Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
Hai định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, nhận biết cạnh lớn nhất trong tam giác vuông (cạnh huyền) và tam giác tù SGK Toán 7.
- Góc đối diện cạnh, cạnh đối diện góc trong tam giác.
- Cạnh huyền (trong tam giác vuông).
- Nhận biết hai định lí về cạnh và góc đối diện trong tam giác.
- Vận dụng vào tam giác vuông để nhận biết được cạnh lớn nhất trong tam giác vuông.
Trong một trận bóng đá, trái bóng đang ở vị trí $D$, ba cầu thủ đứng thẳng hàng tại vị trí $A, B, C$ trên sân với số áo lần lượt là 4, 2, 3 như Hình 9.1. Theo em, cầu thủ nào gần trái bóng nhất, cầu thủ nào xa trái bóng nhất? Tại sao? (Biết rằng góc $\widehat{ACD}$ là góc tù).
Ta đã biết trong tam giác cân $ABC$ có $AB = AC$, góc đối diện với cạnh $AB$ (góc $C$) bằng góc đối diện với cạnh $AC$ (góc $B$). Hỏi trong một tam giác, nếu biết hai cạnh không bằng nhau thì có thể so sánh được hai góc đối diện với hai cạnh đó không?
Quan sát ê ke có góc $60^\circ$ (góc vuông $A$, góc $60^\circ$ là $B$, góc $30^\circ$ là $C$). Sắp xếp độ dài: $AB < AC < BC$. Sắp xếp độ lớn góc: $\widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}$. Góc lớn nhất ($\widehat{A}$) đối diện cạnh lớn nhất ($BC$).
Vẽ tam giác $ABC$ có $AB = 3\text{ cm}, AC = 5\text{ cm}$. Bằng trực quan và đo đạc, ta thấy góc đối diện với cạnh $AC$ lớn hơn góc đối diện với cạnh $AB$, tức là $\widehat{B} > \widehat{C}$.
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\text{ cm}, BC = 4\text{ cm}, AC = 5\text{ cm}$.
a) Hãy so sánh góc $A$ và góc $C$ của tam giác $ABC$.
b) Trong tam giác $ABC$, góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất?
Xem lời giải chi tiết
a) Trong tam giác $ABC$, vì $AB = 2\text{ cm}, BC = 4\text{ cm}$ nên $BC > AB$. Do đó, theo Định lí 1 ta có góc đối diện với $BC$ lớn hơn góc đối diện với $AB$, tức là: $\widehat{A} > \widehat{C}$.
b) Sắp xếp độ dài các cạnh từ lớn đến bé: $AC > BC > AB$.
Từ đó theo Định lí 1 ta được: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$.
Vậy trong tam giác $ABC$, góc $B$ lớn nhất và góc $C$ nhỏ nhất.
Cho tam giác $MNP$ có độ dài các cạnh: $MN = 3\text{ cm}, NP = 5\text{ cm}, MP = 7\text{ cm}$. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc của tam giác $MNP$ theo thứ tự từ bé đến lớn.
Xem lời giải chi tiết
Trong tam giác $MNP$:
- Góc đối diện với cạnh $MN$ là góc $P$ ($\widehat{P}$).
- Góc đối diện với cạnh $NP$ là góc $M$ ($\widehat{M}$).
- Góc đối diện với cạnh $MP$ là góc $N$ ($\widehat{N}$).
Vì $MN < NP < MP$ ($3\text{ cm} < 5\text{ cm} < 7\text{ cm}$) nên theo Định lí 1 ta có:
$$\widehat{P} < \widehat{M} < \widehat{N}.$$
Thứ tự các góc từ bé đến lớn là: $\widehat{P} \to \widehat{M} \to \widehat{N}$.
Ngược lại với Định lí 1, cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} > \widehat{C}$. Liệu có thể so sánh được các cạnh đối diện tương ứng là $AC$ và $AB$ mà không cần đo độ dài các cạnh đó không?
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Hình 9.2: Định lí quan hệ hai chiều giữa góc và cạnh đối diện
Trong tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 80^\circ, \widehat{C} = 45^\circ$, hãy sắp xếp ba cạnh $AB, BC$ và $CA$ theo thứ tự độ dài từ lớn đến bé.
Xem lời giải chi tiết
Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ nên:
$$\widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^\circ - (80^\circ + 45^\circ) = 55^\circ.$$
Từ đó trong tam giác $ABC$ ta có: $\widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C}$ (vì $80^\circ > 55^\circ > 45^\circ$).
Theo Định lí 2, cạnh đối diện tương ứng là: $AC > BC > AB$.
Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 47^\circ, \widehat{N} = 53^\circ$. Hãy viết các cạnh của tam giác đó theo thứ tự độ dài từ bé đến lớn.
Xem lời giải chi tiết
Tính góc $\widehat{P}$:
$$\widehat{P} = 180^\circ - (\widehat{M} + \widehat{N}) = 180^\circ - (47^\circ + 53^\circ) = 80^\circ.$$
So sánh các góc từ bé đến lớn: $\widehat{M} < \widehat{N} < \widehat{P}$ ($47^\circ < 53^\circ < 80^\circ$).
Theo Định lí 2, thứ tự độ dài các cạnh đối diện từ bé đến lớn là: $NP < MP < MN$.
Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ là góc tù.
Vuông: "Tam giác $ABC$ có cạnh $AB$ lớn nhất."
Tròn: "Không đúng, tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ lớn nhất chứ!"
Theo em, bạn nào nói đúng? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
Bạn Tròn nói đúng.
Vì trong một tam giác, góc tù là góc có số đo lớn hơn $90^\circ$ nên nó luôn là góc lớn nhất trong tam giác đó. Cạnh đối diện với góc tù $A$ là cạnh $BC$. Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn nhất phải là cạnh lớn nhất, tức là cạnh $BC$ lớn nhất.
- Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.
- Tương tự trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
• Trong tam giác $BCD$, vì góc $\widehat{BCD}$ là góc tù (góc kề bù với góc tù $\widehat{ACD}$ hoặc xét tam giác $BCD$ có $\widehat{BCD} > 90^\circ$) nên cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất, tức là $BD > CD$. Vậy cầu thủ số 3 ($C$) đứng gần bóng hơn cầu thủ số 2 ($B$).
• Xét tam giác $ABD$, góc $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại $B$ của tam giác $BCD$ nên $\widehat{ABD} > \widehat{BCD} > 90^\circ$, do đó $\widehat{ABD}$ cũng là góc tù. Cạnh đối diện góc tù $\widehat{ABD}$ là $AD \implies AD > BD$.
• Do đó: $AD > BD > CD$.
Kết luận: Cầu thủ số 3 ($C$) đứng gần trái bóng nhất, cầu thủ số 4 ($A$) đứng xa trái bóng nhất.
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 105^\circ, \widehat{B} = 35^\circ$.
a) Tam giác $ABC$ là tam giác gì?
b) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì $\widehat{A} = 105^\circ > 90^\circ$ nên góc $A$ là góc tù. Do đó tam giác $ABC$ là tam giác tù.
b) Trong tam giác tù $ABC$, góc $A$ là góc tù nên là góc lớn nhất. Theo Nhận xét và Định lí 2, cạnh đối diện với góc $A$ là cạnh lớn nhất, tức là cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất.
Trong Hình 9.6 có hai đoạn thẳng $BC$ và $DC$ bằng nhau, $D$ nằm giữa $A$ và $C$. Hỏi kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? Tại sao?
a) $\widehat{A} = \widehat{B}$; b) $\widehat{A} > \widehat{B}$; c) $\widehat{A} < \widehat{B}$.
Xem lời giải chi tiết
Vì điểm $D$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ nên:
$$AC = AD + DC.$$
Mà $DC = BC$ theo giả thiết, do đó: $AC = AD + BC > BC$.
Trong tam giác $ABC$, vì $AC > BC$ nên theo Định lí 1 ta có góc đối diện với cạnh $AC$ lớn hơn góc đối diện với cạnh $BC$, tức là:
$$\widehat{B} > \widehat{A} \text{ hay } \widehat{A} < \widehat{B}.$$
Vậy kết luận c là đúng.
Trong tam giác cân có một góc bằng $96^\circ$, hỏi cạnh lớn nhất của tam giác cân đó là cạnh bên hay cạnh đáy? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
Vì $96^\circ > 90^\circ$ là góc tù nên tam giác cân này có góc ở đỉnh bằng $96^\circ$ (hai góc ở đáy phải là góc nhọn vì tổng ba góc bằng $180^\circ$).
Cạnh đối diện với góc ở đỉnh là cạnh đáy. Vì góc tù là góc lớn nhất trong tam giác nên cạnh đối diện với nó là cạnh lớn nhất.
Vậy cạnh lớn nhất của tam giác cân đó là cạnh đáy.
Ba bạn Mai, Việt và Hà đi đến trường tại địa điểm $D$ lần lượt theo ba con đường $AD, BD$ và $CD$ (Hình 9.7). Biết rằng ba điểm $A, B, C$ cùng nằm trên một đường thẳng, $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $\widehat{ACD}$ là góc tù. Hỏi bạn nào đi xa nhất, bạn nào đi gần nhất? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
• Trong tam giác $BCD$, góc $\widehat{BCD}$ kề bù với góc tù $\widehat{ACD}$ nên góc $\widehat{BCD}$ là góc nhọn? Lưu ý theo hình 9.7 SGK: góc $\widehat{BCD}$ kề bù với $\widehat{ACD}$ hoặc góc $\widehat{ACD}$ ở đỉnh $C$ tù. Do $\widehat{ACD}$ là góc tù nên trong tam giác $ACD$, cạnh đối diện góc tù là $AD$ lớn hơn $CD$.
• Tương tự, xét vị trí $B$ nằm giữa $A$ và $C$, góc $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại $B$ của tam giác $BCD$, hoặc áp dụng quan hệ góc tù ta luôn có: $AD > BD > CD$.
Vậy Mai đi xa nhất (quãng đường $AD$) và Hà đi gần nhất (quãng đường $CD$).
Ba địa điểm $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác $ABC$ với $\widehat{A}$ tù, $AC = 500\text{ m}$. Đặt một loa truyền thanh tại một điểm nằm giữa $A$ và $B$ thì tại $C$ có thể nghe tiếng loa không nếu bán kính để nghe rõ tiếng của loa là $500\text{ m}$?
Xem lời giải chi tiết
Gọi vị trí đặt loa truyền thanh là điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
Xét tam giác $AMC$, vì góc $\widehat{BAC}$ là góc tù nên góc $\widehat{MAC}$ cũng chính là góc tù (lớn hơn $90^\circ$).
Trong tam giác tù $AMC$, góc $\widehat{MAC}$ là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với nó là cạnh $MC$ lớn nhất:
$$MC > AC = 500\text{ m}.$$
Vì khoảng cách từ vị trí đặt loa ($M$) đến địa điểm $C$ lớn hơn $500\text{ m}$ (vượt quá bán kính nghe rõ $500\text{ m}$ của loa) nên tại $C$ không thể nghe rõ tiếng của loa truyền thanh.
Theo Định lí 1 SGK Toán 7 trang 60: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện góc vuông (cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.
Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất (lớn hơn $90^\circ$) nên cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất.
Trong tam giác $ABC$, góc đối diện với cạnh $BC$ là góc $\widehat{A}$.
Ta có $AB < BC < AC$ ($3 < 5 < 7$). Các góc đối diện tương ứng là $\widehat{C} < \widehat{A} < \widehat{B}$.
Tính $\widehat{C} = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 60^\circ$. Vì $\widehat{B} = 80^\circ$ lớn nhất nên cạnh đối diện góc $B$ là $AC$ lớn nhất.
Vì $\widehat{A} = 105^\circ > 90^\circ$ là góc tù (lớn nhất) nên cạnh đối diện với nó là cạnh $BC$ lớn nhất.
Vì góc $96^\circ$ là góc tù nên chỉ có thể là góc ở đỉnh. Cạnh đối diện góc ở đỉnh là cạnh đáy, do đó cạnh đáy lớn nhất.
Đã Thành Thạo Bài Tập Cơ Bản SGK?
Thử thách ngay với 8 bài toán tương tự & vận dụng nâng cao để bứt phá mục tiêu 9+!
Ngân Hàng Bài Toán Tương Tự & Vận Dụng Nâng Cao
Tuyển tập các bài toán phát triển từ câu hỏi SGK, bám sát đề minh họa và đề thi tốt nghiệp THPT 2025. Hướng dẫn tư duy bản chất, mẹo bấm máy giải nhanh và kèm lớp Zoom tương tác hàng tuần.
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!