Ta phân tích từng phần tử của tập hợp $A$:

• $7{,}1$ và $5{,}14$ là các số thập phân hữu hạn nên là các số hữu tỉ.
• $-2{,}(61)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên là số hữu tỉ.
• $0$ là số nguyên, do đó là số hữu tỉ.
• $\frac{4}{7}$ là phân số tối giản nên là số hữu tỉ.
• $-\sqrt{81} = -9$ là số nguyên nên là số hữu tỉ.
• $\sqrt{15} = 3{,}872983\dots$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ.

• Tập hợp $B$ gồm các số hữu tỉ thuộc tập $A$: $$B = \left\{7{,}1; -2{,}(61); 0; 5{,}14; \frac{4}{7}; -\sqrt{81}\right\}$$

• Tập hợp $C$ gồm các số vô tỉ thuộc tập $A$: $$C = \{\sqrt{15}\}$$

Số đối của một số thực $x$ là $-x$:

• Số đối của $7{,}1$ là $-7{,}1$.
• Số đối của $-2{,}(61)$ là $2{,}(61)$.
• Số đối của $0$ là $0$.
• Số đối của $5{,}14$ là $-5{,}14$.
• Số đối của $\frac{4}{7}$ là $-\frac{4}{7}$.
• Số đối của $\sqrt{15}$ là $-\sqrt{15}$.
• Số đối của $-\sqrt{81} = -9$ là $\sqrt{81} = 9$.

Vậy: $A' = \left\{-7{,}1; 2{,}(61); 0; -5{,}14; -\frac{4}{7}; -\sqrt{15}; \sqrt{81}\right\}$.

• a) Số $a = 1{,}25$ mang dấu dương ($+$) và có giá trị tuyệt đối là $|a| = |1{,}25| = 1{,}25$.
• b) Số $b = -4{,}1$ mang dấu âm ($-$) và có giá trị tuyệt đối là $|b| = |-4{,}1| = 4{,}1$.
• c) Số $c = -1{,}414213562\dots$ mang dấu âm ($-$) và có giá trị tuyệt đối là $|c| = |-1{,}414213562\dots| = 1{,}414213562\dots$ (chính là $\sqrt{2}$).

Vì $|x|$ là khoảng cách từ điểm $x$ trên trục số đến gốc $O$, nên $|x| = 2{,}5$ nghĩa là điểm $x$ cách gốc $O$ đúng $2{,}5$ đơn vị.

Trên trục số thực, có hai điểm cách gốc $O$ một khoảng bằng $2{,}5$ đơn vị:

• Điểm nằm bên phải gốc $O$ ứng với $x = 2{,}5$.
• Điểm nằm bên trái gốc $O$ ứng với $x = -2{,}5$.

Kết luận: Có hai số thực thỏa mãn là $x = 2{,}5$ hoặc $x = -2{,}5$ (viết gọn là $x = \pm 2{,}5$).