Toán 9 • Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác

Nắm vững quy tắc dựng hình, toạ độ tâm và công thức tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ($R$) và đường tròn nội tiếp ($r$) trong các tam giác đặc biệt.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa và Cách xác định tâm

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó. Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn.
Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ($OA = OB = OC = R$).

Các trường hợp đặc biệt:

Tam giác vuông: Tâm ngoại tiếp $O$ là trung điểm của cạnh huyền, bán kính bằng nửa cạnh huyền: $$R = \frac{a}{2}$$
Tam giác đều cạnh $a$: Tâm ngoại tiếp trùng với trọng tâm tam giác, bán kính: $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Đường tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa và Cách xác định tâm

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Khi đó tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Bán kính $r$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi cạnh của tam giác.

Công thức tính bán kính $r$:

Với tam giác bất kì có diện tích $S$ và nửa chu vi $p = \frac{a+b+c}{2}$: $$r = \frac{S}{p}$$
Tam giác vuông tại $A$ (cạnh huyền $a$, hai cạnh góc vuông $b, c$): $$r = \frac{b + c - a}{2}$$
Tam giác đều cạnh $a$: Tâm nội tiếp trùng trọng tâm, bán kính: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{R}{2}$$

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường nào trong tam giác?

Lời giải chi tiết:

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.