Trả lời: Có.

Giải thích: Giả sử xét tam giác $ABC$, đường cao hạ từ đỉnh $A$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại $H$. Khi đó đoạn thẳng $AH$ là đoạn vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng chứa cạnh $BC$.

Theo định nghĩa, khoảng cách từ đỉnh $A$ đến đường thẳng $BC$ chính là độ dài của đoạn vuông góc $AH$, tức là bằng độ dài đường cao tương ứng.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và các góc ở mỗi đỉnh đều bằng $90^\circ$.

a) Đỉnh cách đều hai điểm $A$ và $C$:

• Xét đỉnh $B$: ta có $BA = BC$ (vì các cạnh của hình vuông bằng nhau) $\Rightarrow$ Đỉnh $B$ cách đều $A$ và $C$.

• Xét đỉnh $D$: ta có $DA = DC$ $\Rightarrow$ Đỉnh $D$ cách đều $A$ và $C$.

Vậy trong bốn đỉnh của hình vuông, hai đỉnh $B$ và $D$ cách đều hai điểm $A$ và $C$.

b) Đỉnh cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$:

• Xét đỉnh $C$: Vì $CB \perp AB$ tại $B$ nên khoảng cách từ $C$ đến $AB$ là $CB$. Vì $CD \perp AD$ tại $D$ nên khoảng cách từ $C$ đến $AD$ là $CD$. Mà $CB = CD$ nên đỉnh $C$ cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$.

• Xét đỉnh $A$: Điểm $A$ vừa thuộc đường thẳng $AB$ vừa thuộc đường thẳng $AD$, nên khoảng cách từ $A$ đến $AB$ bằng $0$ và đến $AD$ bằng $0$, tức là $A$ cũng cách đều $AB$ và $AD$.

Vậy đỉnh $C$ và đỉnh $A$ cách đều hai đường thẳng $AB$ và $AD$.

a) Vị trí để $AM$ nhỏ nhất:

Kẻ đường vuông góc $AH \perp BC$ tại $H$. Do $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$ và $H$ nằm giữa $B$ và $C$.

Đoạn thẳng $AH$ là đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$, còn với mọi điểm $M \neq H$ thì $AM$ là đường xiên hạ từ $A$ xuống $BC$.

Theo định lí về đường vuông góc và đường xiên, ta có $AH \le AM$ với mọi vị trí của $M$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv H$.

Vậy độ dài $AM$ nhỏ nhất khi $M$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$ (hay $M$ là trung điểm của $BC$).

b) Chứng minh $AM < AB$:

Xét hai trường hợp:

• Nếu $M \equiv H$: Khi đó $AM = AH$. Vì $AH$ là đường vuông góc còn $AB$ là đường xiên hạ từ $A$ đến $BC$, nên $AH < AB$, suy ra $AM < AB$.

• Nếu $M \neq H$: Giả sử $M$ nằm giữa $H$ và $B$. Theo kết quả Thử thách nhỏ trang 64, vì $HM < HB$ nên đường xiên tương ứng $AM < AB$. (Tương tự nếu $M$ nằm giữa $H$ và $C$ thì $AM < AC = AB$).

Vậy với mọi điểm $M$ nằm giữa $B$ và $C$ ta luôn có $AM < AB$.

Ta nối $N$ với $B$.

Bước 1: So sánh $MN$ và $NB$.

Xét tam giác $AMN$ vuông tại $A$, ta có $NA \perp AB$ tại $A$.

Do đó, $NA$ là đường vuông góc kẻ từ $N$ đến đường thẳng $AB$, còn $NM$ và $NB$ là hai đường xiên kẻ từ $N$ đến đường thẳng $AB$.

Vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên khoảng cách hình chiếu $AM < AB$.

Theo quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên, ta có: $MN < NB$ (1).

Bước 2: So sánh $NB$ và $BC$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $BA \perp AC$ tại $A$.

Do đó, $BA$ là đường vuông góc kẻ từ $B$ đến đường thẳng $AC$, còn $BN$ và $BC$ là hai đường xiên kẻ từ $B$ đến đường thẳng $AC$.

Vì $N$ nằm giữa $A$ và $C$ nên khoảng cách hình chiếu $AN < AC$.

Theo quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên, ta có: $NB < BC$ (2).

Kết luận: Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu ta suy ra $MN < BC$ (điều phải chứng minh).