặp số $(i; j)$ trong đó $i$ là số chấm ở con xúc xắc thứ nhất, $j$ là số chấm ở con xúc xắc thứ hai ($1 \le i, j \le 6$).

Xem không gian mẫu

Số kết quả có thể xảy ra của con xúc xắc thứ nhất là $6$, của con xúc xắc thứ hai là $6$.

Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là:

$$n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$$

Tập hợp $\Omega = \{(1; 1), (1; 2), \dots, (1; 6), (2; 1), \dots, (6; 6)\}$.

Biến cố và Kết quả thuận lợi

Mối liên hệ tập hợp

Biến cố liên quan đến một phép thử là một sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra sau khi thực hiện phép thử.

Mỗi biến cố $E$ được đồng nhất với một tập con của không gian mẫu: $E \subset \Omega$.
Các phần tử thuộc $E$ được gọi là các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.
Biến cố chắc chắn là tập $\Omega$; Biến cố không thể là tập rỗng $\emptyset$.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là:

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa SGK, không gian mẫu của một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó, ký hiệu là $\Omega$.