Hai tam giác vuông $OHM$ (vuông tại $H$) và $OKM$ (vuông tại $K$) có:

• $OM$ là cạnh huyền chung;
• $MH = MK$ (theo giả thiết).

Vậy $\triangle OHM = \triangle OKM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{MOH} = \widehat{MOK}$ (hai góc tương ứng), suy ra $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$.

Trên tia đối của tia $AB$, lấy điểm $D$ sao cho $AD = AC$. Khi đó $BD = BA + AD = AB + AC$.

Trong tam giác $BCD$, ta so sánh $BD$ và $BC$:

• Do tia $CA$ nằm giữa hai cạnh $CB$ và $CD$ của góc $\widehat{BCD}$ nên:

$\widehat{BCD} > \widehat{ACD} \quad (1)$

• Mặt khác, theo cách dựng, tam giác $ACD$ cân tại $A$ nên:

$\widehat{ACD} = \widehat{ADC} = \widehat{BDC} \quad (2)$

• Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$\widehat{BCD} > \widehat{BDC} \quad (3)$

Trong tam giác $BCD$, từ $(3)$ suy ra cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn:

$AB + AC = BD > BC$

(theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).

Gọi $a$ là độ dài cạnh của hình vuông $ABCD$, ta có $AB = BC = CD = DA = a$.

• Trường hợp 1: $M$ nằm trên cạnh $BC$.

Do $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$ tại $B$. Khi đó $AB$ là đoạn vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$, còn $AM$ là đoạn thẳng kẻ từ $A$ đến điểm $M$ trên $BC$.

Theo định lí quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có: $AM \ge AB = a$.

(Dấu bằng xảy ra khi $M \equiv B$).

• Trường hợp 2: $M$ nằm trên cạnh $CD$.

Tương tự, $AD \perp CD$ tại $D$ nên $AD$ là đoạn vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $CD$. Suy ra: $AM \ge AD = a$.

(Dấu bằng xảy ra khi $M \equiv D$).

Kết luận: Trong cả hai trường hợp, độ dài đoạn thẳng $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông.

Trả lời: Không có tam giác nào như vậy.

Giải thích:

Xét tổng độ dài hai cạnh nhỏ nhất: $2{,}5 + 3{,}4 = 5{,}9\text{ cm}$.

Ta thấy: $5{,}9\text{ cm} < 6\text{ cm}$, tức là tổng độ dài hai cạnh này nhỏ hơn độ dài cạnh thứ ba.

Điều này vi phạm bất đẳng thức tam giác (trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Do đó không thể có tam giác với độ dài ba cạnh là $2{,}5\text{ cm}$; $3{,}4\text{ cm}$ và $6\text{ cm}$.

Vì tam giác đã cho là tam giác cân nên cạnh thứ ba phải có độ dài bằng một trong hai cạnh đã cho ($2\text{ cm}$ hoặc $5\text{ cm}$).

• Trường hợp 1: Cạnh thứ ba bằng $2\text{ cm}$.

Khi đó ba cạnh là $2\text{ cm}, 2\text{ cm}, 5\text{ cm}$.

Ta thấy: $2 + 2 = 4 < 5$ (vi phạm bất đẳng thức tam giác), nên không tồn tại tam giác này.

• Trường hợp 2: Cạnh thứ ba bằng $5\text{ cm}$.

Khi đó ba cạnh là $2\text{ cm}, 5\text{ cm}, 5\text{ cm}$.

Ta thấy: $2 + 5 = 7 > 5$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

Vậy chu vi của tam giác cân đó là:

$2 + 5 + 5 = 12\text{ cm}$.

Gọi $x\text{ (cm)}$ là độ dài cạnh còn lại của tam giác ($x$ là số tự nhiên lẻ).

Theo bất đẳng thức tam giác, hiệu độ dài hai cạnh luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba và cạnh thứ ba nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh:

$7 - 2 < x < 7 + 2 \iff 5 < x < 9$.

Vì $x$ là số tự nhiên lẻ nằm trong khoảng $(5; 9)$ nên giá trị duy nhất thỏa mãn là $x = 7$.

Vậy độ dài cạnh còn lại là $7\text{ cm}$ (khi đó tam giác là tam giác cân có ba cạnh $7\text{ cm}, 7\text{ cm}, 2\text{ cm}$).

Gọi $c$ là độ dài cạnh thứ ba của tam giác. Chu vi của tam giác là $P = a + b + c$.

Theo bất đẳng thức tam giác:

• Mặt khác $a < b + c$ nên:

$P = a + (b + c) > a + a = 2a$.

• Lại có $c < a + b$ nên:

$P = (a + b) + c < (a + b) + (a + b) = 2(a + b)$.

Vậy chu vi $P$ của tam giác luôn thỏa mãn: $2a < P < 2(a+b)$.

Lấy điểm $B'$ đối xứng với $B$ qua đường thẳng bờ kênh $d$ ($d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BB'$).

Vì điểm $C$ nằm trên đường thẳng $d$ nên $C$ cách đều $B$ và $B'$, suy ra: $CB = CB'$.

Tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm $C$ đến hai khu vườn $A$ và $B$ là:

$L = CA + CB = CA + CB'$.

Xét ba điểm $A, C, B'$, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$CA + CB' \ge AB'$.

Dấu bằng xảy ra khi điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B'$, tức là $C$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB'$ với đường thẳng $d$.

Kết luận: Để tổng độ dài đường ống ngắn nhất, điểm $C$ cần đặt tại giao điểm của đoạn thẳng nối $A$ với điểm đối xứng $B'$ của $B$ qua kênh $d$ với bờ kênh $d$.