a) Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

Đa thức $V$ có số mũ lớn nhất của biến $x$ là $3$, do đó $V$ là một đa thức bậc ba.

b) Hình hộp chữ nhật có $6$ mặt là $6$ hình chữ nhật:

• Hai mặt có kích thước $x$ và $x + 1$. Tổng diện tích là: $2x(x + 1)$.
• Hai mặt có kích thước $x + 1$ và $x + 2$. Tổng diện tích là: $2(x + 1)(x + 2)$.
• Hai mặt có kích thước $x$ và $x + 2$. Tổng diện tích là: $2x(x + 2)$.

Vậy diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đã cho là:

Đa thức $S$ có bậc cao nhất là $2$, do đó $S$ là một đa thức bậc hai.

Thực hiện đặt tính chia đa thức:

Đa thức dư trong phép chia là: $R = -11m + 110$.

• a) Khi $m = 0$, số dư là $-11(0) + 110 = 110 \neq 0$ nên phép chia không phải là phép chia hết.
• b) Khi $m = 10$, số dư là $-11(10) + 110 = -110 + 110 = 0$ nên phép chia là phép chia hết.

Vậy với $m = 10$, phép chia là phép chia hết.

Thực hiện từng cụm phép tính:

$$\begin{aligned} &= \left(\frac{5}{2}x - 2\right) + (x^3 + 2) - (x^3 - x) \\ &= 2{,}5x - 2 + x^3 + 2 - x^3 + x \\ &= (x^3 - x^3) + (2{,}5x + x) + (-2 + 2) \\ &= 3{,}5x \end{aligned}$$

a) Khai triển và thu gọn:

$$\begin{aligned} &= (2x^2 + 6x) - (3x^3 + 6x^2) + (3x^3 + 4x^2 - 6x) \\ &= 2x^2 + 6x - 3x^3 - 6x^2 + 3x^3 + 4x^2 - 6x \\ &= (-3x^3 + 3x^3) + (2x^2 - 6x^2 + 4x^2) + (6x - 6x) = 0 \end{aligned}$$

b) Tương tự:

$$\begin{aligned} &= (6x^3 - 3x^2) - (6x^3 + 2x^2) + (5x^2 - 5) \\ &= 6x^3 - 3x^2 - 6x^3 - 2x^2 + 5x^2 - 5 \\ &= (6x^3 - 6x^3) + (-3x^2 - 2x^2 + 5x^2) - 5 = -5 \end{aligned}$$

a) Ta có:

$$3x^2 - 3x^2 + 6x = 36 \iff 6x = 36 \iff x = 6$$

b) Khai triển vế trái:

$$\begin{aligned} &(20x^3 - 10x^2 + 5x) - (20x^3 - 10x^2 + 4x) = -36 \\ \iff & 20x^3 - 10x^2 + 5x - 20x^3 + 10x^2 - 4x = -36 \\ \iff & x = -36 \end{aligned}$$

a) Đặt tính chia đa thức $(x^3 - 8)$ cho $(x - 2)$:

Vậy $(x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4$.

b) Nhân hai thừa số đầu tiên trước:

$$\begin{aligned} (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) &= (x^2 - 1)(x^2 + 1) \\ &= (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 \end{aligned}$$

Bạn Vuông đã rút gọn biểu thức $P(x)$ trước khi tính giá trị:

$$\begin{aligned} P(x) &= x^2(7x - 5) - (28x^5 - 20x^4 - 12x^3) : 4x^2 \\ &= (7x^3 - 5x^2) - (7x^3 - 5x^2 - 3x) \\ &= 7x^3 - 5x^2 - 7x^3 + 5x^2 + 3x \\ &= 3x \end{aligned}$$

Do $P(x) = 3x$ nên khi chủ trò đọc $a = 5$, bạn Vuông chỉ cần nhẩm tính: $P(5) = 3 \cdot 5 = 15$ cực kì nhanh chóng!

Thực hiện đặt tính chia đa thức $(x^3 - 3x^2 + 2x - b)$ cho $(x - 3)$:

Để phép chia là phép chia hết thì đa thức dư phải bằng $0$, tức là:

Vậy $b = 6$ là giá trị cần tìm.