Toán 7 • Tập 2 • Chương VII

BÀI 27: PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN

Nắm vững quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức; áp dụng tính chất phân phối, giao hoán, kết hợp để rút gọn biểu thức và giải các bài toán thực tế thú vị.

Khái niệm, thuật ngữ

Tích của hai đa thức; tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Kiến thức, kĩ năng

Thực hiện thành thạo phép tính nhân đơn thức với đa thức và nhân hai đa thức một biến.
Nhận biết và vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối trong tính toán.
Giải thích bí mật trò chơi đoán tuổi và tính diện tích, thể tích thực tiễn.

Tình huống mở đầu: Bài toán đoán tuổi (SGK trang 36)

Anh Pi bảo em:

• Lấy tuổi của mình cộng với $1$ rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ nhất.

• Lại lấy tuổi của mình trừ đi $1$ rồi bình phương lên. Số nhận được gọi là kết quả thứ hai.

• Lấy kết quả thứ nhất trừ đi kết quả thứ hai và cho anh biết kết quả cuối cùng. Anh sẽ đoán được tuổi của em!

Không biết anh Pi làm thế nào nhỉ? Học xong bài này em sẽ khám phá được bí mật đó!

Nhân Đơn Thức Với Đa Thức

HĐ1: Nhân hai đơn thức

Nhắc lại cách nhân hai đơn thức và tính: $(12x^3) \cdot (-5x^2)$.

$$(12x^3) \cdot (-5x^2) = [12 \cdot (-5)] \cdot (x^3 \cdot x^2) = -60x^{3+2} = -60x^5$$

HĐ2: Tính chất phân phối

Áp dụng tính chất phân phối $A(B + C) = AB + AC$, tính $2x \cdot (3x^2 - 8x + 1)$:

$$2x(3x^2 - 8x + 1) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-8x) + 2x \cdot 1 = 6x^3 - 16x^2 + 2x$$

Quy tắc: Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau:

$$A \cdot (B + C + D) = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D$$

Ví dụ 1 (SGK trang 36)

Tính: $(-2x^3) \cdot \left(\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5\right)$.

$$\begin{aligned} (-2x^3) \cdot \left(\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5\right) &= (-2x^3) \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + (-2x^3) \cdot (3x) + (-2x^3) \cdot (-5) \\ &= -x^5 - 6x^4 + 10x^3 \end{aligned}$$

Luyện tập 1 (SGK trang 36)

Tính: $(-2x^2) \cdot (3x - 4x^3 + 7 - x^2)$.

Xem lời giải Luyện tập 1

$$\begin{aligned} (-2x^2) \cdot (3x - 4x^3 + 7 - x^2) &= (-2x^2) \cdot (3x) + (-2x^2) \cdot (-4x^3) + (-2x^2) \cdot 7 + (-2x^2) \cdot (-x^2) \\ &= -6x^3 + 8x^5 - 14x^2 + 2x^4 \\ &= 8x^5 + 2x^4 - 6x^3 - 14x^2 \end{aligned}$$

Vận dụng 1 (SGK trang 37)

a) Rút gọn biểu thức: $P(x) = 7x^2(x^2 - 5x + 2) - 5x(x^3 - 7x^2 + 3x)$.

b) Tính giá trị của biểu thức $P(x)$ khi $x = -\frac{1}{2}$.

Xem lời giải Vận dụng 1

a) Thực hiện phép nhân và rút gọn:

$$\begin{aligned} P(x) &= (7x^4 - 35x^3 + 14x^2) - (5x^4 - 35x^3 + 15x^2) \\ &= 7x^4 - 35x^3 + 14x^2 - 5x^4 + 35x^3 - 15x^2 \\ &= (7x^4 - 5x^4) + (-35x^3 + 35x^3) + (14x^2 - 15x^2) \\ &= 2x^4 - x^2 \end{aligned}$$

b) Với $x = -\frac{1}{2}$, ta có:

$$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}$$

Thử thách nhỏ (SGK trang 37)

Rút gọn biểu thức: $x^3(x + 2) - x(x^3 + 2^3) - 2x(x^2 - 2^2)$.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} &= x^3(x + 2) - x(x^3 + 8) - 2x(x^2 - 4) \\ &= x^4 + 2x^3 - x^4 - 8x - 2x^3 + 8x \\ &= (x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (-8x + 8x) = 0 \end{aligned}$$

Biểu thức có giá trị bằng $0$ với mọi biến $x$!

Nhân Đa Thức Với Đa Thức

Để tính $(2x - 3) \cdot (x^2 - 5x + 1)$, ta thực hiện theo $3$ bước (HĐ3 SGK):

Bước 1: Nhân $2x$ với đa thức $x^2 - 5x + 1 \implies 2x^3 - 10x^2 + 2x$.
Bước 2: Nhân $-3$ với đa thức $x^2 - 5x + 1 \implies -3x^2 + 15x - 3$.
Bước 3: Cộng các đa thức lại: $(2x^3 - 10x^2 + 2x) + (-3x^2 + 15x - 3) = 2x^3 - 13x^2 + 17x - 3$.

Quy tắc: Nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:

$$(A + B)(C + D) = A \cdot C + A \cdot D + B \cdot C + B \cdot D$$

Ví dụ 2: Đặt tính nhân theo cột dọc (SGK trang 37)

Thực hiện phép nhân: $(x + 3) \cdot (2x^2 - 3x - 5)$.

Cách 1: Nhân ngang rồi nhóm $$\begin{aligned} (x + 3)(2x^2 - 3x - 5) &= x(2x^2 - 3x - 5) + 3(2x^2 - 3x - 5) \\ &= 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6x^2 - 9x - 15 \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 14x - 15 \end{aligned}$$

Cách 2: Đặt tính cột dọc $$\begin{array}{rrrrr} & & 2x^2 & - 3x & - 5 \\ \times & & & x & + 3 \\ \hline & & 6x^2 & - 9x & - 15 \\ + & 2x^3 & - 3x^2 & - 5x & \\ \hline & 2x^3 & + 3x^2 & - 14x & - 15 \end{array}$$

Luyện tập 2 (SGK trang 38)

Tính: $(x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2)$.

Xem lời giải Luyện tập 2

$$\begin{aligned} (x^3 - 2x^2 + x - 1)(3x - 2) &= 3x(x^3 - 2x^2 + x - 1) - 2(x^3 - 2x^2 + x - 1) \\ &= 3x^4 - 6x^3 + 3x^2 - 3x - 2x^3 + 4x^2 - 2x + 2 \\ &= 3x^4 - 8x^3 + 7x^2 - 5x + 2 \end{aligned}$$

Vận dụng 2 (SGK trang 38)

Rút gọn biểu thức: $(x - 2)(2x^3 - x^2 + 1) + (x - 2)x^2(1 - 2x)$.

Xem lời giải

Đặt nhân tử chung $(x - 2)$:

$$\begin{aligned} &= (x - 2)[(2x^3 - x^2 + 1) + x^2(1 - 2x)] \\ &= (x - 2)[2x^3 - x^2 + 1 + x^2 - 2x^3] \\ &= (x - 2) \cdot 1 = x - 2 \end{aligned}$$

Vận dụng 3: Giải mã Pi (SGK trang 38)

Gọi $x$ là tuổi cần đoán.

Xem giải thích bí mật

• Kết quả thứ nhất: $(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + 2x + 1$.

• Kết quả thứ hai: $(x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x^2 - 2x + 1$.

• Kết quả cuối cùng: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$.

Lấy kết quả cuối cùng chia cho 4, anh Pi tìm được ngay tuổi $x$!

Bài tập Thực hành & Vận dụng (SGK Trang 38)

Bài 7.23 (SGK trang 38)

Thực hiện các phép nhân sau:

a) $6x^2 \cdot (2x^3 - 3x^2 + 5x - 4)$

b) $(-1{,}2x^2) \cdot (2{,}5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1{,}5)$

Xem lời giải chi tiết Bài 7.23

a) $6x^2(2x^3 - 3x^2 + 5x - 4) = 12x^5 - 18x^4 + 30x^3 - 24x^2$.

b) $(-1{,}2x^2)(2{,}5x^4 - 2x^3 + x^2 - 1{,}5) = -3x^6 + 2{,}4x^5 - 1{,}2x^4 + 1{,}8x^2$.

Bài 7.24 (SGK trang 38)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $4x^2(5x^2 + 3) - 6x(3x^3 - 2x + 1) - 5x^3(2x - 1)$

b) $\frac{3}{2}x\left(x^2 - \frac{2}{3}x + 2\right) - \frac{5}{3}x^2\left(x + \frac{6}{5}\right)$

Xem lời giải chi tiết Bài 7.24

a) Khai triển từng cụm tích:

$$\begin{aligned} &= (20x^4 + 12x^2) - (18x^4 - 12x^2 + 6x) - (10x^4 - 5x^3) \\ &= 20x^4 + 12x^2 - 18x^4 + 12x^2 - 6x - 10x^4 + 5x^3 \\ &= (20 - 18 - 10)x^4 + 5x^3 + (12 + 12)x^2 - 6x \\ &= -8x^4 + 5x^3 + 24x^2 - 6x \end{aligned}$$

b) Khai triển:

$$\begin{aligned} &= \left(\frac{3}{2}x^3 - x^2 + 3x\right) - \left(\frac{5}{3}x^3 + 2x^2\right) \\ &= \left(\frac{3}{2} - \frac{5}{3}\right)x^3 + (-1 - 2)x^2 + 3x \\ &= -\frac{1}{6}x^3 - 3x^2 + 3x \end{aligned}$$

Bài 7.25 (SGK trang 38)

Thực hiện các phép nhân sau:

a) $(x^2 - x) \cdot (2x^2 - x - 10)$

b) $(0{,}2x^2 - 3x) \cdot 5(x^2 - 7x + 3)$

Xem lời giải chi tiết Bài 7.25

a) Ta có:

$$\begin{aligned} (x^2 - x)(2x^2 - x - 10) &= x^2(2x^2 - x - 10) - x(2x^2 - x - 10) \\ &= 2x^4 - x^3 - 10x^2 - 2x^3 + x^2 + 10x \\ &= 2x^4 - 3x^3 - 9x^2 + 10x \end{aligned}$$

b) Nhân $5$ vào thừa số đầu tiên trước: $(0{,}2x^2 - 3x) \cdot 5 = x^2 - 15x$.

$$\begin{aligned} (x^2 - 15x)(x^2 - 7x + 3) &= x^2(x^2 - 7x + 3) - 15x(x^2 - 7x + 3) \\ &= x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 15x^3 + 105x^2 - 45x \\ &= x^4 - 22x^3 + 108x^2 - 45x \end{aligned}$$

Bài 7.26 (SGK trang 38)

a) Tính $(x^2 - 2x + 5) \cdot (x - 2)$.

b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân $(x^2 - 2x + 5) \cdot (2 - x)$. Giải thích cách làm.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.26

a) Ta có:

$$\begin{aligned} (x^2 - 2x + 5)(x - 2) &= x(x^2 - 2x + 5) - 2(x^2 - 2x + 5) \\ &= x^3 - 2x^2 + 5x - 2x^2 + 4x - 10 \\ &= x^3 - 4x^2 + 9x - 10 \end{aligned}$$

b) Nhận xét rằng $2 - x = -(x - 2)$. Do đó:

$$\begin{aligned} (x^2 - 2x + 5)(2 - x) &= (x^2 - 2x + 5) \cdot [-(x - 2)] \\ &= -[(x^2 - 2x + 5)(x - 2)] \\ &= -(x^3 - 4x^2 + 9x - 10) = -x^3 + 4x^2 - 9x + 10 \end{aligned}$$

Bài 7.27 (SGK trang 38)

Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là $x$; $x + 1$; $x - 1$ ($\text{cm}$) với $x > 1$. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: $\text{cm}^3$) của hình hộp chữ nhật đó.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.27

Thể tích của khối hộp chữ nhật là tích ba kích thước của nó:

$$V(x) = x \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) = x \cdot (x^2 - 1) = x^3 - x \quad (\text{cm}^3)$$

Bài 7.28 (SGK trang 38)

Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:

a) $(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4) \cdot (x^3 + 3x^2 - 5)$

b) $(-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1) \cdot (4x^3 - 2x + 6)$

Xem lời giải chi tiết Bài 7.28

a) Đặt tính nhân hoặc nhân từng hạng tử:

$$\begin{aligned} &= x^3(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4) + 3x^2(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4) - 5(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4) \\ &= (5x^6 - 2x^5 + 4x^4 - 4x^3) + (15x^5 - 6x^4 + 12x^3 - 12x^2) - (25x^3 - 10x^2 + 20x - 20) \\ &= 5x^6 + (-2 + 15)x^5 + (4 - 6)x^4 + (-4 + 12 - 25)x^3 + (-12 + 10)x^2 - 20x + 20 \\ &= 5x^6 + 13x^5 - 2x^4 - 17x^3 - 2x^2 - 20x + 20 \end{aligned}$$

b) Tương tự:

$$\begin{aligned} &= 4x^3(-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1) - 2x(-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1) + 6(-2{,}5x^4 + 0{,}5x^2 + 1) \\ &= (-10x^7 + 2x^5 + 4x^3) + (5x^5 - x^3 - 2x) + (-15x^4 + 3x^2 + 6) \\ &= -10x^7 + 7x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2x + 6 \end{aligned}$$

Bài 7.29 (SGK trang 38)

Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau $0{,}1\text{ m}$.

Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là $20$ chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là $x$. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.29

Trên mỗi cạnh của mảnh vườn, số khoảng cách giữa hai cọc liên tiếp luôn kém số cọc là $1$ đơn vị:

Số cọc trên chiều rộng là $x$ cọc $\implies$ có $x - 1$ khoảng cách. Do mỗi khoảng cách dài $0{,}1\text{ m}$ nên chiều rộng mảnh vườn là: $0{,}1(x - 1)\text{ (m)}$.
Số cọc trên chiều dài là $x + 20$ cọc $\implies$ có $x + 20 - 1 = x + 19$ khoảng cách. Do đó chiều dài mảnh vườn là: $0{,}1(x + 19)\text{ (m)}$.

Đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn là:

$$\begin{aligned} S(x) &= [0{,}1(x - 1)] \cdot [0{,}1(x + 19)] = 0{,}01 \cdot (x - 1)(x + 19) \\ &= 0{,}01 \cdot (x^2 + 19x - x - 19) = 0{,}01(x^2 + 18x - 19) \\ &= 0{,}01x^2 + 0{,}18x - 0{,}19 \quad (\text{m}^2) \end{aligned}$$

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến