Luyện tập chung: Tiếp tuyến, Vị trí tương đối của Đường thẳng và Đường tròn, Hai đường tròn

a) Do tính đối xứng tâm của đường tròn, điểm $A \in (O)$ đối xứng qua tâm $O$ thành điểm $M$ nên $M \in (O)$ và đoạn $AM$ là một đường kính của $(O)$.

Tam giác $ABM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AM$ nên $\triangle ABM$ vuông tại $B$, suy ra $\widehat{ABM} = 90^\circ$.

Tương tự, $N \in (O')$ và $AN$ là đường kính của $(O')$, suy ra $\triangle ABN$ vuông tại $B \implies \widehat{ABN} = 90^\circ$.

Từ hai kết quả trên ta có:

$\widehat{MBN} = \widehat{ABM} + \widehat{ABN} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Điều đó chứng tỏ ba điểm $M, B, N$ thẳng hàng.

b) Kết quả câu a cho thấy $MN \perp AB$ tại $B$.

Xét đường tròn đường kính $AB$, điểm $B$ thuộc đường tròn này và bán kính qua $B$ nằm trên đoạn $AB$.

Vì $MN \perp AB$ tại điểm $B$ nằm trên đường tròn nên đường thẳng $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$ tại tiếp điểm $B$.

a) Vì $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và của $(O')$ tại $B$ nên $OA \perp d$ và $O'B \perp d$.

Do đó $OA \parallel O'B$. Xét tam giác $POA$, do $O'B \parallel OA$ nên $\triangle POA \backsim \triangle PO'B$. Suy ra:

$\frac{PO}{PO'} = \frac{OA}{O'B} = \frac{R}{R'}$.

b) Do $A'$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $OO'$ nên $OA' = OA = R \implies A' \in (O)$ và $OO' \perp AA'$.

Tam giác $OAA'$ cân tại $O$ có $OP \perp AA'$ nên $OP$ là tia phân giác của $\widehat{AOA'} \implies \widehat{AOP} = \widehat{A'OP}$.

Xét $\triangle AOP$ và $\triangle A'OP$ có: $OA = OA' = R$, $OP$ chung, $\widehat{AOP} = \widehat{A'OP}$. Do đó $\triangle AOP = \triangle A'OP$ (c.g.c), suy ra $\widehat{PA'O} = \widehat{PAO} = 90^\circ$.

Vì $PA' \perp OA'$ tại $A' \in (O)$ nên $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A'$.

Tương tự, hạ $O'B' \perp PA'$ tại $B'$. Do $O'B' \parallel OA'$ nên $\frac{O'B'}{OA'} = \frac{PO'}{PO} = \frac{R'}{R} \implies O'B' = R'$, nghĩa là $B' \in (O')$. Vậy $PA'$ cũng tiếp xúc với $(O')$ tại $B'$.

Gọi khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d_a = 2\text{ cm}$ và đến $b$ là $d_b = 3\text{ cm}$.

a) Để đường tròn $(O; R)$ cắt đường thẳng $a$ thì $R > d_a = 2\text{ cm}$.

Để $(O; R)$ cắt đường thẳng $b$ thì $R > d_b = 3\text{ cm}$.

Để $(O; R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$ thì: $R > 3\text{ cm}$.

b) Vì đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ nên bán kính của đường tròn là $R = d_a = 2\text{ cm}$.

Khi đó đối với đường thẳng $b$, khoảng cách từ $O$ đến $b$ là $d_b = 3\text{ cm} > 2\text{ cm} = R$.

Vì $d_b > R$ nên đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $b$ không giao nhau.

a) Hai kim đồng hồ quay quanh cùng một trục quay $O$ nên tâm của $(T_1)$ và $(T_2)$ trùng nhau tại $O$ (khoảng cách giữa hai tâm $d = 0$). Vì kim dài dài hơn kim ngắn ($R_1 > R_2$) nên hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_2)$ là hai đường tròn đồng tâm ($(T_1)$ đựng $(T_2)$).

b) Với $R_1 = 3\text{ cm}$ và $R_2 = 2\text{ cm}$:

Đường tròn $(T_3)$ có tâm cách $O$ khoảng $d = \frac{1}{2}R_1 = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ cm}$ và bán kính $R_3 = \frac{1}{2}R_2 = \frac{2}{2} = 1\text{ cm}$.

• Xét $(T_3)$ và $(T_1)$: Ta có $R_1 - R_3 = 3 - 1 = 2\text{ cm}$. Vì $d = 1{,}5\text{ cm} < 2\text{ cm} = R_1 - R_3$ nên đường tròn $(T_1)$ đựng đường tròn $(T_3)$.
• Xét $(T_3)$ và $(T_2)$: Hiệu hai bán kính $|R_2 - R_3| = 2 - 1 = 1\text{ cm}$; tổng hai bán kính $R_2 + R_3 = 2 + 1 = 3\text{ cm}$. Vì $1\text{ cm} < 1{,}5\text{ cm} < 3\text{ cm}$ ($|R_2 - R_3| < d < R_2 + R_3$) nên hai đường tròn $(T_3)$ và $(T_2)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$: $MA = MP$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$: $NB = NP$.

Vì điểm $P$ nằm giữa $M$ và $N$ nên: $MN = MP + NP = MA + NB$ (đpcm).

b) Vì $xx' \perp AB$ và $yy' \perp AB$ nên $xx' \parallel yy'$ ($AM \parallel BN$).

Tứ giác $AMNB$ có hai cạnh đáy $AM \parallel BN$ nên $AMNB$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$.

Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ nên $OQ \parallel AM \parallel BN$.

Trong hình thang $AMNB$, đường thẳng $OQ$ song song với hai đáy và đi qua trung điểm $O$ của cạnh bên $AB$, suy ra $OQ$ là đường trung bình của hình thang $AMNB$.

Do đó $Q$ là trung điểm của cạnh bên $MN$ (đpcm).

c) Vì $OQ$ là đường trung bình của hình thang $AMNB$ nên:

$OQ = \frac{AM + BN}{2} = \frac{MN}{2}$.

Xét đường tròn đường kính $MN$: tâm của đường tròn này là trung điểm $Q$ của $MN$ và bán kính là $R' = \frac{MN}{2} = OQ$.

Điểm $O$ thuộc đường tròn $(Q; \frac{MN}{2})$ và $QO \perp AB$ tại $O$.

Vậy đường thẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MN$ tại tiếp điểm $O$ (đpcm).

a) Vì $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên tiếp điểm $A$ nằm trên đoạn nối tâm $OO'$.

Đường thẳng $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $MA \perp OA$ tại $A$.

Vì ba điểm $O, A, O'$ thẳng hàng nên $MA \perp O'A$ tại $A \in (O')$. Do đó $MA$ cũng là tiếp tuyến của $(O')$ tại $A$.

b) Xét điểm $M$ đối với đường tròn $(O)$: $MB$ và $MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M \implies MB = MA$.

Xét điểm $M$ đối với đường tròn $(O')$: $MC$ và $MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M \implies MC = MA$.

Từ đó suy ra $MB = MC = MA = \frac{BC}{2}$.

Vì $MB = MC$ nên $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.

Trong tam giác $ABC$, đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $BC$ có độ dài bằng nửa cạnh huyền: $AM = \frac{BC}{2}$.

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{BAC} = 90^\circ$).