Chương V: Đường tròn – Bài 15

Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khám phá công thức tính chu vi đường tròn, độ dài cung tròn \(n^\circ\), diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên; giải quyết các bài toán đo lường thực tiễn như bánh xe đạp, miếng bánh pizza hay chiếc quạt giấy truyền thống.

Tình huống mở đầu (Trang 91 SGK)

Số người trên một địa bàn đã được tiêm mũi 4 phòng dịch Covid-19 đạt \(40\%\) trong tổng số các đối tượng cần được tiêm. Để hoàn thành một biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu \(40\%\). Em có thể giúp bạn Trang được không?

Xem hướng dẫn giúp bạn Trang

• Toàn bộ hình tròn tương ứng với góc ở tâm là \(360^\circ\) (tương ứng \(100\%\)).

• Hình quạt tròn biểu thị số liệu \(40\%\) sẽ có góc ở tâm tương ứng là: \[n = 40\% \times 360^\circ = \frac{40}{100} \times 360^\circ = 144^\circ\]

• Trang chỉ cần dùng thước đo góc vẽ góc ở tâm có số đo bằng \(144^\circ\) và tô màu hình quạt tròn tương ứng!

Độ dài của cung tròn

Chu vi (Độ dài) của đường tròn

Tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một hằng số vô tỉ \(\pi \approx 3{,}14159...\). Trong đời sống và tính toán phổ thông, ta thường lấy \(\pi \approx 3{,}14\).

Công thức tính chu vi \(C\) của đường tròn \((O; R)\), đường kính \(d = 2R\): \[C = \pi d = 2\pi R\]

HĐ1: Thiết lập công thức tính độ dài cung tròn \(n^\circ\)

Biết rằng trên một đường tròn, hai cung bằng nhau thì có cùng độ dài và độ dài của cung tỉ lệ thuận với số đo của nó:
a) Tính độ dài của cung \(1^\circ\).
b) Tính độ dài \(l\) của cung \(n^\circ\).

Xem lời giải HĐ1

a) Cả đường tròn có số đo là \(360^\circ\) và có độ dài \(C = 2\pi R\). Vậy độ dài của cung \(1^\circ\) là: \[\frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}\]

b) Cung có số đo \(n^\circ\) sẽ có độ dài gấp \(n\) lần cung \(1^\circ\): \[l = \frac{n}{180}\pi R\]

Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính \(R\), độ dài \(l\) của một cung có số đo \(n^\circ\) được tính bởi công thức:

\[l = \frac{n}{180}\pi R = \frac{n}{360} \pi d = \frac{n}{360} C\]

Nhận xét: Tỉ số giữa độ dài cung \(n^\circ\) và chu vi đường tròn bằng: \(\dfrac{l}{C} = \dfrac{n}{360}\).

Ví dụ 1 (Trang 91 SGK)

Cho \(A\) và \(B\) là hai điểm trên đường tròn \((O; 3\text{ cm})\) sao cho \(\widehat{AOB} = 120^\circ\) (Hình 5.13). Tính số đo và độ dài các cung có hai mút \(A, B\).

Xem lời giải Ví dụ 1

• Cung nhỏ \(AB\): Bị chắn bởi góc ở tâm \(\widehat{AOB}\) nên có số đo là: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = \widehat{AOB} = 120^\circ\] Độ dài của cung nhỏ \(AB\) là: \[l_1 = \frac{120}{180}\pi \cdot 3 = 2\pi\text{ (cm)}\]

• Cung lớn \(AmB\): Có số đo là: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AmB} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\] Độ dài của cung lớn \(AmB\) là: \[l_2 = \frac{240}{180}\pi \cdot 3 = 4\pi\text{ (cm)}\]

Luyện tập 1 (Trang 92 SGK)

Tính độ dài của cung \(40^\circ\) của đường tròn bán kính \(9\text{ cm}\).

Xem lời giải Luyện tập 1

• Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn với \(R = 9\text{ cm}\) và \(n = 40^\circ\): \[l = \frac{n}{180}\pi R = \frac{40}{180}\pi \cdot 9 = 2\pi\text{ (cm)} \approx 6{,}28\text{ cm}\]

Vận dụng 1 (Trang 92 SGK)

Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính \(650\text{ mm}\). Biết rằng khi giò dĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng \(3{,}3\) vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp \(10\) vòng liên tục?

Xem lời giải Vận dụng 1

• Đổi đường kính bánh xe: \(d = 650\text{ mm} = 0{,}65\text{ m}\).

• Chu vi bánh xe đạp là: \[C = \pi d = 0{,}65\pi\text{ (m)}\]

• Khi người đi xe đạp quay giò dĩa \(10\) vòng liên tục thì bánh xe quay được số vòng là: \[10 \times 3{,}3 = 33\text{ (vòng)}\]

• Quãng đường chiếc xe đạp di chuyển được là: \[s = 33 \times C = 33 \times 0{,}65\pi = 21{,}45\pi \approx 21{,}45 \times 3{,}14 \approx 67{,}35\text{ (m)} \quad (\approx 67{,}39\text{ m nếu lấy máy tính } \pi)\]

Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Hình quạt tròn (Hình 5.15)

Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

2. Hình vành khuyên (Hình 5.16)

Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (hai đường tròn đồng tâm).

Công thức tính diện tích

Diện tích hình quạt tròn bán kính \(R\) ứng với cung \(n^\circ\):

\[S_q = \frac{n}{360}\pi R^2 = \frac{l \cdot R}{2}\]

Trong đó \(l = \frac{n}{180}\pi R\) là độ dài cung tương ứng.

Diện tích hình vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm \(R > r\):

\[S_v = \pi (R^2 - r^2)\]

Lấy diện tích hình tròn lớn trừ đi diện tích hình tròn nhỏ: \(\pi R^2 - \pi r^2\).

Ví dụ 2 (Trang 93 SGK)

Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính \(3\text{ m}\) và \(5\text{ m}\).

Xem lời giải Ví dụ 2

• Áp dụng công thức diện tích hình vành khuyên với \(R = 5\text{ m}\) và \(r = 3\text{ m}\): \[S_v = \pi(R^2 - r^2) = \pi(5^2 - 3^2) = \pi(25 - 9) = 16\pi\text{ (m}^2\text{)} \approx 50{,}27\text{ m}^2\]

Ví dụ 3 (Trang 94 SGK)

Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính \(5\text{ cm}\) và có độ dài cung tương ứng với nó là \(4\pi\text{ cm}\).

Xem lời giải Ví dụ 3

• Áp dụng công thức liên hệ diện tích quạt tròn và độ dài cung với \(R = 5\text{ cm}\) và \(l = 4\pi\text{ cm}\): \[S = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{4\pi \cdot 5}{2} = 10\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 31{,}42\text{ cm}^2\]

Luyện tập 2 (Trang 94 SGK)

Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong phần Thực hành (góc \(144^\circ\)) nếu bán kính của nó bằng \(4\text{ cm}\).

Xem lời giải Luyện tập 2

• Diện tích hình quạt tròn bán kính \(R = 4\text{ cm}\), ứng với cung \(n = 144^\circ\) là: \[S_q = \frac{n}{360}\pi R^2 = \frac{144}{360}\pi \cdot 4^2 = 0{,}4 \times 16\pi = 6{,}4\pi\text{ (cm}^2\text{)} \approx 20{,}11\text{ cm}^2\]

Vận dụng 2 (Trang 94 SGK)

Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là \(5\text{ cm}, 10\text{ cm}, 15\text{ cm}, 20\text{ cm}\) và \(30\text{ cm}\) (Hình 5.17). Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.

Xem lời giải Vận dụng 2

• Diện tích của hình tròn lớn nhất (bán kính \(R_5 = 30\text{ cm}\)) là: \[S_{\text{bia}} = \pi \cdot 30^2 = 900\pi\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Vòng 8 là hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn thứ hai (\(r = 10\text{ cm}\)) và đường tròn thứ ba (\(R = 15\text{ cm}\)). Diện tích vòng 8 là: \[S_8 = \pi(15^2 - 10^2) = \pi(225 - 100) = 125\pi\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Xác suất để ném trúng vòng 8 là: \[P = \frac{S_8}{S_{\text{bia}}} = \frac{125\pi}{900\pi} = \frac{125}{900} = \frac{5}{36} \approx 0{,}1389 \approx 13{,}89\%\]

Hình 5.17: Tấm bia 5 đường tròn đồng tâm

Ghi nhớ trọng tâm Bài 15

Chu vi đường tròn: \(C = 2\pi R = \pi d\).
Độ dài cung tròn \(n^\circ\): \(l = \dfrac{n}{180}\pi R = \dfrac{n}{360}C\).
Diện tích hình quạt tròn: \(S_q = \dfrac{n}{360}\pi R^2 = \dfrac{l \cdot R}{2}\).
Diện tích hình vành khuyên: \(S_v = \pi(R^2 - r^2)\) (với \(R > r\)).

Công thức nào sau đây dùng để tính chu vi \(C\) của đường tròn bán kính \(R\) (đường kính \(d = 2R\))?

Lời giải chi tiết:

Theo công thức SGK: Chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R = \pi d\).