Toán 7 • Chương I • Số hữu tỉ

Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

Nắm vững thứ tự các phép tính luỹ thừa, nhân chia, cộng trừ và các loại dấu ngoặc; vận dụng thành thạo quy tắc chuyển vế đổi dấu để giải toán tìm $x$ và giải quyết các bài toán thực tiễn.

Khái niệm, thuật ngữ

Quy tắc chuyển vế
Đẳng thức, vế trái, vế phải

Kiến thức, kĩ năng

Mô tả thứ tự thực hiện các phép tính.
Mô tả và áp dụng thành thạo quy tắc chuyển vế.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với các phép tính về số hữu tỉ.

Tình huống mở đầu (SGK trang 20)

Biết cân ở trạng thái cân bằng (Hình 1.13), hỏi quả bưởi nặng bao nhiêu kilôgam?

• Đĩa cân bên trái gồm: một quả sầu riêng nặng $5{,}1\text{ kg}$ và một quả bưởi nặng $x\text{ kg}$.
• Đĩa cân bên phải gồm: một quả mít nặng $7\text{ kg}$.
• Kim chỉ cân thăng bằng ở vạch số 0.

Xem lời giải tình huống mở đầu

Vì cân ở trạng thái cân bằng nên tổng khối lượng trên đĩa cân bên trái bằng khối lượng trên đĩa cân bên phải:

$5{,}1 + x = 7$

Để tìm $x$, ta lấy khối lượng cả đĩa trừ đi khối lượng quả sầu riêng:

$x = 7 - 5{,}1 = 1{,}9\text{ (kg)}$

Vậy quả bưởi nặng $1{,}9\text{ kg}$. Phép tính chuyển $5{,}1$ sang vế phải và đổi thành $-5{,}1$ chính là quy tắc chuyển vế mà chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài học này.

Hình 1.13 - SGK Toán 7 trang 20

Thứ tự thực hiện các phép tính

HĐ Thứ tự thực hiện các phép tính đối với các số tự nhiên

Em hãy nhắc lại thứ tự thực hiện các phép tính đối với các số tự nhiên rồi tính:

a) $10 + 36 : 2 \cdot 3$

b) $[5 + 2 \cdot (9 - 2^3)] : 7$

Xem lời giải HĐ

Nhắc lại quy tắc đối với số tự nhiên:

Biểu thức không có dấu ngoặc: tính luỹ thừa trước $\to$ nhân và chia $\to$ cộng và trừ. Với phép tính cùng cấp thì thực hiện từ trái sang phải.
Biểu thức có dấu ngoặc: tính trong ngoặc tròn $( )$ trước $\to$ ngoặc vuông $[ ]$ $\to$ ngoặc nhọn $\{ \}$.

a) $10 + 36 : 2 \cdot 3 = 10 + 18 \cdot 3 = 10 + 54 = 64$.

b) $[5 + 2 \cdot (9 - 2^3)] : 7 = [5 + 2 \cdot (9 - 8)] : 7 = [5 + 2 \cdot 1] : 7 = (5 + 2) : 7 = 7 : 7 = 1$.

Quy tắc thứ tự thực hiện phép tính

Thứ tự thực hiện phép tính đối với các số tự nhiên vẫn đúng đối với các số hữu tỉ.

Với các biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ hoặc chỉ có phép nhân và phép chia, ta thực hiện các phép tính từ trái sang phải.
Với các biểu thức không có dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự: Luỹ thừa $\longrightarrow$ Nhân và chia $\longrightarrow$ Cộng và trừ
Với các biểu thức có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau: $( \quad ) \longrightarrow [ \quad ] \longrightarrow \{ \quad \}$

Ví dụ 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $1{,}2 - 3^2 + 7{,}5 : 3$

b) $9{,}8 + 1{,}5 \cdot 6 + (6{,}8 - 2) : 3$

Xem lời giải Ví dụ 1

$1{,}2 - 3^2 + 7{,}5 : 3 = 1{,}2 - 9 + 2{,}5$ ($\leftarrow$ thực hiện phép tính luỹ thừa, nhân, chia trước)

$= -7{,}8 + 2{,}5 = -5{,}3$.

$9{,}8 + 1{,}5 \cdot 6 + (6{,}8 - 2) : 3 = 9{,}8 + 9 + 4{,}8 : 3$ ($\leftarrow$ thực hiện trong ngoặc trước)

$= 18{,}8 + 1{,}6 = 20{,}4$.

Luyện tập 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\left( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \right) : \frac{5}{4} + \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \right) : \frac{5}{2}$

b) $\frac{5}{9} : \left( \frac{1}{11} - \frac{5}{22} \right) + \frac{7}{4} \cdot \left( \frac{1}{14} - \frac{2}{7} \right)$

Xem lời giải Luyện tập 1

a) Thực hiện tính trong từng dấu ngoặc trước:

$\bullet\quad \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

$\bullet\quad \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

Biểu thức trở thành:

$= \frac{5}{6} : \frac{5}{4} + \frac{5}{8} : \frac{5}{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{6} + \frac{2}{8} = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.

b) Thực hiện tính trong từng dấu ngoặc trước:

$\bullet\quad \frac{1}{11} - \frac{5}{22} = \frac{2}{22} - \frac{5}{22} = -\frac{3}{22}$.

$\bullet\quad \frac{1}{14} - \frac{2}{7} = \frac{1}{14} - \frac{4}{14} = -\frac{3}{14}$.

Biểu thức trở thành:

$= \frac{5}{9} : \left( -\frac{3}{22} \right) + \frac{7}{4} \cdot \left( -\frac{3}{14} \right) = \frac{5}{9} \cdot \left( -\frac{22}{3} \right) - \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 14} = -\frac{110}{27} - \frac{3}{8}$.

Quy đồng mẫu chung $27 \cdot 8 = 216$:

$= -\frac{110 \cdot 8}{216} - \frac{3 \cdot 27}{216} = -\frac{880}{216} - \frac{81}{216} = -\frac{961}{216}$.

Quy tắc chuyển vế

Đẳng thức

Từ Hình 1.13 trong bài toán mở đầu, nếu gọi $x$ là số cân nặng của quả bưởi thì ta có:

$5{,}1 + x = 7$

Ta nói $5{,}1 + x = 7$ là một đẳng thức, trong đó $5{,}1 + x$ là vế trái, $7$ là vế phải của đẳng thức.

Chẳng hạn, $a \cdot a = a^2$ và $2{,}7 - 8{,}1 = -5{,}4$ là những đẳng thức.

Sơ đồ cấu tạo đẳng thức $A = B$

Khi biến đổi các đẳng thức, ta thường áp dụng các tính chất sau:

Nếu $a = b$ thì $b = a$

Nếu $a = b$ thì $a + c = b + c$

Câu hỏi (?) SGK trang 21

Chỉ ra vế trái, vế phải của đẳng thức: $2 \cdot (b + 1) = 2b + 2$.

Xem lời giải câu hỏi

Trong đẳng thức $2 \cdot (b + 1) = 2b + 2$:
• Vế trái là: $2 \cdot (b + 1)$.
• Vế phải là: $2b + 2$.

Ví dụ 2 Giải bài toán tìm số bằng tính chất đẳng thức:

a) Tìm $a$, biết $a + 6 = -9$;

b) Tìm $b$, biết $b - 8 = -3$.

Xem lời giải Ví dụ 2

a) Từ đẳng thức $a + 6 = -9$, cộng hai vế với $(-6)$:

$a + 6 + (-6) = -9 + (-6)$

$a + [6 + (-6)] = -15$

$a + 0 = -15$

$a = -15$.

b) Từ đẳng thức $b - 8 = -3$, cộng hai vế với $8$:

$b - 8 + 8 = -3 + 8$

$b - (8 - 8) = 5$

$b - 0 = 5$

$b = 5$.

Nhận xét: Từ Ví dụ 2, ta thấy ta có thể viết ngay $a = -9 - 6$ và $b = -3 + 8$ bằng cách chuyển số hạng sang vế đối diện và đổi dấu của nó.

Quy tắc chuyển vế

Bắt buộc ghi nhớ

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó:

Dấu "+" đổi thành dấu "–" và Dấu "–" đổi thành dấu "+"

• Nếu $a + b = c$ thì $a = c - b$.

• Nếu $a - b = c$ thì $a = c + b$.

Mascot Chú Pi nhảy múa vui vẻ nhắc nhở quy tắc chuyển vế

Chuyển vế thì phải đổi dấu!

Ví dụ 3 Tìm $x$, biết:

a) $x + \frac{1}{2} = -\frac{6}{7}$;

b) $x - \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$.

Xem lời giải Ví dụ 3

a) $x + \frac{1}{2} = -\frac{6}{7}$

$x = -\frac{6}{7} - \frac{1}{2}$ ($\leftarrow$ quy tắc chuyển vế: chuyển $+\frac{1}{2}$ sang VP thành $-\frac{1}{2}$)

$x = -\frac{12}{14} - \frac{7}{14}$

$x = -\frac{19}{14}$.

Vậy $x = -\frac{19}{14}$.

b) $x - \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$

$x = \frac{9}{8} + \frac{3}{4}$ ($\leftarrow$ quy tắc chuyển vế: chuyển $-\frac{3}{4}$ sang VP thành $+\frac{3}{4}$)

$x = \frac{9}{8} + \frac{6}{8}$

$x = \frac{15}{8}$.

Vậy $x = \frac{15}{8}$.

Luyện tập 2 Tìm $x$, biết:

a) $x + 7{,}25 = 15{,}75$

b) $\left( -\frac{1}{3} \right) - x = \frac{17}{6}$

Xem lời giải Luyện tập 2

a) $x + 7{,}25 = 15{,}75$

$x = 15{,}75 - 7{,}25$ ($\leftarrow$ chuyển $+7{,}25$ sang vế phải đổi thành $-7{,}25$)

$x = 8{,}5$.

Vậy $x = 8{,}5$.

b) $\left( -\frac{1}{3} \right) - x = \frac{17}{6}$

Chuyển $-x$ sang vế phải thành $+x$, và chuyển $\frac{17}{6}$ sang vế trái thành $-\frac{17}{6}$:

$-\frac{1}{3} - \frac{17}{6} = x$

$x = -\frac{2}{6} - \frac{17}{6} = -\frac{19}{6}$.

Vậy $x = -\frac{19}{6}$.

Vận dụng thực tế: Gói bánh chưng ngày Tết (SGK trang 22)

Vào dịp tết Nguyên đán, bà của An gói bánh chưng cho gia đình. Nguyên liệu để làm bánh gồm gạo nếp, đậu xanh, thịt lợn và lá dong. Mỗi cái bánh chưng sau khi gói nặng khoảng $0{,}8\text{ kg}$ gồm $0{,}5\text{ kg}$ gạo; $0{,}125\text{ kg}$ đậu xanh; $0{,}04\text{ kg}$ lá dong, còn lại là thịt.

Hỏi khối lượng thịt trong mỗi cái bánh là khoảng bao nhiêu?

Xem lời giải Vận dụng

Gọi khối lượng thịt trong mỗi cái bánh chưng là $x\text{ (kg)}$ ($x > 0$).

Vì mỗi cái bánh nặng khoảng $0{,}8\text{ kg}$ từ 4 nguyên liệu trên, ta có đẳng thức:

$0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}04 + x = 0{,}8$

Tính tổng khối lượng của gạo, đậu xanh và lá dong:

$0{,}665 + x = 0{,}8$

Áp dụng quy tắc chuyển vế, chuyển $0{,}665$ sang vế phải đổi dấu thành $-0{,}665$:

$x = 0{,}8 - 0{,}665 = 0{,}135\text{ (kg)}$

Vậy khối lượng thịt trong mỗi cái bánh chưng là khoảng $0{,}135\text{ kg}$ (tức $135\text{ g}$).

Nguyên liệu gói bánh chưng ngày Tết

Bài tập SGK (Trang 22)

Bài 1.26 Tìm $x$, biết:

a) $x + 0{,}25 = \frac{1}{2}$

b) $x - \left( -\frac{5}{7} \right) = \frac{9}{14}$

Xem lời giải Bài 1.26

a) $x + 0{,}25 = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2} - 0{,}25 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 = \frac{1}{4}$.

Vậy $x = 0{,}25$ (hay $x = \frac{1}{4}$).

b) $x - \left( -\frac{5}{7} \right) = \frac{9}{14}$

$x + \frac{5}{7} = \frac{9}{14}$

$x = \frac{9}{14} - \frac{5}{7} = \frac{9}{14} - \frac{10}{14} = -\frac{1}{14}$.

Vậy $x = -\frac{1}{14}$.

Bài 1.27 Tìm $x$, biết:

a) $x - \left( \frac{5}{4} - \frac{7}{5} \right) = \frac{9}{20}$

b) $9 - x = \frac{8}{7} - \left( -\frac{7}{8} \right)$

Xem lời giải Bài 1.27

a) $x - \left( \frac{5}{4} - \frac{7}{5} \right) = \frac{9}{20}$

Tính trong ngoặc trước: $\frac{5}{4} - \frac{7}{5} = \frac{25}{20} - \frac{28}{20} = -\frac{3}{20}$.

Đẳng thức trở thành: $x - \left( -\frac{3}{20} \right) = \frac{9}{20} \iff x + \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$.

Áp dụng chuyển vế: $x = \frac{9}{20} - \frac{3}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Vậy $x = \frac{3}{10}$.

b) $9 - x = \frac{8}{7} - \left( -\frac{7}{8} \right)$

Tính vế phải: $\frac{8}{7} + \frac{7}{8} = \frac{64}{56} + \frac{49}{56} = \frac{113}{56}$.

Đẳng thức trở thành: $9 - x = \frac{113}{56}$.

Chuyển $-x$ sang vế phải, chuyển $\frac{113}{56}$ sang vế trái:

$x = 9 - \frac{113}{56} = \frac{504}{56} - \frac{113}{56} = \frac{391}{56}$.

Vậy $x = \frac{391}{56}$.

Bài 1.28 Tính một cách hợp lí:

a) $-1{,}2 + (-0{,}8) + 0{,}25 + 5{,}75 - 2021$

b) $-0{,}1 + \frac{16}{9} + 11{,}1 + \frac{-20}{9}$

Xem lời giải Bài 1.28

a) Nhóm các số có tổng là số nguyên:

$= [-1{,}2 + (-0{,}8)] + (0{,}25 + 5{,}75) - 2021$

$= -2 + 6 - 2021 = 4 - 2021 = -2017$.

b) Nhóm các số thập phân với nhau, các phân số cùng mẫu với nhau:

$= (-0{,}1 + 11{,}1) + \left( \frac{16}{9} + \frac{-20}{9} \right)$

$= 11 + \left( -\frac{4}{9} \right) = \frac{99}{9} - \frac{4}{9} = \frac{95}{9}$.

Bài 1.29 Bỏ dấu ngoặc rồi tính các tổng sau:

a) $\frac{17}{11} - \left( \frac{6}{5} - \frac{16}{11} \right) + \frac{26}{5}$

b) $\frac{39}{5} + \left( \frac{9}{4} - \frac{9}{5} \right) - \left( \frac{5}{4} + \frac{6}{7} \right)$

Xem lời giải Bài 1.29

a) Bỏ dấu ngoặc có dấu "–" đằng trước thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc:

$= \frac{17}{11} - \frac{6}{5} + \frac{16}{11} + \frac{26}{5}$

$= \left( \frac{17}{11} + \frac{16}{11} \right) + \left( \frac{26}{5} - \frac{6}{5} \right) = \frac{33}{11} + \frac{20}{5} = 3 + 4 = 7$.

b) Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các phân số có cùng mẫu:

$= \frac{39}{5} + \frac{9}{4} - \frac{9}{5} - \frac{5}{4} - \frac{6}{7}$

$= \left( \frac{39}{5} - \frac{9}{5} \right) + \left( \frac{9}{4} - \frac{5}{4} \right) - \frac{6}{7}$

$= \frac{30}{5} + \frac{4}{4} - \frac{6}{7} = 6 + 1 - \frac{6}{7} = 7 - \frac{6}{7} = \frac{49}{7} - \frac{6}{7} = \frac{43}{7}$.

Bài 1.30 Bài toán làm bánh của Lan:

Để làm một cái bánh, cần $2\frac{3}{4}$ cốc bột. Lan đã có $1\frac{1}{2}$ cốc bột. Hỏi Lan cần thêm bao nhiêu cốc bột nữa để vừa đủ làm được một cái bánh?

Xem lời giải Bài 1.30

Gọi số cốc bột Lan cần thêm là $x\text{ (cốc)}$ ($x > 0$).

Theo bài ra ta có đẳng thức:

$1\frac{1}{2} + x = 2\frac{3}{4}$

Áp dụng quy tắc chuyển vế:

$x = 2\frac{3}{4} - 1\frac{1}{2} = \frac{11}{4} - \frac{3}{2} = \frac{11}{4} - \frac{6}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\text{ (cốc)}$

Vậy Lan cần thêm $1\frac{1}{4}$ cốc bột nữa (tức $1{,}25$ cốc).

Tổng kết trọng tâm Bài 4

Thứ tự thực hiện phép tính:

• Không ngoặc: Luỹ thừa $\to$ Nhân & Chia $\to$ Cộng & Trừ (từ trái qua phải).
• Có ngoặc: Trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau: $( ) \to [ ] \to \{ \}$.

Quy tắc chuyển vế:

• Chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia thì phải đổi dấu số hạng đó: "+" đổi thành "–" và "–" đổi thành "+".

Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế