Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

BÀI 24: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Làm quen với chữ đại diện cho số, biến số và cách tính giá trị của biểu thức

Khái niệm, thuật ngữ

Biểu thức số
Biểu thức đại số
Biến số (gọi tắt là biến)
Giá trị của biểu thức

Kiến thức, kĩ năng

Phân biệt chính xác biểu thức số và biểu thức đại số.
Viết biểu thức đại số theo yêu cầu diễn đạt của đề bài toán thực tế.
Tính thành thạo giá trị của biểu thức đại số khi biết giá trị cụ thể của các biến.

Tình huống mở đầu: Bước vào ngưỡng cửa Đại số

Chương này sẽ đưa các em vào ngưỡng cửa của Đại số — một lĩnh vực mới của Toán học phổ thông. Trong Đại số, người ta dùng chữ đại diện cho các số, do đó có thể phát biểu và giải được hàng loạt bài toán tương tự nhau chỉ bằng một công thức tổng quát.

Ví dụ thực tế: Một ô tô đi với vận tốc không đổi $50\text{ km/h}$. Khi đó, quãng đường ô tô đi được trong thời gian $t\text{ (giờ)}$ là: $s = 50 \cdot t\text{ (km)}$.

Bằng cách thay $t = 2\text{ h}$, ta tính ngay được quãng đường $50 \cdot 2 = 100\text{ km}$; với $t = 3{,}5\text{ h}$, quãng đường là $50 \cdot 3{,}5 = 175\text{ km}$. Chữ $t$ ở đây chính là biến số!

1. Biểu thức đại số

Khái niệm & Quy tắc

Ta đã biết các số và chữ được nối với nhau bởi dấu của các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) làm thành một biểu thức.

HĐ1 Chỉ ra biểu thức số và biểu thức chứa chữ

Trong các biểu thức sau: a) $23 + 8 \cdot 9$; b) $3a + 7$; c) $(3^4 - 5) : 8$; d) $\left(\frac{3}{x} - y^2\right) + 2$.

Xem phân loại

• Biểu thức số: a) $23 + 8 \cdot 9$ và c) $(3^4 - 5) : 8$ (chỉ chứa các số và dấu phép tính).

• Biểu thức chứa chữ: b) $3a + 7$ (chứa biến $a$) và d) $\left(\frac{3}{x} - y^2\right) + 2$ (chứa biến $x, y$).

HĐ2 Biểu thức chu vi hình chữ nhật

Hãy viết biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều rộng là $x\text{ (cm)}$ và chiều dài hơn chiều rộng $3\text{ cm}$.

Xem biểu thức

Chiều dài hình chữ nhật là: $x + 3\text{ (cm)}$.

Biểu thức chu vi là: $2 \cdot [x + (x + 3)] = 2(2x + 3)\text{ (cm)}$ hay $4x + 6\text{ (cm)}$.

Khái niệm Biểu thức đại số & Biến số

Biểu thức không chứa chữ gọi là biểu thức số.
Biểu thức chỉ chứa số hoặc chỉ chứa chữ hoặc chứa cả số và chữ gọi chung là biểu thức đại số.
Trong một biểu thức đại số, các chữ (nếu có) dùng để thay thế hay đại diện cho những số nào đó được gọi là các biến số (gọi tắt là biến).

Các quy ước viết biểu thức đại số cần nhớ

Không viết dấu nhân giữa các biến hoặc giữa biến và số: $a \cdot b$ viết là $ab$; $2 \cdot a$ viết là $2a$.
Không viết thừa số $1$ trong tích: $1xy$ viết là $xy$; $(-1)ab$ viết là $-ab$.
Các quy tắc và tính chất phép tính được áp dụng hoàn toàn như trên số thực: $x + x = 2x$; $x \cdot x \cdot x = x^3$; $x(y + z) = xy + xz$; $-(x + y - z) = -x - y + z$.

Luyện tập Chỉ ra các biến của mỗi biểu thức đại số

Chỉ ra các biến của: a) $3x^2 - 1$; b) $3a + b$.

Xem đáp án

a) Biểu thức $3x^2 - 1$ có biến là $x$.

b) Biểu thức $3a + b$ có hai biến là biến $a$ và biến $b$.

2. Giá trị của biểu thức đại số

Quy tắc tính toán

Quy tắc tính giá trị của biểu thức đại số

Muốn tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay giá trị đã cho của mỗi biến vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính theo thứ tự thực hiện phép tính thông thường.

Ví dụ Tính tiền mua rau và cam

Bác Hoà mua một túi rau giá 15 nghìn đồng và một số cam với giá 40 nghìn đồng mỗi kilôgam.

a) Viết biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoà phải trả nếu số cam là $x\text{ kg}$.
b) Giả sử bác Hoà mua $2{,}5\text{ kg}$ cam. Tính tổng số tiền bác Hoà phải trả.

Xem lời giải chi tiết

a) Tiền mua $x\text{ kg}$ cam là $40x$ (nghìn đồng). Tiền túi rau là $15$ nghìn đồng.

⇒ Biểu thức tổng số tiền là: $40x + 15$ (nghìn đồng).

b) Thay $x = 2{,}5$ vào biểu thức $40x + 15$, ta được:

$$40 \cdot 2{,}5 + 15 = 100 + 15 = 115\text{ (nghìn đồng)}.$$

Vậy bác Hoà phải trả tất cả $115$ nghìn đồng.

Vận dụng Tính tổng quãng đường đi ô tô và đi bộ

Một người đi ô tô với vận tốc $40\text{ km/h}$ trong $x\text{ giờ}$, sau đó tiếp tục đi bộ với vận tốc $5\text{ km/h}$ trong $y\text{ giờ}$.

a) Viết biểu thức biểu thị tổng quãng đường người đó đi được.
b) Tính giá trị của biểu thức khi $x = 2{,}5\text{ giờ}$ và $y = 0{,}5\text{ giờ}$.

Xem lời giải chi tiết

a) Quãng đường đi ô tô là $40x\text{ (km)}$. Quãng đường đi bộ là $5y\text{ (km)}$.

⇒ Biểu thức tổng quãng đường là: $40x + 5y\text{ (km)}$.

b) Thay $x = 2{,}5$ và $y = 0{,}5$ vào biểu thức, ta được:

$$40 \cdot 2{,}5 + 5 \cdot 0{,}5 = 100 + 2{,}5 = 102{,}5\text{ (km)}.$$

Vậy người đó đã đi được tất cả $102{,}5\text{ km}$.

3. Toàn bộ Lời giải Bài tập SGK (Trang 24)

Bài 7.1 đến 7.4

Bài 7.1 (Trang 24 SGK)

Viết biểu thức đại số biểu thị:

a) Nửa tổng của $x$ và $y$;
b) Tổng của $x$ và $y$ nhân với tích của $x$ và $y$.

Xem lời giải chi tiết

a) Tổng của $x$ và $y$ là $x + y$. Do đó nửa tổng của $x$ và $y$ là:

$$\frac{x + y}{2} \quad \text{hay} \quad \frac{1}{2}(x + y).$$

b) Tổng của $x$ và $y$ là $(x + y)$, tích của $x$ và $y$ là $xy$. Biểu thức là:

$$(x + y)xy \quad \text{hay} \quad xy(x + y).$$

Bài 7.2 (Trang 24 SGK)

Viết biểu thức đại số biểu thị diện tích của hình thang có hai đáy là $a$ và $b$, chiều cao là $h$ ($a, b$ và $h$ có cùng đơn vị đo).

Xem lời giải chi tiết

Diện tích của hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao.

$$S = \frac{(a + b)h}{2} \quad \text{hay} \quad S = \frac{1}{2}(a + b)h.$$

Bài 7.3 (Trang 24 SGK)

Tính giá trị của biểu thức:

a) $4x + 3$ tại $x = 5{,}8$;
b) $y^2 - 2y + 1$ tại $y = 2$;
c) $(2m + n)(m - n)$ tại $m = 5{,}4$ và $n = 3{,}2$.

Xem lời giải chi tiết

a) Thay $x = 5{,}8$ vào biểu thức $4x + 3$:

$$4 \cdot 5{,}8 + 3 = 23{,}2 + 3 = 26{,}2.$$

b) Thay $y = 2$ vào biểu thức $y^2 - 2y + 1$:

$$2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1.$$

c) Thay $m = 5{,}4$ và $n = 3{,}2$ vào biểu thức $(2m + n)(m - n)$:

$$(2 \cdot 5{,}4 + 3{,}2)(5{,}4 - 3{,}2) = (10{,}8 + 3{,}2) \cdot 2{,}2 = 14 \cdot 2{,}2 = 30{,}8.$$

Bài 7.4 (Trang 24 SGK)

Một bác nông dân sử dụng hai chiếc máy bơm để tưới nước cho vườn cây. Máy bơm thứ nhất mỗi giờ bơm được $5\text{ m}^3$ nước. Máy bơm thứ hai mỗi giờ bơm được $3{,}5\text{ m}^3$ nước.

a) Viết biểu thức đại số biểu thị lượng nước bơm được của hai máy, nếu máy bơm thứ nhất chạy trong $x\text{ giờ}$ và máy bơm thứ hai chạy trong $y\text{ giờ}$.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính lượng nước bơm được của cả hai máy khi $x = 2\text{ (giờ)}, y = 3\text{ (giờ)}$.

Xem lời giải chi tiết

a) Lượng nước máy thứ nhất bơm được trong $x\text{ giờ}$ là $5x\text{ (m}^3)$.

Lượng nước máy thứ hai bơm được trong $y\text{ giờ}$ là $3{,}5y\text{ (m}^3)$.

⇒ Biểu thức tổng lượng nước bơm được là: $5x + 3{,}5y\text{ (m}^3)$.

b) Thay $x = 2$ và $y = 3$ vào biểu thức, ta được:

$$5 \cdot 2 + 3{,}5 \cdot 3 = 10 + 10{,}5 = 20{,}5\text{ (m}^3).$$

Vậy cả hai máy bơm được tất cả $20{,}5\text{ m}^3$ nước.

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là biểu thức số?

Lời giải chi tiết:

Biểu thức số là biểu thức chỉ chứa các con số và các dấu phép tính (không chứa chữ). Do đó $25 + 4 \cdot 3$ là biểu thức số.