Bài 30: Làm quen với xác suất của biến cố
Bài 30: Làm quen với xác suất của biến cố
Khái niệm xác suất của biến cố, thang đo xác suất từ 0 đến 1, xác suất của biến cố chắc chắn, biến cố không thể và các biến cố đồng khả năng bám sát 100% SGK Toán 7.
- Xác suất của biến cố
- Đồng khả năng
- Nhận biết xác suất trong một số ví dụ đơn giản.
- Nhận biết xác suất của biến cố chắc chắn, biến cố không thể và một số biến cố đồng khả năng.
Trong bản tin dự báo thời tiết, người ta thường đưa ra thông tin như: "Ngày mai tại Hà Nội, khả năng có mưa là $80\%$". Con số $80\%$ này có ý nghĩa gì đối với khả năng xảy ra của hiện tượng mưa? Ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài học hôm nay!
Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ $0$ đến $1$, gọi là xác suất của biến cố đó.
Biến cố có khả năng xảy ra cao hơn sẽ có xác suất lớn hơn.
Hình 8.2: Thang đo xác suất của một biến cố từ 0 đến 1
- Biến cố không thể có xác suất bằng $0$.
- Biến cố chắc chắn có xác suất bằng $1$.
- Xác suất của một biến cố càng gần $1$ thì biến cố đó càng có nhiều khả năng xảy ra.
- Xác suất của một biến cố càng gần $0$ thì biến cố đó càng ít có khả năng xảy ra.
Quay lại tình huống mở đầu, xác suất mưa là $80\%$ (tức là $0{,}8$). Vì $0{,}8$ khá gần $1$ nên khả năng ngày mai trời mưa là khá cao (nhiều khả năng xảy ra).
Trước trận đấu bóng đá, trọng tài tung một đồng xu để hai đội chọn sân. Khả năng xuất hiện mặt Sấp và mặt Ngửa là như nhau. Do đó, xác suất xuất hiện mặt Sấp (hay mặt Ngửa) bằng $\frac{1}{2}$ (hay $50\%$).
Bảng sau đây cho biết xác suất mưa của các ngày từ Thứ Hai đến Thứ Sáu trong một tuần tại Thủ đô Hà Nội:
| Ngày | Thứ Hai | Thứ Ba | Thứ Tư | Thứ Năm | Thứ Sáu |
|---|---|---|---|---|---|
| Xác suất mưa | $10\%$ | $70\%$ | $50\%$ | $90\%$ | $30\%$ |
a) Sắp xếp các ngày theo thứ tự khả năng mưa tăng dần.
b) Ngày nào có khả năng mưa cao nhất? Ngày nào ít có khả năng mưa nhất?
c) Ngày nào có khả năng mưa và khả năng không mưa là như nhau?
Xem lời giải chi tiết
a) Vì $10\% < 30\% < 50\% < 70\% < 90\%$ nên thứ tự các ngày có khả năng mưa tăng dần là:
Thứ Hai $\to$ Thứ Sáu $\to$ Thứ Tư $\to$ Thứ Ba $\to$ Thứ Năm.
b) Ngày có khả năng mưa cao nhất là Thứ Năm (xác suất $90\%$). Ngày ít có khả năng mưa nhất là Thứ Hai (xác suất $10\%$).
c) Ngày có khả năng mưa và khả năng không mưa là như nhau là Thứ Tư, vì xác suất mưa là $50\% = \frac{1}{2}$.
Xác suất của biến cố chắc chắn, biến cố không thể
• Khả năng xảy ra của biến cố chắc chắn là $100\%$. Vậy biến cố chắc chắn có xác suất bằng $1$.
• Khả năng xảy ra của biến cố không thể là $0\%$. Vậy biến cố không thể có xác suất bằng $0$.
• Xác suất của biến cố $A$: "Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía tây" bằng $0$ vì $A$ là biến cố không thể.
• Xác suất của biến cố $B$: "Tháng Ba có ít hơn 32 ngày" bằng $1$ vì $B$ là biến cố chắc chắn (tháng 3 luôn có đúng 31 ngày).
Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau:
• Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13.
• Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 1.
Xem lời giải chi tiết
• Mặt có số chấm lớn nhất của một con xúc xắc là $6$, nên tổng số chấm lớn nhất khi gieo hai con xúc xắc là $6 + 6 = 12 < 13$. Do đó, biến cố "Tổng số chấm nhỏ hơn 13" là biến cố chắc chắn, có xác suất bằng $1$.
• Mặt có số chấm nhỏ nhất của một con xúc xắc là $1$, nên tổng số chấm nhỏ nhất khi gieo hai con xúc xắc là $1 + 1 = 2 > 1$. Biến cố "Tổng số chấm bằng 1" là biến cố không thể, có xác suất bằng $0$.
Xác suất của các biến cố đồng khả năng
Gieo một đồng xu cân đối. Xét hai biến cố:
$A$: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa"
$B$: "Đồng xu xuất hiện mặt sấp"
Do đồng xu cân đối nên biến cố $A$ và biến cố $B$ có khả năng xảy ra như nhau. Ta nói hai biến cố $A$ và $B$ là đồng khả năng. Vì chỉ xảy ra hoặc biến cố $A$ hoặc biến cố $B$ nên xác suất của chúng bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$ (hay $50\%$).
Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có $k$ biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong $k$ biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng $\frac{1}{k}$.
Hình 8.3: Mô hình các thí nghiệm biến cố đồng khả năng chuẩn SGK
Trong buổi liên hoan, lớp 7A tổ chức trò chơi Rút phiếu trúng thưởng. Cô giáo chuẩn bị 10 lá phiếu giống nhau ghi các số từ $1$ đến $10$, gấp lại và đặt trong hộp kín. Mỗi bạn lần lượt rút ngẫu nhiên một lá phiếu và sẽ trúng thưởng nếu rút được phiếu số $5$. Bạn Mai rút đầu tiên. Tìm xác suất để Mai rút được lá phiếu trúng thưởng.
Xem lời giải chi tiết
Xét 10 biến cố: $E_1$: "Rút được phiếu số 1", $E_2$: "Rút được phiếu số 2", ..., $E_{10}$: "Rút được phiếu số 10".
Vì Mai rút phiếu ngẫu nhiên nên 10 biến cố này là đồng khả năng. Mặt khác, mỗi lượt rút phiếu luôn xảy ra duy nhất một trong 10 biến cố này nên xác suất của chúng bằng nhau và bằng $\frac{1}{10}$.
Vậy xác suất để Mai rút được lá phiếu trúng thưởng (phiếu số 5) là $\frac{1}{10}$.
Trong trò chơi Ô cửa bí mật, có ba ô cửa $1$, $2$, $3$ và người ta đặt phần thưởng sau một ô cửa. Người chơi sẽ chọn ngẫu nhiên một ô cửa trong ba ô cửa và nhận phần thưởng sau ô cửa đó. Tìm xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng.
Xem lời giải chi tiết
Có 3 ô cửa và người chơi chọn ngẫu nhiên nên khả năng chọn vào mỗi ô cửa là như nhau ($3$ biến cố đồng khả năng). Do luôn chỉ chọn được đúng $1$ ô cửa nên xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng là $\frac{1}{3}$.
Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối. Tìm xác suất để số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là $2$.
Xem lời giải chi tiết
Con xúc xắc cân đối có 6 mặt từ $1$ đến $6$ chấm, khả năng xuất hiện của mỗi mặt là như nhau ($6$ biến cố đồng khả năng). Khi gieo xúc xắc luôn xảy ra duy nhất một mặt nên xác suất để số chấm xuất hiện là $2$ bằng $\frac{1}{6}$.
Mai và Việt mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 1;
b) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 36.
Xem lời giải chi tiết
a) Mặt có số chấm nhỏ nhất trên mỗi con xúc xắc là $1$, nên tổng số chấm nhỏ nhất khi gieo hai con xúc xắc là $1 + 1 = 2 > 1$. Biến cố "Tổng số chấm lớn hơn 1" là biến cố chắc chắn, nên xác suất bằng $1$.
b) Mặt có số chấm lớn nhất trên mỗi con xúc xắc là $6$, nên tích số chấm lớn nhất là $6 \times 6 = 36$. Không thể có tích lớn hơn 36, nên biến cố "Tích số chấm lớn hơn 36" là biến cố không thể, có xác suất bằng $0$.
Trước trận chung kết bóng đá World Cup năm 2010 giữa hai đội Hà Lan và Tây Ban Nha, để dự đoán kết quả người ta bỏ cùng loại thức ăn vào hai hộp giống nhau, một hộp có gắn cờ Hà Lan, một hộp gắn cờ Tây Ban Nha và cho Paul chọn hộp thức ăn. Người ta cho rằng nếu Paul chọn hộp gắn cờ nước nào thì đội bóng của nước đó thắng. Paul chọn ngẫu nhiên một hộp. Tính xác suất để Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng.
Xem lời giải chi tiết
Vì hai hộp thức ăn giống nhau và Paul chọn ngẫu nhiên nên khả năng chọn vào hộp gắn cờ Tây Ban Nha hay Hà Lan là như nhau ($2$ biến cố đồng khả năng). Paul chỉ chọn duy nhất $1$ hộp nên xác suất để Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng là $\frac{1}{2}$ (hay $50\%$).
Một tổ học sinh của lớp 7B có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng để kiểm tra bài tập. Xét hai biến cố sau:
$A$: "Bạn được gọi là bạn nam" và $B$: "Bạn được gọi là bạn nữ".
a) Hai biến cố $A$ và $B$ có đồng khả năng không? Vì sao?
b) Tìm xác suất của biến cố $A$ và biến cố $B$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì tổ có số bạn nam bằng số bạn nữ (cùng bằng $5$ bạn) và giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn nên khả năng gọi được bạn nam hoặc bạn nữ là như nhau. Do đó, hai biến cố $A$ và $B$ là đồng khả năng.
b) Vì chỉ có thể gọi được một bạn nam hoặc một bạn nữ nên luôn xảy ra duy nhất một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$. Do đó: $$P(A) = P(B) = \frac{1}{2} \text{ (hay } 50\% \text{)}.$$
Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối. Tìm xác suất của các biến cố sau:
$A$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc nhỏ hơn 7";
$B$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 0";
$C$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6".
Xem lời giải chi tiết
• Các mặt của xúc xắc có số chấm là $1; 2; 3; 4; 5; 6$, đều nhỏ hơn $7$. Do đó $A$ là biến cố chắc chắn $\implies P(A) = 1$.
• Không có mặt nào có $0$ chấm. Do đó $B$ là biến cố không thể $\implies P(B) = 0$.
• Có $6$ mặt có khả năng xuất hiện như nhau, nên xác suất xuất hiện mặt $6$ chấm là $P(C) = \frac{1}{6}$.
Theo SGK Toán 7, biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra (khả năng $100\%$) nên có xác suất bằng $1$.
Theo SGK Toán 7, biến cố không thể không bao giờ xảy ra (khả năng $0\%$) nên có xác suất bằng $0$.
Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ $0$ đến $1$, gọi là xác suất của biến cố đó.
Đồng xu có 2 mặt {Sấp, Ngửa} đồng khả năng nên xác suất xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$ (hay $50\%$).
Con xúc xắc có 6 mặt đồng khả năng xuất hiện. Luôn xảy ra duy nhất 1 mặt nên xác suất xuất hiện mặt 5 chấm là $\frac{1}{6}$.
Vì $85\% = 0{,}85$ rất gần $1$ nên khả năng trời mưa là rất cao (nhiều khả năng xảy ra), nhưng không phải là chắc chắn $100\%$.
Có 5 thẻ đồng khả năng rút trúng. Do đó xác suất rút được thẻ ghi số 3 là $\frac{1}{5}$.
Mọi mặt của con xúc xắc đều có số chấm từ 1 đến 6 nên luôn nhỏ hơn 7. Đây là biến cố chắc chắn nên có xác suất bằng $1$.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 8 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!