Xét tỉ số giữa $y$ và $x$ đối với từng cặp giá trị tương ứng:

$$\frac{2{,}5}{0{,}5} = 5; \quad \frac{5}{1} = 5; \quad \frac{7{,}5}{1{,}5} = 5; \quad \frac{10}{2} = 5; \quad \frac{12{,}5}{2{,}5} = 5.$$

Nhận thấy tỉ số $\frac{y}{x} = 5$ không đổi với mọi cặp giá trị tương ứng.

• Hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ là $5$.

• Công thức liên hệ: $y = 5x$ (hay $x = \frac{1}{5}y = 0{,}2y$).

Gọi $x, y\text{ (kg)}$ lần lượt là khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết ($0 < x, y < 150$).

Theo đề bài, tỉ lệ khối lượng giữa đồng và kẽm là $6 : 4$ và tổng khối lượng hợp kim là $150\text{ kg}$, ta có:

$$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} \quad \text{và} \quad x + y = 150.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{x + y}{6 + 4} = \frac{150}{10} = 15.$$

Suy ra:

• Khối lượng đồng: $x = 15 \cdot 6 = 90\text{ (kg)}$.

• Khối lượng kẽm: $y = 15 \cdot 4 = 60\text{ (kg)}$.

Vậy cần $90\text{ kg}$ đồng nguyên chất và $60\text{ kg}$ kẽm nguyên chất.

Trong cùng một khoảng thời gian, số sản phẩm làm được biểu thị năng suất của mỗi người thợ.

Tỉ số năng suất giữa thợ lành nghề và thợ học việc là: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Để hoàn thành cùng một khối lượng công việc, thời gian hoàn thành và năng suất làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi $t\text{ (giờ)}$ là thời gian người thợ học việc cần dùng ($t > 0$). Ta có:

$$\frac{t}{48} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \implies t = 48 \cdot \frac{3}{2} = 72\text{ (giờ)}.$$

Vậy người thợ học việc phải mất 72 giờ để hoàn thành khối lượng công việc đó.

Gọi $a, b, c, d$ lần lượt là số quyển sách các lớp 7A, 7B, 7C, 7D quyên góp được ($a, b, c, d \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài, số sách tỉ lệ thuận với sĩ số và lớp 7D góp nhiều hơn 7A là 4 quyển nên:

$$\frac{a}{38} = \frac{b}{39} = \frac{c}{40} = \frac{d}{40} \quad \text{và} \quad d - a = 4.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{a}{38} = \frac{b}{39} = \frac{c}{40} = \frac{d}{40} = \frac{d - a}{40 - 38} = \frac{4}{2} = 2.$$

Từ đây ta tìm được số sách của mỗi lớp:

• Lớp 7A: $a = 2 \cdot 38 = 76$ (quyển).

• Lớp 7B: $b = 2 \cdot 39 = 78$ (quyển).

• Lớp 7C: $c = 2 \cdot 40 = 80$ (quyển).

• Lớp 7D: $d = 2 \cdot 40 = 80$ (quyển).

Vậy lớp 7A góp 76 quyển, 7B góp 78 quyển, 7C và 7D mỗi lớp góp 80 quyển sách.

Gọi $x, y, z$ lần lượt là số cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7, lớp 8 mà thư viện đã mua ($x, y, z \in \mathbb{N}^*$).

Tổng số sách là 121 cuốn nên: $x + y + z = 121$.

Vì số tiền dùng để mua mỗi loại sách là như nhau nên:

$$40x = 45y = 50z \implies 8x = 9y = 10z\quad (\text{chia các vế cho } 5).$$

Chia cả ba biểu thức cho $\text{BCNN}(8, 9, 10) = 360$, ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{8x}{360} = \frac{9y}{360} = \frac{10z}{360} \implies \frac{x}{45} = \frac{y}{40} = \frac{z}{36}.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{x}{45} = \frac{y}{40} = \frac{z}{36} = \frac{x + y + z}{45 + 40 + 36} = \frac{121}{121} = 1.$$

Từ đây suy ra:

• Số sách Toán 6: $x = 1 \cdot 45 = 45$ (cuốn).

• Số sách Toán 7: $y = 1 \cdot 40 = 40$ (cuốn).

• Số sách Toán 8: $z = 1 \cdot 36 = 36$ (cuốn).

Vậy thư viện mua 45 cuốn sách Toán 6, 40 cuốn sách Toán 7 và 36 cuốn sách Toán 8.