Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Các bất phương trình ở câu a), b), d) là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì chúng có dạng $ax + b \le 0$, $ax + b > 0$, $ax < 0$ với hệ số của $x$ khác $0$ (cụ thể: câu a có $a = 3 \ne 0$; câu b có $a = -5 \ne 0$; câu d có $a = -3 \ne 0, b = 0$).

• Bất phương trình ở câu c) $x^2 - 4 > 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì $x^2 - 4$ là một đa thức bậc hai.

• a) $-3x + 7 \le 0$: Là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ (với $a = -3 \ne 0, b = 7$).

• b) $4x - \frac{3}{2} > 0$: Là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ (với $a = 4 \ne 0, b = -\frac{3}{2}$).

• c) $x^3 > 0$: Không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì bậc của ẩn $x$ là bậc 3.

Thay lần lượt từng số vào vế trái của bất phương trình $2x - 10 < 0$:

• Với $x = -2$: Ta có $2(-2) - 10 = -4 - 10 = -14 < 0$ (khẳng định đúng). Do đó $-2$ là một nghiệm.
• Với $x = 0$: Ta có $2(0) - 10 = -10 < 0$ (khẳng định đúng). Do đó $0$ là một nghiệm.
• Với $x = 5$: Ta có $2(5) - 10 = 10 - 10 = 0 < 0$ (khẳng định sai). Do đó $5$ không phải là nghiệm.

Vậy trong các số đã cho, các số là nghiệm của bất phương trình là: $-2$ và $0$.

• a) Cộng cả hai vế với $-3$:

$(5x + 3) + (-3) < 0 + (-3) \iff 5x < -3$. (Kí hiệu là $(2)$)

• b) Nhân hai vế của $(2)$ với $\frac{1}{5}$ (tức chia cả hai vế cho $5 > 0$):

Vì $\frac{1}{5} > 0$ nên bất đẳng thức giữ nguyên chiều:

$$5x \cdot \frac{1}{5} < -3 \cdot \frac{1}{5} \iff x < -\frac{3}{5}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < -\frac{3}{5}$ (hay $x < -0{,}6$).

Ta có:

$-2x - 4 > 0$

$\iff -2x > 0 + 4$ (Cộng hai vế với 4, hay chuyển $-4$ sang vế phải thành $+4$)

$\iff -2x > 4$

$\iff x < 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ (Nhân hai vế với số âm $-\frac{1}{2}$ và đổi chiều BĐT từ $>$ sang $<$)

$\iff x < -2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < -2$.

• a) Giải $6x + 5 < 0$:

$6x < -5 \iff x < -\frac{5}{6}$ (Chia hai vế cho $6 > 0$, giữ nguyên chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < -\frac{5}{6}$.

• b) Giải $-2x - 7 > 0$:

$-2x > 7 \iff x < -\frac{7}{2}$ (Chia hai vế cho số âm $-2 < 0$, phải đổi chiều từ $>$ sang $<$).

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < -\frac{7}{2}$ (hay $x < -3{,}5$).

Gọi $x$ (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua ($x \in \mathbb{N}^*$).

Theo bài ra ta có bất phương trình:

$$7x + 18 \le 100 \iff 7x \le 100 - 18 \iff 7x \le 82 \iff x \le \frac{82}{7}$$

Ta có $\frac{82}{7} \approx 11{,}71$.

Vì số vở $x$ phải là số nguyên dương ($x \in \mathbb{N}^*$) nên giá trị nguyên lớn nhất thoả mãn là $x = 11$.

Kết luận: Bạn Thanh có thể mua được nhiều nhất $11$ quyển vở.

• a) $2x + 5 < 3x - 4$:

Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái và các hằng số sang vế phải:

$2x - 3x < -4 - 5 \iff -x < -9 \iff x > 9$ (Nhân hai vế với $-1$ và đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x > 9$.

• b) $-3x + 5 \ge -4x + 3$:

$-3x + 4x \ge 3 - 5 \iff x \ge -2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \ge -2$.

• a) $5x + 7 > 8x - 5$:

$5x - 8x > -5 - 7 \iff -3x > -12 \iff x < \frac{-12}{-3} \iff x < 4$ (Chia cho $-3 < 0$, đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < 4$.

• b) $-4x + 3 \le 3x - 1$:

$-4x - 3x \le -1 - 3 \iff -7x \le -4 \iff x \ge \frac{-4}{-7} \iff x \ge \frac{4}{7}$ (Chia cho $-7 < 0$, đổi chiều).

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x \ge \frac{4}{7}$.

Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ($x > 0$).

Lãi suất $7{,}4\%/\text{năm} = 0{,}074$. Số tiền lãi thu được sau 1 năm là: $0{,}074x$ (triệu đồng).

Để số tiền lãi hằng năm ít nhất là 60 triệu đồng, ta có bất phương trình:

$$0{,}074x \ge 60 \iff x \ge 60 : 0{,}074 \iff x \ge 810{,}81$$

Làm tròn đến hàng triệu đồng, ta được $x \ge 811$.

Kết luận: Bà Mai cần gửi tiết kiệm vào ngân hàng ít nhất $811$ triệu đồng.

Gọi $x$ là số câu hỏi người ứng tuyển trả lời đúng ($0 \le x \le 25, \ x \in \mathbb{N}$).

Vì người đó phải trả lời hết 25 câu hỏi nên số câu trả lời sai là: $25 - x$ (câu).

Điểm số mà người ứng tuyển nhận được gồm:

• Điểm ban đầu ban tổ chức tặng: $5$ điểm.
• Điểm cộng từ các câu đúng: $2x$ điểm.
• Điểm trừ từ các câu sai: $1 \cdot (25 - x)$ điểm.

Tổng số điểm đạt được là:

$5 + 2x - (25 - x) = 5 + 2x - 25 + x = 3x - 20$ (điểm).

Để được vào vòng tiếp theo, người ứng tuyển cần đạt từ 25 điểm trở lên:

$$3x - 20 \ge 25 \iff 3x \ge 45 \iff x \ge 15$$

Vì $x \ge 15$ nên giá trị nhỏ nhất của $x$ là $15$.

Kết luận: Người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất $15$ câu hỏi để được vào vòng tiếp theo.