SGK Toán 6 Tập 1 - Kết nối tri thức Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên Trang 29 – 33

Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất

Khám phá quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên, làm quen với khái niệm ước và bội; nắm vững phương pháp tìm tập các ước và tập các bội; vận dụng thành thạo hai tính chất chia hết của một tổng, hiệu để xét tính chia hết nhanh gọn mà không cần tính giá trị biểu thức.

Khái niệm, thuật ngữ

Chia hết.
Ước.
Bội.

Kiến thức, kĩ năng

Nhận biết quan hệ chia hết, khái niệm ước và bội.
Tìm các ước và bội của một số tự nhiên.
Nhận biết tính chất chia hết của một tổng cho một số.

Bài toán mở đầu: Chia phần thưởng bút cho 4 tổ (SGK trang 29)

Tình huống thực tế

"Trong đợt tổng kết học kì I, lớp 6A được Hội cha mẹ học sinh thưởng $50$ cái bút. Nhà trường lại thưởng thêm cho lớp $4$ hộp bút nữa (số bút trong mỗi hộp là như nhau). Các bạn đề nghị chia đều toàn bộ số phần thưởng cho $4$ tổ. Nếu không biết số bút trong mỗi hộp, ta có thể chia đều số bút đó cho $4$ tổ được không?"

Câu hỏi gợi mở: Liệu không cần biết số lượng cụ thể trong mỗi hộp, tính chất chia hết của một tổng có giúp chúng ta trả lời ngay được câu hỏi này hay không? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu bài học hôm nay!

Quan hệ chia hết

a) Khi nào thì số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ ($b \ne 0$)?

Bạn Vuông hỏi

Thử thách chia hết

"Trong hai số $15$ và $16$, số nào chia hết cho $3$, số nào không chia hết cho $3$?"

Bạn Tròn trả lời

Quan sát phép chia

"Số $15$ chia hết cho $3$ vì $15 : 3 = 5$ (phép chia hết). Còn số $16$ không chia hết cho $3$ vì $16 : 3 = 5$ dư $1$."

Định nghĩa quan hệ chia hết trong $\mathbb{N}$:

Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ ($b \ne 0$). Nếu có số tự nhiên $k$ sao cho $a = k \cdot b$ thì ta nói rằng $a$ chia hết cho $b$ và kí hiệu là $a \ \vdots \ b$.

Nếu $a$ không chia hết cho $b$, ta kí hiệu là $a \ \not\vdots \ b$.

Ví dụ: $15 \ \vdots \ 3$ (đọc là $15$ chia hết cho $3$); $\quad 16 \ \not\vdots \ 3$ (đọc là $16$ không chia hết cho $3$).

Câu hỏi SGK trang 30: Tìm kí hiệu thích hợp ($\vdots$ hoặc $\not\vdots$) thay cho dấu "?":

$24 \ ? \ 6$ → $24 \ \vdots \ 6$

$45 \ ? \ 10$ → $45 \ \not\vdots \ 10$

$35 \ ? \ 5$ → $35 \ \vdots \ 5$

$42 \ ? \ 4$ → $42 \ \not\vdots \ 4$

Ví dụ 1 (SGK trang 30)

Nhân dịp sinh nhật, mẹ cho Việt $12$ gói kẹo để liên hoan với các bạn, mỗi gói có $35$ chiếc. Biết lớp Việt có $5$ tổ, hỏi Việt có thể chia đều số kẹo cho các tổ không?

Lời giải:
Tổng số kẹo của Việt là: $12 \cdot 35$ (chiếc).
Vì $35 \ \vdots \ 5$ nên tích $(12 \cdot 35) \ \vdots \ 5$.
Do đó, Việt hoàn toàn có thể chia đều số kẹo cho mỗi tổ.

Mẹo Robot ghi nhớ tính chia hết của một tích

Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chia hết cho một số thì cả tích đó chia hết cho số đó.

Tổng quát: Nếu $a \ \vdots \ m$ thì $(a \cdot b) \ \vdots \ m$ với mọi số tự nhiên $b$.

b) Khái niệm Ước và Bội

Từ phép tính chia hết: $15 : 3 = 5$ (tức $15 \ \vdots \ 3$)

$3$ là ƯỚC của $15$ (Số chia là ước)

$15$ là BỘI của $3$ (Số bị chia là bội)

Nếu $a$ chia hết cho $b$ ($a \ \vdots \ b$), ta nói $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b$.

• Kí hiệu tập hợp các ước của $a$ là: $\mathcal{U}(a)$.

• Kí hiệu tập hợp các bội của $b$ là: $\mathcal{B}(b)$.

Tranh luận: Bạn Vuông hay Bạn Tròn đúng? (SGK trang 30)

Bạn Vuông nói:

"$5$ là ước của $15$."

✓ ĐÚNG (vì $15 \ \vdots \ 5$)

Bạn Tròn nói:

"$6$ là ước của $15$."

✗ SAI (vì $15 \ \not\vdots \ 6$)

c) Cách tìm ước và bội của một số tự nhiên (SGK trang 31)

HĐ1: Tìm tập hợp các ước của 12

Lần lượt chia $12$ cho các số từ $1$ đến $12$. Các số mà $12$ chia hết là: $1; 2; 3; 4; 6; 12$.

⇒ $\mathcal{U}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$.

HĐ2: Tìm các bội của 8 nhỏ hơn 80

Nhân $8$ lần lượt với $0; 1; 2; 3; ...$ ta được: $0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72$.

⇒ Bội của $8$ nhỏ hơn $80$ gồm $10$ số trên.

Phương pháp tìm các ước của $a$ ($a > 1$)

Ta lần lượt chia $a$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $a$ để xem $a$ chia hết cho những số nào thì các số đó chính là ước của $a$.

Phương pháp tìm các bội của $b$ ($b \ne 0$)

Ta có thể tìm các bội của một số khác $0$ bằng cách nhân số đó lần lượt với $0; 1; 2; 3; 4; ...$

Ví dụ 2 (SGK trang 31)

• $\mathcal{U}(15) = \{1; 3; 5; 15\}$.

• Bội của $6$ nhỏ hơn $30$ là: $0; 6; 12; 18; 24$.

Luyện tập 1 (SGK trang 31)

• $\mathcal{U}(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}$.

• Bội của $4$ nhỏ hơn $50$: $\{0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48\}$.

Thử thách nhỏ (SGK trang 31)

Tìm ba ước khác nhau của $12$ có tổng bằng $12$:

$2 + 4 + 6 = 12$

Tính chất chia hết của một tổng

a) Tính chất 1: Trường hợp tất cả số hạng đều chia hết

TÍNH CHẤT 1 (SGK trang 31):

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Nếu $a \ \vdots \ m$ và $b \ \vdots \ m$ thì:
$(a + b) \ \vdots \ m$

Nếu $a \ \vdots \ m, b \ \vdots \ m, c \ \vdots \ m$ thì:
$(a + b + c) \ \vdots \ m$

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu: Chẳng hạn $30 \ \vdots \ 3$ và $18 \ \vdots \ 3$ suy ra $(30 - 18) \ \vdots \ 3$.

Ví dụ 3 (SGK trang 32)

Xét tổng $6 + 15 + 30$:

Vì $6 \ \vdots \ 3, 15 \ \vdots \ 3, 30 \ \vdots \ 3$
nên $(6 + 15 + 30) \ \vdots \ 3$.

Luyện tập 2 (SGK trang 32)

a) Vì $24 \ \vdots \ 4$ và $48 \ \vdots \ 4$ nên $(24 + 48) \ \vdots \ 4$.

b) Vì $48, 12, 36$ đều chia hết cho $6$ nên $(48 + 12 - 36) \ \vdots \ 6$.

Vận dụng 1 (SGK trang 32)

Tìm $x \in \{1; 14; 16; 22; 28\}$ để $21 + x \ \vdots \ 7$:

Vì $21 \ \vdots \ 7$ nên cần $x \ \vdots \ 7$.
Trong tập hợp có $14 \ \vdots \ 7$ và $28 \ \vdots \ 7$.
Vậy $x \in \{14; 28\}$.

b) Tính chất 2: Trường hợp có đúng một số hạng không chia hết

TÍNH CHẤT 2 (SGK trang 32):

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, còn các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

Nếu $a \ \vdots \ m$ và $b \ \not\vdots \ m$ thì:
$(a + b) \ \not\vdots \ m$

Nếu $a \ \vdots \ m, b \ \vdots \ m$ và $c \ \not\vdots \ m$ thì:
$(a + b + c) \ \not\vdots \ m$

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu: Chẳng hạn $45 \ \vdots \ 5$ và $7 \ \not\vdots \ 5$ suy ra $(45 - 7) \ \not\vdots \ 5$; hay $15 \ \not\vdots \ 4$ và $8 \ \vdots \ 4$ suy ra $(15 - 8) \ \not\vdots \ 4$.

Ví dụ 4 (SGK trang 32)

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết $5 + 45 + 2019$ có chia hết cho $5$ không? Vì sao?

Giải: Vì $5 \ \vdots \ 5, 45 \ \vdots \ 5$ và $2019 \ \not\vdots \ 5$ nên theo Tính chất 2, tổng $(5 + 45 + 2019) \ \not\vdots \ 5$.

Ví dụ 5: Lời giải bài toán mở đầu (SGK trang 32)

Trở lại tình huống mở đầu: Vì số bút trong các hộp bút bằng nhau nên tổng số bút trong $4$ hộp là một số chia hết cho $4$.
Vì $50$ không chia hết cho $4$ ($50 \ \not\vdots \ 4$) nên tổng số bút được thưởng không thể chia đều cho 4 tổ.

Luyện tập 3 (SGK trang 33)

a) Vì $20 \ \vdots \ 5$ mà $81 \ \not\vdots \ 5$ nên $(20 + 81) \ \not\vdots \ 5$.

b) Vì $28 \ \vdots \ 4, 12 \ \vdots \ 4$ mà $34 \ \not\vdots \ 4$ nên $(34 + 28 - 12) \ \not\vdots \ 4$.

Vận dụng 2 (SGK trang 33)

Tìm $x \in \{5; 25; 39; 54\}$ sao cho tổng $20 + 45 + x$ không chia hết cho $5$.

Vì $20 \ \vdots \ 5$ và $45 \ \vdots \ 5$ nên để tổng không chia hết cho $5$ thì $x \ \not\vdots \ 5$. Trong tập hợp có $39$ và $54$ không chia hết cho $5$. Vậy $x \in \{39; 54\}$.

Góc tranh luận: Phản ví dụ kinh điển trong số học (SGK trang 33)

Bạn Vuông nêu ý kiến:

"Hai số không chia hết cho $4$ thì tổng của chúng cũng không chia hết cho $4$."

Bạn Tròn phản bác:

"Tớ thấy không đúng. Còn bạn thì sao?"

Kết luận toán học: Bạn Tròn nói hoàn toàn chính xác!
Phản ví dụ: Xét số $2$ và $6$. Cả hai số này đều không chia hết cho $4$ ($2 \ \not\vdots \ 4$ và $6 \ \not\vdots \ 4$), nhưng tổng của chúng là $2 + 6 = 8$ lại chia hết cho $4$ ($8 \ \vdots \ 4$). Tương tự, $1 + 3 = 4 \ \vdots \ 4$.
Lưu ý vàng: Tính chất 2 chỉ đúng khi có ĐÚNG MỘT số hạng không chia hết cho $m$. Nếu có từ hai số hạng trở lên không chia hết thì tổng vẫn có thể chia hết!

Bảng tổng kết kiến thức cốt lõi Bài 8

1. Quan hệ chia hết

$a = k \cdot b \implies a \ \vdots \ b$.
$b$ là ước của $a$.
$a$ là bội của $b$.
Tập ước: $\mathcal{U}(a)$; Tập bội: $\mathcal{B}(b)$.

2. Tính chất 1 (Chia hết)

$a \ \vdots \ m$ và $b \ \vdots \ m \implies (a + b) \ \vdots \ m$.
Đúng với tổng nhiều số hạng.
Đúng với phép trừ: $(a - b) \ \vdots \ m$.
Mọi số hạng đều chia hết.

3. Tính chất 2 (Không chia hết)

$a \ \vdots \ m$ và $b \ \not\vdots \ m \implies (a + b) \ \not\vdots \ m$.
Đúng với hiệu: $(a - b) \ \not\vdots \ m$.
Điều kiện: Có duy nhất 1 số hạng không chia hết.
Nhiều số không chia hết thì tổng vẫn có thể chia hết.

Hãy tìm tập hợp tất cả các ước của số $30$.

Lời giải chi tiết:

Lần lượt chia $30$ cho các số tự nhiên từ $1$ đến $30$, ta thấy $30$ chia hết cho các số: $1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30$.
Do đó, tập hợp các ước của $30$ là:
$$\mathcal{U}(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}.$$
*(Chú ý: Số $0$ không phải là ước của bất kì số tự nhiên nào)*.