Trên Hình 3.39, cát tuyến $ cắt hai đường thẳng song song $ và $ tại $ và $. Góc đã cho là góc $\widehat{qKv} = 70^\circ$.

• Vì \parallel pq$ nên hai góc so le trong bằng nhau: $\widehat{mHK} = \widehat{qKv} = 70^\circ$.

• Vì \parallel pq$ nên hai góc đồng vị bằng nhau: $\widehat{vHn} = \widehat{qKv} = 70^\circ$.

Vậy $\widehat{mHK} = 70^\circ$ và $\widehat{vHn} = 70^\circ$.

a) Giải thích tại sao \parallel By$:

Xét hai đường thẳng $ và $ bị cắt bởi đường thẳng $ tại $ và $.

Ta có: $\widehat{xBA} = 70^\circ$ và $\widehat{BAm} = 70^\circ$.

Hai góc này ở vị trí so le trong và có số đo bằng nhau ($70^\circ = 70^\circ$).

Do đó \parallel By$ (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Tính $\widehat{CDm}$:

Vì \parallel By$ nên góc $\widehat{CDm}$ và góc $\widehat{tCy}$ là hai góc đồng vị đối với cát tuyến $.

Do đó $\widehat{CDm} = \widehat{tCy} = 120^\circ$.

a) Giải thích tại sao ' \parallel yy'$:

Cát tuyến '$ cắt hai đường thẳng '$ và '$ tại $ và $.

Ta có $\widehat{t'Ax'} = 65^\circ$ và $\widehat{yBt} = 65^\circ$ (hoặc hai góc đồng vị bằng $65^\circ$).

Vì hai góc đồng vị bằng nhau nên theo dấu hiệu nhận biết, ta có ' \parallel yy'$.

b) Tính số đo góc $\widehat{MNB}$:

Vì ' \parallel yy'$ nên góc $\widehat{MNB}$ (góc nằm phía trong bên trái của cát tuyến '$) và góc $\widehat{v'Mx'} = 70^\circ$ có quan hệ góc so le trong hoặc góc trong cùng phía.

Cụ thể: $\widehat{xMN} = \widehat{v'Mx'} = 70^\circ$ (hai góc đối đỉnh) hoặc góc so le trong với $\widehat{v'Mx'}$ là $\widehat{MNy'} = 70^\circ$.

Do $\widehat{MNB}$ kề bù với $\widehat{MNy'}$ nên: $\widehat{MNB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Vậy $\widehat{MNB} = 110^\circ$.

• Vì \parallel Dy$ mà \perp Ax$ (do $\widehat{A} = 90^\circ$) nên theo tính chất từ vuông góc đến song song, ta có \perp Dy$.

Do đó $\widehat{ADC} = 90^\circ$.

• Vì \parallel Dy$ nên góc $\widehat{ABC}$ và góc $\widehat{BCy}$ là hai góc so le trong đối với cát tuyến $.

Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{BCy} = 50^\circ$.

a) Giải thích tại sao ' \parallel By$:

Cát tuyến $ cắt hai tia '$ và $.

Ta có $\widehat{xAB} = 45^\circ$ và $\widehat{ABy} = 45^\circ$.

Hai góc này ở vị trí so le trong và có số đo bằng nhau ($45^\circ = 45^\circ$).

Do đó đường thẳng chứa tia '$ song song với đường thẳng chứa tia $ (' \parallel By$).

b) Giải thích tại sao \perp HK$:

Theo giả thiết trên hình vẽ, ta có \perp Ax'$ tại $.

Mặt khác theo câu a, ta đã có ' \parallel By$.

Áp dụng tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Suy ra \perp HK$ tại $.

• Vì $ là một điểm nằm ngoài đường thẳng chứa cạnh $, nên theo Tiên đề Euclid, qua điểm $ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $.

Vậy chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng $.

• Tương tự, vì $ là một điểm nằm ngoài đường thẳng chứa cạnh $, nên theo Tiên đề Euclid, qua điểm $ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $.

Vậy chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng $.

a) Giải thích tại sao \parallel EF$:

Cát tuyến $ cắt hai đường thẳng $ và $.

Ta có $\widehat{DNM} = 30^\circ$ và $\widehat{DFE} = 60^\circ$ (hoặc góc đồng vị: $\widehat{DMN} = \widehat{DEF} = 30^\circ$ với cát tuyến $).

Vì hai góc đồng vị bằng nhau (cùng bằng $30^\circ$) nên \parallel EF$.

b) Giải thích tại sao \parallel EF$:

Cát tuyến $ (hoặc $) cắt hai đường thẳng $ và $.

Ta có góc đồng vị $\widehat{DHK} = \widehat{DFE} = 60^\circ$ (hoặc $\widehat{DKH} = \widehat{DFE} = 60^\circ$).

Vì hai góc đồng vị bằng nhau nên \parallel EF$.

c) Giải thích tại sao \parallel MN$:

Theo câu a, ta có \parallel EF$.

Theo câu b, ta có \parallel EF$.

Áp dụng tính chất bắc cầu: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Do đó \parallel MN$.