Lý thuyết Bài 24: So sánh phân số. Hỗn số dương

Quy đồng mẫu nhiều phân số bằng cách tìm BCNN; So sánh hai phân số cùng mẫu và khác mẫu; Định nghĩa và chuyển đổi linh hoạt giữa phân số và hỗn số dương kèm HĐ1 - HĐ6, Ví dụ 1 - 3, Luyện tập 1 - 4, Thử thách nhỏ và Bài tập SGK 6.8 - 6.13 trang 9 - 12.

SGK Toán 6 Tập 2 (Trang 9 - 12)

BÀI 24: SO SÁNH PHÂN SỐ. HỖN SỐ DƯƠNG

Khái niệm, thuật ngữ

Mẫu (số) chung
So sánh phân số
Hỗn số dương

Kiến thức, kĩ năng

Quy đồng mẫu nhiều phân số.
So sánh hai phân số.
Nhận biết hỗn số dương.
Vận dụng giải các bài toán thực tiễn có liên quan.

TÌNH HUỐNG MỞ ĐẦU

Bạn Vuông: "Mình còn $\mathbf{\dfrac{3}{4}}$ cái bánh."

Còn lại $\dfrac{3}{4}$ bánh

Bạn Tròn: "Mình còn $\mathbf{\dfrac{5}{6}}$ cái bánh."

Còn lại $\dfrac{5}{6}$ bánh

Bạn Pi: "Đố em biết phần bánh còn lại của bạn nào nhiều hơn?"

Trong tình huống trên, ta cần so sánh hai phân số $\mathbf{\dfrac{3}{4}}$ và $\mathbf{\dfrac{5}{6}}$. Bài học này sẽ giúp chúng ta học cách so sánh hai phân số.

QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ

HĐ1 Quy đồng mẫu hai phân số $\mathbf{\dfrac{5}{6}}$ và $\mathbf{\dfrac{7}{4}}$

Em thực hiện các yêu cầu sau để quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{5}{6}$ và $\dfrac{7}{4}$:

• Tìm bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số:
Hai mẫu số là $6$ và $4$. Ta có: $6 = 2 \cdot 3$ và $4 = 2^2$.
$\implies \mathbf{\text{BCNN}(6, 4) = 2^2 \cdot 3 = 12}$.

• Viết hai phân số mới có mẫu là $12$:

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{10}{12}} \quad (\text{thừa số phụ là } 12 : 6 = 2)$$

$$\dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{21}{12}} \quad (\text{thừa số phụ là } 12 : 4 = 3)$$

HĐ2 Quy đồng mẫu hai phân số $\mathbf{\dfrac{-3}{5}}$ và $\mathbf{\dfrac{-1}{2}}$

Tương tự HĐ1, em hãy quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{-3}{5}$ và $\dfrac{-1}{2}$:

• Tìm BCNN của hai mẫu số:
Hai mẫu số $5$ và $2$ đều là số nguyên tố $\implies \mathbf{\text{BCNN}(5, 2) = 5 \cdot 2 = 10}$.

• Viết hai phân số mới có mẫu là $10$:

$$\dfrac{-3}{5} = \dfrac{(-3) \cdot 2}{5 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{-6}{10}} \quad (\text{thừa số phụ là } 10 : 5 = 2)$$

$$\dfrac{-1}{2} = \dfrac{(-1) \cdot 5}{2 \cdot 5} = \mathbf{\dfrac{-5}{10}} \quad (\text{thừa số phụ là } 10 : 2 = 5)$$

Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu dương, ta làm như sau:

Bước 1

Tìm một bội chung (thường là $\mathbf{\text{BCNN}}$) của các mẫu để làm mẫu chung.

Bước 2

Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

Bước 3

Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ 1 Để quy đồng mẫu hai phân số $\mathbf{\dfrac{5}{6}}$ và $\mathbf{\dfrac{3}{-8}}$, ta làm như sau:

• Đưa về phân số có mẫu dương: $\mathbf{\dfrac{3}{-8} = \dfrac{-3}{8}}$;

• Tìm mẫu chung: $\mathbf{\text{BCNN}(6, 8) = 24}$;

• Tìm thừa số phụ: $24 : 6 = \mathbf{4}$ và $24 : 8 = \mathbf{3}$;

• Ta có:

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \mathbf{\dfrac{20}{24}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{3}{-8} = \dfrac{-3}{8} = \dfrac{(-3) \cdot 3}{8 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-9}{24}}$$

Bạn Pi: "Với các phân số có mẫu âm, ta viết lại thành các phân số mới bằng nó nhưng có mẫu dương."

Luyện tập 1 Quy đồng mẫu các phân số: $\mathbf{\dfrac{-3}{4}};\; \mathbf{\dfrac{5}{9}};\; \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

• Các mẫu số là $4, 9, 3$. Ta phân tích: $4 = 2^2;\; 9 = 3^2;\; 3 = 3$.

• Mẫu chung: $\mathbf{\text{BCNN}(4, 9, 3) = 2^2 \cdot 3^2 = 36}$.

• Tìm các thừa số phụ: $36 : 4 = \mathbf{9};\; 36 : 9 = \mathbf{4};\; 36 : 3 = \mathbf{12}$.

• Nhân tử và mẫu với thừa số phụ tương ứng:

$$\dfrac{-3}{4} = \dfrac{(-3) \cdot 9}{4 \cdot 9} = \mathbf{\dfrac{-27}{36}}$$

$$\dfrac{5}{9} = \dfrac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \mathbf{\dfrac{20}{36}}$$

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \mathbf{\dfrac{24}{36}}$$

SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

So sánh hai phân số cùng mẫu

HĐ3 Em hãy nhắc lại quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu (tử và mẫu đều dương), rồi so sánh hai phân số $\mathbf{\dfrac{7}{11}}$ và $\mathbf{\dfrac{9}{11}}$:

• Quy tắc: Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

• So sánh: Vì hai phân số có cùng mẫu là $11 > 0$ và $7 < 9$ nên $\mathbf{\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}}$.

Đối với hai phân số có cùng một mẫu dương, ta cũng có quy tắc:

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ 2 Minh họa:

• $\mathbf{\dfrac{-5}{7} < \dfrac{3}{7}}$ (vì cùng mẫu số $7 > 0$ và $-5 < 3$);

• $\mathbf{\dfrac{-7}{21} > \dfrac{-11}{21}}$ (vì cùng mẫu số $21 > 0$ và $-7 > -11$).

Luyện tập 2 Tìm dấu thích hợp ($>, <$) thay cho dấu "?"

a) $\mathbf{\dfrac{-2}{9} > \dfrac{-7}{9}}$ (vì cùng mẫu $9 > 0$ và $-2 > -7$).

b) $\mathbf{\dfrac{5}{7} > \dfrac{-10}{7}}$ (vì cùng mẫu $7 > 0$ và $5 > -10$).

So sánh hai phân số không cùng mẫu

HĐ4 Để giải quyết tình huống mở đầu, ta cần so sánh $\mathbf{\dfrac{3}{4}}$ và $\mathbf{\dfrac{5}{6}}$. Em hãy thực hiện các yêu cầu sau:

• Viết hai phân số trên dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương bằng cách quy đồng mẫu số:
Mẫu chung là $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

$$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{9}{12}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{10}{12}}$$

• So sánh hai phân số cùng mẫu vừa nhận được:
Vì $9 < 10$ nên $\dfrac{9}{12} < \dfrac{10}{12}$, do đó: $\mathbf{\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}}$.

Kết luận: Phần bánh còn lại của bạn Tròn ($\dfrac{5}{6}$) nhiều hơn phần bánh của bạn Vuông ($\dfrac{3}{4}$).

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ 3 So sánh hai phân số sau: $\mathbf{\dfrac{-7}{12}}$ và $\mathbf{\dfrac{-11}{18}}$ (SGK Trang 11)

Giải:

$\text{BCNN}(12, 18) = 36$ nên ta có:

$$\dfrac{-7}{12} = \dfrac{(-7) \cdot 3}{12 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-21}{36}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{-11}{18} = \dfrac{(-11) \cdot 2}{18 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{-22}{36}}$$

Vì $-21 > -22$ nên $\dfrac{-21}{36} > \dfrac{-22}{36}$. Do đó: $\mathbf{\dfrac{-7}{12} > \dfrac{-11}{18}}$.

Bạn Vuông: "Bạn nhớ luôn chọn mẫu chung của các phân số là một số dương nhé!"

Luyện tập 3 So sánh các phân số sau:

a) So sánh $\mathbf{\dfrac{7}{10}}$ và $\mathbf{\dfrac{11}{15}}$:

• Mẫu chung: $\mathbf{\text{BCNN}(10, 15) = 30}$.

$$\dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{21}{30}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{11}{15} = \dfrac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{22}{30}}$$

• Vì $21 < 22$ nên $\dfrac{21}{30} < \dfrac{22}{30} \implies \mathbf{\dfrac{7}{10} < \dfrac{11}{15}}$.

b) So sánh $\mathbf{\dfrac{-1}{8}}$ và $\mathbf{\dfrac{-5}{24}}$:

• Mẫu chung: $\mathbf{\text{BCNN}(8, 24) = 24}$.

$$\dfrac{-1}{8} = \dfrac{(-1) \cdot 3}{8 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-3}{24}}; \qquad \text{giữ nguyên } \mathbf{\dfrac{-5}{24}}$$

• Vì $-3 > -5$ nên $\dfrac{-3}{24} > \dfrac{-5}{24} \implies \mathbf{\dfrac{-1}{8} > \dfrac{-5}{24}}$.

THỬ THÁCH NHỎ (SGK TRANG 11)

Bạn Pi: "Muốn so sánh $\dfrac{-15}{81}$ và $\dfrac{7}{90}$ ta làm thế nào nhỉ?"

Bạn Vuông: "Ta phải tìm $\text{BCNN}(81, 90)$!"

Bạn Tròn: "Vì $\dfrac{-15}{81} < 0$ và $0 < \dfrac{7}{90}$ nên $\mathbf{\dfrac{-15}{81} < \dfrac{7}{90}}$"

Không quy đồng mẫu số, em hãy so sánh $\mathbf{\dfrac{31}{32}}$ và $\mathbf{\dfrac{-5}{57}}$:

Lời giải: Vì $\dfrac{31}{32} > 0$ và $\dfrac{-5}{57} < 0$ nên ta có ngay: $\mathbf{\dfrac{31}{32} > \dfrac{-5}{57}}$.

HỖN SỐ DƯƠNG

Chia đều ba cái bánh cho hai bạn thì mỗi bạn được bao nhiêu phần bánh nhỉ?

HĐ5

Viết phân số biểu thị phần bánh của mỗi bạn:
Lấy $3$ cái bánh chia đều cho $2$ bạn, mỗi bạn được: $\mathbf{\dfrac{3}{2}}$ (cái bánh).

HĐ6

Tròn nói mỗi bạn được $1$ cái bánh và $\dfrac{1}{2}$ cái bánh. Em có đồng ý với Tròn không?
Ta đồng ý với Bạn Tròn! Vì $1$ cái bánh cộng với $\dfrac{1}{2}$ cái bánh là $1 + \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{3}{2}}$ cái bánh.

Mỗi bạn được: $1 + \dfrac{1}{2} = \mathbf{1\dfrac{1}{2}}$ (cái bánh)

Ta viết phân số $\dfrac{3}{2}$ dưới dạng tổng: $\mathbf{\dfrac{3}{2} = 1 + \dfrac{1}{2}}$ và viết gọn là: $\mathbf{\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}}$.

$\mathbf{1\dfrac{1}{2}}$ được gọi là một hỗn số (dương), trong đó: 1 là phần nguyên, $\dfrac{1}{2}$ là phần phân số.

Hỗn số $\mathbf{1\dfrac{1}{2}}$ đọc là: "Một một phần hai".

Muốn viết một phân số (lớn hơn 1), chẳng hạn $\mathbf{\dfrac{23}{5}}$ dưới dạng hỗn số, ta làm như sau:

$23 : 5 = \mathbf{4}$

dư $3$

$$\dfrac{23}{5} = 4 + \dfrac{3}{5} = \mathbf{4\dfrac{3}{5}}$$

(Thương $4$ là phần nguyên; Số dư $3$ là tử số của phần phân số; Mẫu số $5$ giữ nguyên)

Ngược lại, ta cũng có thể viết một hỗn số dương dưới dạng phân số, chẳng hạn:

$$3\dfrac{4}{5} = \dfrac{3 \cdot 5 + 4}{5} = \mathbf{\dfrac{19}{5}}$$

Bạn Vuông: "Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn 1."

❓ $2\dfrac{5}{4}$ có là một hỗn số không? Vì sao?

Trả lời: $2\dfrac{5}{4}$ không phải là một hỗn số vì phần phân số của nó là $\dfrac{5}{4} > 1$.

Luyện tập 4 Luyện tập 4 (SGK Trang 12)

a) Viết phân số $\mathbf{\dfrac{24}{7}}$ dưới dạng hỗn số:

Ta có: $24 : 7 = 3$ (dư $3$).

$$\dfrac{24}{7} = 3 + \dfrac{3}{7} = \mathbf{3\dfrac{3}{7}}$$

b) Viết hỗn số $\mathbf{5\dfrac{2}{3}}$ dưới dạng phân số:

Ta có:

$$5\dfrac{2}{3} = \dfrac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \mathbf{\dfrac{17}{3}}$$

BÀI TẬP (SGK TRANG 12)

Bài 6.8 Quy đồng mẫu các phân số sau:

a) $\mathbf{\dfrac{2}{3}}$ và $\mathbf{\dfrac{-6}{7}}$:

• Hai mẫu số $3$ và $7$ đều là số nguyên tố $\implies \mathbf{\text{BCNN}(3, 7) = 21}$.

• Thừa số phụ: $21 : 3 = \mathbf{7}$ và $21 : 7 = \mathbf{3}$.

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \mathbf{\dfrac{14}{21}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{-6}{7} = \dfrac{(-6) \cdot 3}{7 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-18}{21}}$$

b) $\mathbf{\dfrac{5}{2^2 \cdot 3^2}}$ và $\mathbf{\dfrac{-7}{2^2 \cdot 3}}$:

• Mẫu chung: $\mathbf{\text{BCNN} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36}$.

• Phân số $\dfrac{5}{2^2 \cdot 3^2} = \mathbf{\dfrac{5}{36}}$ đã có mẫu là $36$, ta giữ nguyên.

• Phân số $\dfrac{-7}{2^2 \cdot 3}$ có thừa số phụ: $(2^2 \cdot 3^2) : (2^2 \cdot 3) = \mathbf{3}$. Ta có:

$$\dfrac{-7}{2^2 \cdot 3} = \dfrac{(-7) \cdot 3}{2^2 \cdot 3 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{-21}{36}}$$

Bài 6.9 So sánh các phân số sau:

a) So sánh $\mathbf{\dfrac{-11}{8}}$ và $\mathbf{\dfrac{1}{24}}$:

• Ta thấy: $\mathbf{\dfrac{-11}{8} < 0}$ và $\mathbf{0 < \dfrac{1}{24}}$.

$$\implies \mathbf{\dfrac{-11}{8} < \dfrac{1}{24}}$$

b) So sánh $\mathbf{\dfrac{3}{20}}$ và $\mathbf{\dfrac{6}{15}}$:

• Rút gọn: $\dfrac{6}{15} = \dfrac{6 : 3}{15 : 3} = \dfrac{2}{5}$.

• Quy đồng mẫu số chung là $20$: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \dfrac{8}{20}$.

• Vì $3 < 8$ nên $\dfrac{3}{20} < \dfrac{8}{20}$, do đó: $\mathbf{\dfrac{3}{20} < \dfrac{6}{15}}$.

Bài 6.10 Lớp 6A có $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$ số học sinh thích bóng bàn, $\mathbf{\dfrac{7}{10}}$ thích bóng đá và $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$ thích bóng chuyền. Hỏi môn thể thao nào được các bạn học sinh lớp 6A yêu thích nhất?

• Mẫu chung của các phân số $\dfrac{4}{5};\; \dfrac{7}{10};\; \dfrac{1}{2}$ là $\mathbf{\text{BCNN}(5, 10, 2) = 10}$:

$$\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \mathbf{\dfrac{8}{10}}; \qquad \dfrac{7}{10} \text{ (giữ nguyên)}; \qquad \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \mathbf{\dfrac{5}{10}}$$

• Vì $8 > 7 > 5$ nên $\mathbf{\dfrac{8}{10} > \dfrac{7}{10} > \dfrac{5}{10}}$, nghĩa là: $\mathbf{\dfrac{4}{5} > \dfrac{7}{10} > \dfrac{1}{2}}$.

Kết luận: Môn bóng bàn ($\dfrac{4}{5}$) được các bạn học sinh lớp 6A yêu thích nhất.

Bài 6.11 So sánh khối lượng và vận tốc:

a) Khối lượng nào lớn hơn: $\mathbf{\dfrac{5}{3}\text{ kg}}$ hay $\mathbf{\dfrac{15}{11}\text{ kg}}$?

• Quy đồng mẫu chung $\mathbf{\text{BCNN}(3, 11) = 33}$:

$$\dfrac{5}{3} = \dfrac{5 \cdot 11}{3 \cdot 11} = \mathbf{\dfrac{55}{33}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{15}{11} = \dfrac{15 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \mathbf{\dfrac{45}{33}}$$

• Vì $55 > 45$ nên $\mathbf{\dfrac{55}{33} > \dfrac{45}{33}}$, suy ra: $\mathbf{\dfrac{5}{3} > \dfrac{15}{11}}$.

Vậy khối lượng $\mathbf{\dfrac{5}{3}\text{ kg}}$ lớn hơn.

b) Vận tốc nào nhỏ hơn: $\mathbf{\dfrac{5}{6}\text{ km/h}}$ hay $\mathbf{\dfrac{4}{5}\text{ km/h}}$?

• Quy đồng mẫu chung $\mathbf{\text{BCNN}(6, 5) = 30}$:

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \mathbf{\dfrac{25}{30}} \qquad \text{và} \qquad \dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \mathbf{\dfrac{24}{30}}$$

• Vì $24 < 25$ nên $\mathbf{\dfrac{24}{30} < \dfrac{25}{30}}$, suy ra: $\mathbf{\dfrac{4}{5} < \dfrac{5}{6}}$.

Vậy vận tốc $\mathbf{\dfrac{4}{5}\text{ km/h}}$ nhỏ hơn.

Bài 6.12 Bảng cho biết chiều dài (theo đơn vị feet, 1 feet xấp xỉ bằng $30{,}48\text{ cm}$) của một số loài động vật có vú nhỏ nhất trên thế giới:

Loài động vật	Chuột chũi châu Âu	Dơi Kitti	Chuột túi có gai	Sóc chuột phương Đông
Chiều dài (feet)	$\mathbf{\dfrac{5}{12}}$	$\mathbf{\dfrac{83}{100}}$	$\mathbf{\dfrac{1}{4}}$	$\mathbf{\dfrac{1}{3}}$

(Theo Scholastic Book of World Records)

• Yêu cầu: Sắp xếp các động vật trên theo thứ tự chiều dài từ lớn đến bé.

• Tìm mẫu số chung: $12 = 2^2 \cdot 3;\; 100 = 2^2 \cdot 5^2;\; 4 = 2^2;\; 3 = 3$.
$\implies \mathbf{\text{BCNN}(12, 100, 4, 3) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300}$.

• Quy đồng về mẫu $300$:

Chuột chũi: $\mathbf{\dfrac{125}{300}}$

Dơi Kitti: $\mathbf{\dfrac{249}{300}}$

Chuột túi: $\mathbf{\dfrac{75}{300}}$

Sóc chuột: $\mathbf{\dfrac{100}{300}}$

• Vì $249 > 125 > 100 > 75$ nên: $\mathbf{\dfrac{83}{100} > \dfrac{5}{12} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4}}$.

Thứ tự chiều dài từ lớn đến bé là: Dơi Kitti ($\dfrac{83}{100}\text{ ft}$) > Chuột chũi châu Âu ($\dfrac{5}{12}\text{ ft}$) > Sóc chuột phương Đông ($\dfrac{1}{3}\text{ ft}$) > Chuột túi có gai ($\dfrac{1}{4}\text{ ft}$).

Bài 6.13 Mẹ có $15$ quả táo, mẹ muốn chia đều số quả táo đó cho bốn anh em. Hỏi mỗi người con được mấy quả táo và mấy phần của quả táo?

• Phép chia đều $15$ quả táo cho $4$ anh em là: $15 : 4 = \mathbf{\dfrac{15}{4}}$ (quả táo).

• Ta chuyển phân số $\dfrac{15}{4}$ sang hỗn số:

$$15 : 4 = 3 \text{ (dư } 3) \implies \dfrac{15}{4} = 3 + \dfrac{3}{4} = \mathbf{3\dfrac{3}{4}} \text{ (quả táo)}$$

Kết luận: Mỗi người con được $3$ quả táo và $\dfrac{3}{4}$ quả táo.

Bài 24: So sánh phân số. Hỗn số dương