Bài tập cuối chương I

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$ và phương trình thứ hai với $7$, ta được:

$\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ 21x + 14y = -35 \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình: $11x = -33 \iff x = -3$.

Thay $x = -3$ vào phương trình thứ hai: $3(-3) + 2y = -5 \iff 2y = 4 \iff y = 2$.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(-3; 2)$. Chọn đáp án B.

Thay toạ độ từng điểm vào vế trái của phương trình $4x - 3y = -1$:

• Với $A(1; 2)$: $4(1) - 3(2) = 4 - 6 = -2 \ne -1$ (Điểm $A$ không thuộc đường thẳng).
• Với $B(5; 6)$: $4(5) - 3(6) = 20 - 18 = 2 \ne -1$ (Điểm $B$ không thuộc đường thẳng).
• Với $C(2; 3)$: $4(2) - 3(3) = 8 - 9 = -1$ (Điểm $C$ thuộc đường thẳng).
• Với $D(-1; -1)$: $4(-1) - 3(-1) = -4 + 3 = -1$ (Điểm $D$ thuộc đường thẳng).

Vậy đường thẳng $4x - 3y = -1$ đi qua hai điểm $C$ và $D$. Chọn đáp án C.

Từ phương trình thứ hai, ta có: $y = 2x - 2$. Thế vào phương trình thứ nhất:

$1{,}5x - 0{,}6(2x - 2) = 0{,}3 \iff 1{,}5x - 1{,}2x + 1{,}2 = 0{,}3 \iff 0{,}3x = -0{,}9 \iff x = -3$.

Thay $x = -3$ vào $y = 2x - 2$, ta được: $y = 2(-3) - 2 = -8$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(-3; -8)$. Chọn đáp án C.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10/3$ (hoặc chia cho $0{,}3$):

$\frac{0{,}6}{0{,}3}x + \frac{0{,}3}{0{,}3}y = \frac{1{,}8}{0{,}3} \iff 2x + y = 6$.

Hệ phương trình trở thành: $\begin{cases} 2x + y = 6 \\ 2x + y = -6 \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình ta được $0x + 0y = 12$ (vô lý).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Chọn đáp án B.

Chu vi đường tròn là: $C = \pi \cdot d = 20\pi\text{ cm}$.

Gọi vận tốc của vật thứ nhất (chuyển động nhanh hơn) là $v_1\text{ (cm/s)}$ và vật thứ hai là $v_2\text{ (cm/s)}$ ($v_1 > v_2 > 0$).

- Khi chuyển động ngược chiều, tổng quãng đường hai vật đi được trong $4\text{ s}$ bằng đúng chu vi đường tròn:
$4v_1 + 4v_2 = 20\pi \iff v_1 + v_2 = 5\pi$.

- Khi chuyển động cùng chiều, hiệu quãng đường hai vật đi được trong $20\text{ s}$ bằng đúng chu vi đường tròn:
$20v_1 - 20v_2 = 20\pi \iff v_1 - v_2 = \pi$.

Giải hệ phương trình $\begin{cases} v_1 + v_2 = 5\pi \\ v_1 - v_2 = \pi \end{cases} \implies \begin{cases} v_1 = 3\pi \approx 9{,}42\text{ cm/s} \\ v_2 = 2\pi \approx 6{,}28\text{ cm/s} \end{cases}$.

Vậy vận tốc hai vật lần lượt là $3\pi\text{ cm/s}$ (xấp xỉ $9{,}42\text{ cm/s}$) và $2\pi\text{ cm/s}$ (xấp xỉ $6{,}28\text{ cm/s}$).

Gọi giá trị của loại hàng thứ nhất và thứ hai khi chưa có thuế VAT lần lượt là $x$ và $y$ (triệu đồng) ($x, y > 0$).

- Trường hợp 1: Thuế VAT $10\%$ cho loại 1 và $8\%$ cho loại 2, tổng số tiền là $21{,}7$ triệu đồng:
$(1 + 0{,}10)x + (1 + 0{,}08)y = 21{,}7 \iff 1{,}1x + 1{,}08y = 21{,}7$.

- Trường hợp 2: Thuế VAT $9\%$ cho cả hai loại hàng, tổng số tiền là $21{,}8$ triệu đồng:
$(1 + 0{,}09)(x + y) = 21{,}8 \iff 1{,}09(x + y) = 21{,}8 \iff x + y = 20$.

Từ $x + y = 20 \implies y = 20 - x$. Thế vào phương trình thứ nhất:
$1{,}1x + 1{,}08(20 - x) = 21{,}7 \iff 0{,}02x + 21{,}6 = 21{,}7 \iff 0{,}02x = 0{,}1 \iff x = 5$.

$\implies y = 20 - 5 = 15$.

Vậy khi chưa tính thuế VAT, loại hàng thứ nhất có giá $5\text{ triệu đồng}$ và loại hàng thứ hai có giá $15\text{ triệu đồng}$.