Lý thuyết & Lời giải Bài 14: Cung và dây của một đường tròn
Trọng tâm kiến thức: Dây và đường kính, quan hệ độ dài dây, góc ở tâm, số đo cung, cộng cung và ứng dụng giải toán thực tế.
Bài 14: Cung và dây của một đường tròn
Tìm hiểu mối quan hệ mật thiết giữa góc ở tâm, cung và dây cung của đường tròn; nắm vững định lí đường kính là dây lớn nhất và các phương pháp giải bài toán thực tế hình học sinh động.
Cây cung là một vũ khí cổ xưa, bao gồm một cánh cung đàn hồi và một sợi dây cung căng nối hai đầu cánh cung. Trong hình học, đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt trên đường tròn gọi là gì? Phần đường tròn nối giữa hai điểm đó có tên gọi là gì?
Xem phân tích tình huống
• Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt trên đường tròn được gọi là dây cung (hay gọi tắt là dây) của đường tròn (tương ứng với sợi dây cung nối hai đầu cánh cung).
• Phần đường tròn bị giới hạn bởi hai điểm đó được gọi là một cung tròn (tương ứng với phần cánh cung cong cong).
Dây và đường kính của đường tròn
Khái niệm Dây cung
Cho hai điểm phân biệt \(A, B\) thuộc đường tròn \((O)\). Đoạn thẳng nối hai điểm \(A\) và \(B\) gọi là dây cung (hoặc gọi tắt là dây) của đường tròn.
Dây cung đi qua tâm \(O\) được gọi là đường kính của đường tròn.
Trong Hình 5.6 bên cạnh:
• Đoạn thẳng \(AB\) đi qua tâm \(O\) nên \(AB\) là đường kính của đường tròn \((O)\).
• Đoạn thẳng \(CD\) không đi qua tâm \(O\) nên \(CD\) là một dây cung của đường tròn \((O)\).
Cho đường tròn \((O; R)\) và dây \(AB\) không đi qua tâm \(O\) (Hình 5.7). Hãy so sánh độ dài của dây \(AB\) với tổng \(OA + OB\). Từ đó rút ra kết luận so sánh giữa độ dài của dây \(AB\) với đường kính \(2R\).
Xem lời giải HĐ1
• Vì \(A, B\) thuộc \((O; R)\) và dây \(AB\) không đi qua tâm \(O\), ba điểm \(O, A, B\) không thẳng hàng và tạo thành tam giác \(OAB\).
• Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong \(\triangle OAB\), ta có: \[AB < OA + OB\]
• Mà \(OA = OB = R\), do đó: \[AB < R + R = 2R\]
• Kết luận: Dây cung không đi qua tâm luôn có độ dài nhỏ hơn đường kính \(2R\).
Định lí: Quan hệ giữa dây và đường kính
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.
Cho tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat{A} = 90^\circ\)) và tam giác vuông \(DBC\) (\(\widehat{D} = 90^\circ\)) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (Hình 5.8). Chứng minh: \[BC < AB + AC < 2BC\]
Xem lời giải Ví dụ 1
• Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), theo bất đẳng thức tam giác ta có: \[BC < AB + AC \quad (1)\]
• Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(\triangle DBC\) vuông tại \(D\) nên: \[OA = OD = OB = OC = \frac{BC}{2}\] Do đó \(A, B, C, D\) cùng nằm trên đường tròn \((O)\) đường kính \(BC\).
• Vì \(AB\) và \(AC\) là các dây cung không qua tâm của \((O)\) nên: \[AB < BC \quad \text{và} \quad AC < BC\] Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên: \[AB + AC < 2BC \quad (2)\]
• Từ (1) và (2) suy ra: \(BC < AB + AC < 2BC\) (đpcm).
Luyện tập 1 (Trang 88 SGK)
Trong Hình 5.8, hãy so sánh độ dài của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\).
Xem lời giải Luyện tập 1
• Như đã chứng minh ở Ví dụ 1, bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\).
• Đoạn thẳng \(AD\) là một dây cung của đường tròn này, còn \(BC\) là đường kính.
• Vì đường kính là dây lớn nhất của đường tròn nên: \[AD \le BC\] (Nếu \(A \ne D\) và \(AD\) không qua tâm thì \(AD < BC\); trường hợp đặc biệt nếu \(AD\) qua tâm thì \(AD = BC\)).
Cung và Góc ở tâm
Góc ở tâm
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.
Ví dụ trong Hình 5.9: Góc \(\widehat{AOB}\) có đỉnh \(O\) là tâm đường tròn nên \(\widehat{AOB}\) là một góc ở tâm.
Cung tròn và Cung bị chắn
Hai điểm phân biệt \(A, B\) trên đường tròn \((O)\) chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung (kí hiệu \(\overset{\frown}{AB}\)).
• Nếu \(\widehat{AOB} < 180^\circ\): phần đường tròn nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ (kí hiệu \(\overset{\frown}{AmB}\)), phần còn lại gọi là cung lớn (kí hiệu \(\overset{\frown}{AnB}\)).
• Cung nhỏ nằm bên trong góc ở tâm \(\widehat{AOB}\) được gọi là cung bị chắn bởi góc ở tâm \(\widehat{AOB}\).
• Khi \(\widehat{AOB} = 180^\circ\), mỗi cung là một nửa đường tròn.
Số đo của cung
Định nghĩa Số đo cung
• Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AmB} = \widehat{AOB}\]
• Số đo của cung lớn bằng \(360^\circ\) trừ đi số đo của cung nhỏ có cùng hai đầu mút: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AnB} = 360^\circ - \text{sđ}\,\overset{\frown}{AmB} = 360^\circ - \widehat{AOB}\]
• Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^\circ\).
• Kí hiệu: Số đo của cung \(AB\) được viết là \(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}\).
• Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.
• Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Định lí cộng số đo cung
Nếu điểm \(C\) là một điểm nằm trên cung \(AB\) (Hình 5.10) thì: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = \text{sđ}\,\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\,\overset{\frown}{CB}\]
Định lí này hoàn toàn tương tự như tính chất cộng hai góc kề nhau: \(\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COB}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (Hình 5.11). Tính số đo của các cung nhỏ \(AB, AC\) và cung nửa đường tròn \(BC\).
Xem lời giải Ví dụ 3
• Vì \(BC\) là đường kính của \((O)\) nên số đo của cung nửa đường tròn \(BC\) là: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC} = 180^\circ\]
• Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(OA\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(OA = OB = OC\) và \(OA \perp BC\).
• Do đó \(\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 90^\circ\). Vì vậy: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = 90^\circ \quad \text{và} \quad \text{sđ}\,\overset{\frown}{AC} = 90^\circ\]
Cho đường tròn \((O; R)\) và điểm \(C\) nằm trên \((O)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(OC\) cắt \((O)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tính số đo của các cung \(\overset{\frown}{ACB}\) và \(\overset{\frown}{ABC}\).
Xem lời giải Luyện tập 2
• Gọi \(M\) là trung điểm của \(OC\). Vì \(C \in (O)\) nên \(OC = R\), suy ra: \[OM = \frac{R}{2}\]
• Trong tam giác vuông \(OMA\) vuông tại \(M\), ta có: \[\cos \widehat{AOM} = \frac{OM}{OA} = \frac{\frac{R}{2}}{R} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOM} = 60^\circ\]
• Tương tự trong tam giác vuông \(OMB\), ta có \(\widehat{BOM} = 60^\circ\).
• Do đó góc ở tâm \(\widehat{AOB} = \widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\).
• Vì điểm \(C\) nằm trên cung nhỏ \(AB\) nên: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{ACB} = 120^\circ\]
• Số đo cung lớn tương ứng là: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{ABC} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\]
Mặt đồng hồ được chia thành 12 khoảng giờ bằng nhau và 60 khoảng phút bằng nhau.
• Cả vòng tròn đồng hồ có số đo là \(360^\circ\).
• Mỗi khoảng cách 1 giờ tương ứng với góc ở tâm: \(\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ\).
• Mỗi khoảng cách 1 phút tương ứng với góc ở tâm: \(\dfrac{360^\circ}{60} = 6^\circ\).
• Trong 1 phút, kim phút quay được một cung \(6^\circ\); còn kim giờ quay được: \(\dfrac{30^\circ}{60} = 0{,}5^\circ\).
Ghi nhớ trọng tâm Bài 14
- Dây cung & Đường kính: Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn là một dây cung. Đường kính là dây cung lớn nhất (\(AB \le 2R\)).
- Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn (\(\widehat{AOB}\)).
- Số đo cung: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó (\(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = \widehat{AOB}\)). Số đo cung lớn bằng \(360^\circ - \widehat{AOB}\). Số đo nửa đường tròn là \(180^\circ\).
- Cộng cung: Nếu \(C\) nằm trên cung \(AB\) thì \(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = \text{sđ}\,\overset{\frown}{AC} + \text{sđ}\,\overset{\frown}{CB}\).
Trong các dây cung của một đường tròn, khẳng định nào sau đây là đúng?
Theo định lí quan hệ giữa dây và đường kính: Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất (\(AB \le 2R\)).
Cho đường tròn \((O; R)\) và đoạn thẳng \(AB\) là một dây cung không đi qua tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
Xét tam giác \(OAB\) có \(OA = OB = R\). Theo bất đẳng thức tam giác: \(AB < OA + OB = R + R = 2R\). Do đó dây cung không qua tâm luôn có độ dài nhỏ hơn đường kính: \(AB < 2R\).
Góc ở tâm của đường tròn là góc thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Định nghĩa SGK: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm.
Số đo của một cung nửa đường tròn bằng bao nhiêu độ?
Theo định nghĩa số đo cung: Cung nửa đường tròn có góc ở tâm là góc bẹt \(180^\circ\), nên số đo của nửa đường tròn bằng \(180^\circ\).
Cho đường tròn \((O)\) và góc ở tâm \(\widehat{AOB} = 75^\circ\). Số đo của cung nhỏ \(AB\) và cung lớn \(AB\) lần lượt là:
• Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó: \(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}_{\text{nhỏ}} = \widehat{AOB} = 75^\circ\).
• Số đo cung lớn tương ứng: \(\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}_{\text{lớn}} = 360^\circ - 75^\circ = 285^\circ\).
Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Số đo của cung nhỏ \(AB\) bằng:
• Tam giác đều \(ABC\) nội tiếp \((O)\) chia đường tròn thành 3 cung nhỏ bằng nhau: \(\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CA}\).
• Vì tổng số đo cả đường tròn là \(360^\circ\) nên: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ\]
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có \(\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^\circ\). So sánh độ dài hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\):
• Vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(\triangle DBC\) vuông tại \(D\) nên bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
• Đoạn thẳng \(AD\) là một dây cung, còn \(BC\) là đường kính của đường tròn này.
• Do đường kính là dây lớn nhất nên ta luôn có \(AD \le BC\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\). Số đo của cung nhỏ \(AC\) là:
• Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\) nên đường trung tuyến \(OA\) đồng thời là đường cao: \(OA \perp BC\).
• Do đó góc ở tâm \(\widehat{AOC} = 90^\circ\), suy ra: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{AC} = \widehat{AOC} = 90^\circ\]
Cho đường tròn \((O; R)\) và điểm \(C \in (O)\). Đường trung trực của bán kính \(OC\) cắt \((O)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Số đo của cung nhỏ \(\overset{\frown}{ACB}\) là:
• Gọi \(M\) là trung điểm của \(OC \implies OM = \frac{R}{2}\).
• Trong tam giác vuông \(OMA\) vuông tại \(M\): \[\cos \widehat{AOM} = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOM} = 60^\circ\]
• Tương tự \(\widehat{BOM} = 60^\circ \implies \widehat{AOB} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\).
• Điểm \(C\) nằm trên cung nhỏ \(AB\) nên \(\text{sđ}\,\overset{\frown}{ACB} = 120^\circ\).
Tiếp tục bài toán Luyện tập 2 SGK ở Câu 9, số đo của cung lớn \(\overset{\frown}{ABC}\) bằng bao nhiêu?
• Cung \(\overset{\frown}{ABC}\) là cung lớn có chung hai đầu mút \(A, B\) với cung nhỏ \(\overset{\frown}{ACB}\).
• Áp dụng định nghĩa số đo cung lớn: \[\text{sđ}\,\overset{\frown}{ABC} = 360^\circ - \text{sđ}\,\overset{\frown}{ACB} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\]
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 10\text{ cm}\). Điểm \(M\) thay đổi trên nửa đường tròn đó. Khoảng cách lớn nhất từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho đường tròn \((O; 5\text{ cm})\) và dây \(AB = 6\text{ cm}\). Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Tiếp tục Bài 5.6 SGK ở Câu 12: Cho đường tròn \((O; 5\text{ cm})\), dây \(AB = 6\text{ cm}\), \(OH \perp AB\) tại \(H\). Gọi \(\alpha = \widehat{AOH}\). Giá trị của \(\tan\alpha\) là:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho đường tròn \((O)\), một dây cung \(AB\) chắn một cung có số đo bằng \(100^\circ\). Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) bằng \(3\text{ cm}\). Bán kính \(R\) của đường tròn gần nhất với giá trị nào sau đây?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Một chiếc đồng hồ đang chạy đúng giờ. Trong thời gian 36 phút, kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cũng trong thời gian 36 phút nói ở Câu 15, kim giờ của đồng hồ đó vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Giáo viên MathUp.vn đang biên soạn thêm các bài toán tương tự & nâng cao cho bài học này.
Các bài tập mới nhất sẽ được cập nhật sớm nhất trong tuần này.