Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Ta có: $7^2 = 49$ và $(-7)^2 = 49$.

Vậy có hai số thực $x$ thoả mãn $x^2 = 49$ là $x = 7$ và $x = -7$.

Ta có $\sqrt{81} = 9$ (vì $9 > 0$ và $9^2 = 81$).

Do đó số $81$ có hai căn bậc hai đối nhau là $9$ và $-9$.

Ta có $\sqrt{121} = 11$ (vì $11 > 0$ và $11^2 = 121$).

Vậy số $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

Bấm các phím: √ 1 1 . 1 =

Màn hình hiện kết quả: $3{,}33166625...$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta được: $\sqrt{11{,}1} \approx 3{,}33$.

Vậy hai căn bậc hai của $11{,}1$ là $3{,}33$ và $-3{,}33$.

Sử dụng MTCT bấm $\sqrt{\frac{7}{11}}$, màn hình hiển thị: $0{,}797724...$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ta được: $\sqrt{\frac{7}{11}} \approx 0{,}80$.

Vậy hai căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ xấp xỉ là $0{,}80$ và $-0{,}80$.

• a) $1 - \sqrt{2} + \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2}$:

Vì $1 + \sqrt{2} > 0$ nên $\sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = |1 + \sqrt{2}| = 1 + \sqrt{2}$.

Do đó: $1 - \sqrt{2} + (1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2$.

• b) $\sqrt{(-3)^2} + 3$:

$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

Do đó: $3 + 3 = 6$.

• a) Tính:

- $\sqrt{6^2} = |6| = 6$.

- $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

- $\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 = 1$ (do $\sqrt{5} > 1 \implies \sqrt{5} - 1 > 0$).

• b) So sánh $3$ với $\sqrt{10}$:

Cách 1 (Dùng MTCT): Bấm $\sqrt{10} \approx 3{,}162... > 3$, do đó $3 < \sqrt{10}$.

Cách 2 (So sánh căn bậc hai số học): Ta có $3 = \sqrt{9}$. Vì $0 \le 9 < 10$ nên $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, tức là $3 < \sqrt{10}$.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + x^2 = 9 + x^2 = x^2 + 9$.

Vì $BC > 0$ nên: $BC = \sqrt{x^2 + 9}$ (cm).

• a) Tại $x = 5$: Ta có $2(5) - 1 = 10 - 1 = 9 \ge 0$.

Do đó $C = \sqrt{9} = 3$.

• b) Tại $x = 0$: Ta có $2(0) - 1 = -1 < 0$.

Vì số âm không có căn bậc hai nên tại $x = 0$ không tính được giá trị của biểu thức $C$.

• a) Điều kiện xác định: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

$2x + 1 \ge 0 \iff 2x \ge -1 \iff x \ge -\frac{1}{2}$.

• b) Tính giá trị:

- Tại $x = 0 \ge -\frac{1}{2}$ (thoả mãn ĐKXĐ): Giá trị căn thức là $\sqrt{2(0) + 1} = \sqrt{1} = 1$.

- Tại $x = 4 \ge -\frac{1}{2}$ (thoả mãn ĐKXĐ): Giá trị căn thức là $\sqrt{2(4) + 1} = \sqrt{9} = 3$.

• a) Điều kiện xác định của $\sqrt{5 - 2x}$:

$5 - 2x \ge 0 \iff -2x \ge -5 \iff x \le \frac{-5}{-2} \iff x \le \frac{5}{2}$ (hay $x \le 2{,}5$).

• b) Tính giá trị tại $x = 2$:

Vì $2 \le 2{,}5$ (thoả mãn ĐKXĐ), thay $x = 2$ vào căn thức ta được:

$\sqrt{5 - 2(2)} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$.

• a) $(\sqrt{1 - x})^2$ với $x < 0$:

Vì $x < 0$ nên $1 - x > 1 > 0$. Áp dụng $(\sqrt{A})^2 = A$ khi $A \ge 0$, ta có: $(\sqrt{1 - x})^2 = 1 - x$.

• b) $\sqrt{1 - 2x + x^2}$ với $x > 2$:

Ta có: $1 - 2x + x^2 = (1 - x)^2$ (hoặc $(x - 1)^2$).

$\sqrt{(1 - x)^2} = |1 - x|$.

Vì $x > 2$ nên $1 - x < 1 - 2 = -1 < 0 \implies |1 - x| = -(1 - x) = x - 1$.

Vậy $\sqrt{1 - 2x + x^2} = x - 1$ với $x > 2$.

• a) Rút gọn $x\sqrt{x^6}$ với $x < 0$:

Ta có: $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$.

Vì $x < 0 \implies x^3 < 0 \implies |x^3| = -x^3$.

Do đó: $x\sqrt{x^6} = x \cdot (-x^3) = -x^4$.

• b) Rút gọn và tính giá trị $x + \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ tại $x = -2{,}5$:

Ta có: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \implies \sqrt{4x^2 - 4x + 1} = |2x - 1|$.

Tại $x = -2{,}5$, ta có $2(-2{,}5) - 1 = -5 - 1 = -6 < 0 \implies |2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$.

Biểu thức trở thành: $x + (1 - 2x) = 1 - x$.

Thay $x = -2{,}5$ vào: $1 - (-2{,}5) = 1 + 2{,}5 = 3{,}5$.

• a) Viết công thức tính thời gian $t$:

Từ công thức rơi tự do $S = 4{,}9t^2$, chia cả hai vế cho $4{,}9 > 0$ ta được: $t^2 = \frac{S}{4{,}9}$.

Vì thời gian $t > 0$ nên lấy căn bậc hai số học cả hai vế:

$$t = \sqrt{\frac{S}{4{,}9}} \quad (\text{giây})$$

• b) Tính thời gian khi vật thả rơi từ độ cao $122{,}5\text{ m}$:

Thay $S = 122{,}5$ vào công thức:

$$t = \sqrt{\frac{122{,}5}{4{,}9}} = \sqrt{25} = 5 \quad (\text{giây})$$

Kết luận: Sau $5$ giây thì vật sẽ chạm đất.