Bài tập cuối chương V
Tổng kết và ôn tập toàn bộ kiến thức Chương V: Đường tròn, tính chất đối xứng, đường kính và dây cung; số đo cung, độ dài cung và diện tích hình quạt tròn, vành khuyên; vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, hai đường tròn. Lời giải chi tiết toàn bộ các bài tập trắc nghiệm và tự luận SGK trang 112 - 113.
Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương V: Đường tròn
1. Định nghĩa, Dây cung & Tính chất đối xứng
• Đường tròn $(O; R)$: Tập hợp điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng $R$.
• Vị trí của điểm: $M$ trong $(O) \iff OM < R$; $M$ trên $(O) \iff OM = R$; $M$ ngoài $(O) \iff OM > R$.
• Đường kính và dây: Đường kính là dây lớn nhất. Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
• Đối xứng: Tâm đối xứng là $O$, trục đối xứng là mọi đường thẳng đi qua tâm $O$.
2. Công thức Độ dài & Diện tích đường tròn
• Độ dài đường tròn: $C = 2\pi R = \pi d$.
• Độ dài cung tròn $n^\circ$: $l = \dfrac{\pi R n}{180}$.
• Diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$.
• Diện tích hình quạt tròn $n^\circ$: $S_q = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{l R}{2}$.
• Diện tích hình vành khuyên: $S_{vk} = \pi(R_2^2 - R_1^2)$ ($R_2 > R_1$).
Bài tập trắc nghiệm trong SGK (Trang 112)
Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và hai điểm $A, B$. Biết rằng $OA = \sqrt{15}\text{ cm}$ và $OB = 4\text{ cm}$. Khi đó:
Xem lời giải chi tiết
Ta so sánh khoảng cách từ điểm đến tâm $O$ với bán kính $R = 4\text{ cm}$:
- Vì $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$, suy ra $OA < R$, nên điểm $A$ nằm trong đường tròn $(O)$.
- Vì $OB = 4 = R$, suy ra điểm $B$ nằm trên đường tròn $(O)$.
Chọn đáp án: D.
Cho Hình 5.43, trong đó $BD$ là đường kính, $\widehat{AOB} = 40^\circ; \widehat{BOC} = 100^\circ$. Khi đó:
Xem lời giải chi tiết
Vì $BD$ là đường kính của $(O)$ nên $B, O, D$ thẳng hàng ($\widehat{BOD} = 180^\circ$):
- Góc ở tâm $\widehat{COD} = 180^\circ - \widehat{BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \implies \text{sđ }\overparen{DC} = 80^\circ$.
- Góc ở tâm $\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \implies \text{sđ }\overparen{AD} = 140^\circ$.
Chọn đáp án: D.
Cho hai đường tròn $(A; R_1), (B; R_2)$, trong đó $R_2 < R_1$. Biết rằng hai đường tròn $(A)$ và $(B)$ cắt nhau (H.5.44). Khi đó:
Xem lời giải chi tiết
Gọi $C$ là một trong hai giao điểm của $(A; R_1)$ và $(B; R_2)$. Trong tam giác $ABC$, ba cạnh là $AC = R_1, BC = R_2, AB$. Theo bất đẳng thức tam giác:
$R_1 - R_2 < AB < R_1 + R_2$.
Chọn đáp án: B.
Cho đường tròn $(O; R)$ và hai đường thẳng $a_1$ và $a_2$. Gọi $d_1, d_2$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $O$ đến $a_1$ và $a_2$. Biết rằng $(O)$ cắt $a_1$ và tiếp xúc với $a_2$ (H.5.45). Khi đó:
Xem lời giải chi tiết
Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính $R$:
- Đường thẳng $a_1$ cắt đường tròn $(O) \iff d_1 < R$.
- Đường thẳng $a_2$ tiếp xúc đường tròn $(O) \iff d_2 = R$.
Chọn đáp án: A.
Bài tập tự luận trong SGK (Trang 112 - 113)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ và điểm $A$ (khác $B$ và $C$).
a) Chứng minh rằng nếu $A$ nằm trên $(O)$ thì $ABC$ là một tam giác vuông; ngược lại, nếu $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ thì $A$ nằm trên $(O)$.
b) Giả sử $A$ là một trong hai giao điểm của đường tròn $(B; BO)$ với đường tròn $(O)$. Tính các góc của tam giác $ABC$.
c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung $AC$ và diện tích hình quạt nằm trong $(O)$ giới hạn bởi các bán kính $OA$ và $OC$, biết rằng $BC = 6\text{ cm}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Chứng minh hai chiều:
- Chiều thuận: Nếu $A \in (O)$, vì $BC$ là đường kính nên $OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2}$. Trong tam giác $ABC$, trung tuyến $AO = \dfrac{BC}{2}$ nên $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
- Chiều nghịch: Nếu $\triangle ABC$ vuông tại $A$, gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$. Khi đó trung tuyến $AO = \dfrac{BC}{2} = OB = OC = R$. Do đó $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.
b) Tính các góc của tam giác $ABC$:
Vì $A$ thuộc đường tròn $(B; BO)$ nên $BA = BO$. Lại có $OA = BO = R$ vì $A \in (O)$.
Suy ra $OA = OB = AB = R$, tam giác $OAB$ đều $\implies \widehat{B} = 60^\circ$.
Theo câu a, $\triangle ABC$ vuông tại $A \implies \widehat{A} = 90^\circ$, do đó $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
c) Độ dài cung $AC$ và diện tích quạt tròn $OAC$ ($BC = 6\text{ cm}$):
Bán kính $R = \dfrac{BC}{2} = 3\text{ cm}$.
Góc ở tâm $\widehat{AOC} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
- Độ dài cung nhỏ $AC$: $$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi\text{ (cm)} \approx 6{,}28\text{ cm}.$$
- Diện tích hình quạt $OAC$: $$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = 3\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 9{,}42\text{ cm}^2.$$
Cho $AB$ là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn $(O; 4\text{ cm})$. Gọi $C$ và $D$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua tâm $O$.
a) Hai điểm $C$ và $D$ có nằm trên đường tròn $(O)$ không? Vì sao?
b) Biết rằng $ABCD$ là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn $AB$ và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính $OA$ và $OB$.
Xem lời giải chi tiết
a) Điểm $C$ và $D$ có nằm trên $(O)$:
Vì $C$ đối xứng với $A$ qua tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC \implies OC = OA = 4\text{ cm} = R \implies C \in (O)$.
Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD \implies OD = OB = 4\text{ cm} = R \implies D \in (O)$.
b) Tính cung lớn $AB$ và diện tích hình quạt $OAB$:
Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC \perp BD$ tại trung điểm $O \implies \widehat{AOB} = 90^\circ$.
- Số đo cung nhỏ $AB$ là $90^\circ \implies$ số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.
- Độ dài cung lớn $AB$: $$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 4 \cdot 270}{180} = 6\pi\text{ (cm)} \approx 18{,}85\text{ cm}.$$
- Diện tích hình quạt tròn nhỏ tạo bởi $OA, OB$: $$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = 4\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 12{,}57\text{ cm}^2.$$
Cho điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$, sao cho $AB = 2\text{ cm}$ và $BC = 1\text{ cm}$. Vẽ các đường tròn $(A; 1{,}5\text{ cm})$, $(B; 3\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$. Hãy xác định các cặp đường tròn:
a) Cắt nhau;
b) Không giao nhau;
c) Tiếp xúc với nhau.
Xem lời giải chi tiết
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên khoảng cách $AC = AB + BC = 2 + 1 = 3\text{ cm}$.
- Cặp $(A; 1{,}5\text{ cm})$ và $(B; 3\text{ cm})$:
Khoảng cách nối tâm $d = AB = 2\text{ cm}$.
Hiệu bán kính: $3 - 1{,}5 = 1{,}5\text{ cm}$; Tổng bán kính: $3 + 1{,}5 = 4{,}5\text{ cm}$.
Vì $1{,}5 < 2 < 4{,}5 \implies$ Hai đường tròn $(A)$ và $(B)$ cắt nhau. - Cặp $(B; 3\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$:
Khoảng cách nối tâm $d = BC = 1\text{ cm}$.
Hiệu bán kính: $3 - 2 = 1\text{ cm} = d$.
Vì $d = R_B - R_C \implies$ Hai đường tròn $(B)$ và $(C)$ tiếp xúc trong với nhau. - Cặp $(A; 1{,}5\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$:
Khoảng cách nối tâm $d = AC = 3\text{ cm}$.
Hiệu bán kính: $2 - 1{,}5 = 0{,}5\text{ cm}$; Tổng bán kính: $2 + 1{,}5 = 3{,}5\text{ cm}$.
Vì $0{,}5 < 3 < 3{,}5 \implies$ Hai đường tròn $(A)$ và $(C)$ cắt nhau.
Kết luận:
a) Cắt nhau: Cặp $(A)$ và $(B)$; Cặp $(A)$ và $(C)$.
b) Không giao nhau: Không có cặp nào.
c) Tiếp xúc nhau: Cặp $(B)$ và $(C)$ (tiếp xúc trong).
Cho tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{A}$ vuông). Vẽ hai đường tròn $(B; BA)$ và $(C; CA)$ cắt nhau tại $A$ và $A'$. Chứng minh rằng:
a) $BA$ và $BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(C; CA)$;
b) $CA$ và $CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(B; BA)$.
Xem lời giải chi tiết
a) $BA, BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(C; CA)$:
- Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $BA \perp CA$ tại $A \in (C; CA) \implies BA$ là tiếp tuyến của $(C; CA)$.
- Hai đường tròn $(B; BA)$ và $(C; CA)$ cắt nhau tại $A$ và $A'$ nên đoạn thẳng $BC$ là đường trung trực của đoạn $AA'$. Do đó $\triangle CBA = \triangle CBA'$ (c-c-c), suy ra $\widehat{CA'B} = \widehat{CAB} = 90^\circ$.
- Vì $BA' \perp CA'$ tại $A' \in (C; CA)$ nên $BA'$ là tiếp tuyến của $(C; CA)$.
- Vậy $BA$ và $BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $B$ của $(C; CA)$.
b) $CA, CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(B; BA)$:
Chứng minh hoàn toàn tương tự:
- Vì $CA \perp BA$ tại $A \in (B; BA)$ nên $CA$ là tiếp tuyến của $(B; BA)$.
- Vì $\widehat{BA'C} = 90^\circ \implies CA' \perp BA'$ tại $A' \in (B; BA)$, nên $CA'$ là tiếp tuyến của $(B; BA)$.
- Vậy $CA$ và $CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ của $(B; BA)$.
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(O)$ tại $E$ và cắt $(O')$ tại $F$ ($E$ và $F$ khác $A$). Biết điểm $A$ nằm trong đoạn $EF$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AE$ và $AF$ (H.5.46).
a) Chứng minh rằng tứ giác $OO'KI$ là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng $IK = \dfrac{1}{2}EF$.
c) Khi $d$ ở vị trí nào ($d$ vẫn qua $A$) thì $OO'KI$ là một hình chữ nhật?
Xem lời giải chi tiết
a) Tứ giác $OO'KI$ là hình thang vuông:
- Trong $(O)$, $I$ là trung điểm dây $AE \implies OI \perp AE$, hay $OI \perp d$.
- Trong $(O')$, $K$ là trung điểm dây $AF \implies O'K \perp AF$, hay $O'K \perp d$.
- Suy ra $OI \parallel O'K$ (vì cùng vuông góc với $d$). Tứ giác $OO'KI$ có $OI \parallel O'K$ nên là hình thang, và có $\widehat{OIK} = 90^\circ$ nên là hình thang vuông.
b) Chứng minh $IK = \dfrac{1}{2}EF$:
Vì $A$ nằm giữa $E$ và $F$, $I$ là trung điểm $AE$, $K$ là trung điểm $AF$ nên:
$$IK = IA + AK = \dfrac{1}{2}AE + \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{1}{2}(AE + AF) = \dfrac{1}{2}EF.$$c) Điều kiện để $OO'KI$ là hình chữ nhật:
Hình thang vuông $OO'KI$ là hình chữ nhật $\iff OI = O'K \iff OO' \parallel IK \iff d \parallel OO'$.
Vậy khi đường thẳng $d$ song song với đường nối tâm $OO'$ thì $OO'KI$ là hình chữ nhật.
Ta so sánh khoảng cách từ tâm $O$ đến các điểm với bán kính $R = 4\text{ cm}$:
- Vì $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$ nên $OA < R$, suy ra điểm $A$ nằm trong $(O)$.
- Vì $OB = 4 = R$ nên điểm $B$ nằm trên $(O)$.
Do đó điểm $A$ nằm trong $(O)$ và điểm $B$ nằm trên $(O)$.
Vì $BD$ là đường kính nên $\widehat{BOD} = 180^\circ$:
- Góc ở tâm $\widehat{COD} = 180^\circ - \widehat{BOC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \implies \text{sđ }\overparen{DC} = 80^\circ$.
- Góc ở tâm $\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{AOB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \implies \text{sđ }\overparen{AD} = 140^\circ$.
Hai đường tròn $(A; R_1)$ và $(B; R_2)$ cắt nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:
$R_1 - R_2 < AB < R_1 + R_2$.
Theo lý thuyết vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn:
- Đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách nhỏ hơn bán kính: $d_1 < R$.
- Đường thẳng tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách bằng bán kính: $d_2 = R$.
Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền là điều kiện cần và đủ để tam giác vuông:
- $A \in (O) \iff OA = \dfrac{BC}{2} \iff \triangle ABC$ vuông tại $A$.
Vì $A \in (B; BO)$ nên $BA = BO = R$.
Vì $A \in (O)$ nên $OA = R$. Do đó tam giác $OAB$ có $OA = OB = AB = R$ nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{B} = 60^\circ$.
Vì $A$ thuộc $(O)$ đường kính $BC$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Bán kính đường tròn là $R = \dfrac{BC}{2} = 3\text{ cm}$.
Vì tam giác $OAB$ đều nên $\widehat{AOB} = 60^\circ \implies \widehat{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Độ dài cung nhỏ $AC$ là:
$$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi\text{ (cm)}.$$
Bán kính $R = 3\text{ cm}$, số đo cung $n = 120^\circ$.
Diện tích hình quạt tròn là:
$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 1}{3} = 3\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$
Vì $C$ đối xứng với $A$ qua tâm $O$ nên $OC = OA = 4\text{ cm} = R$, suy ra $C \in (O)$.
Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $OD = OB = 4\text{ cm} = R$, suy ra $D \in (O)$.
Do đó cả $C$ và $D$ đều nằm trên đường tròn $(O)$.
Cung nhỏ $AB$ có số đo $90^\circ$. Diện tích hình quạt tròn tương ứng là:
$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = \dfrac{16\pi}{4} = 4\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$
Ta xét cặp $(B; 3\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$:
Khoảng cách giữa hai tâm là $d = BC = 1\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính là $R_B - R_C = 3 - 2 = 1\text{ cm} = d$.
Vì $d = R_B - R_C$ nên hai đường tròn $(B)$ và $(C)$ tiếp xúc trong, không phải tiếp xúc ngoài. Do đó câu C là sai.
Đường kính qua trung điểm của dây không qua tâm thì vuông góc với dây:
- $I$ là trung điểm dây $AE \implies OI \perp EF$.
- $K$ là trung điểm dây $AF \implies O'K \perp EF$.
Suy ra $OI \parallel O'K$ (cùng vuông góc với $EF$), do đó tứ giác $OO'KI$ là hình thang. Vì $\widehat{OIK} = 90^\circ$ nên $OO'KI$ là hình thang vuông.
Vì điểm $A$ nằm giữa $E$ và $F$ nên $EF = AE + AF$.
Vì $I$ là trung điểm $AE$, $K$ là trung điểm $AF$ nên:
$$IK = IA + AK = \dfrac{1}{2}AE + \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{1}{2}(AE + AF) = \dfrac{1}{2}EF.$$
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 3 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!