Ta xét các tích hai số từ bốn số đã cho:

$0{,}2 \cdot 1{,}2 = 0{,}24$ và $0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$.

Do $0{,}2 \cdot 1{,}2 = 0{,}3 \cdot 0{,}8$, ta lập được 4 tỉ lệ thức sau:

Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ($a \cdot d = b \cdot c$):

$$x \cdot 15 = 2{,}5 \cdot 10 \implies 15x = 25 \implies x = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}.$$

Vậy $x = \frac{5}{3}$.

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c$. Từ đẳng thức tích này ta suy ra được ba tỉ lệ thức:

• Hoán vị hai ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.

• Hoán vị hai trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.

• Hoán vị đồng thời cả hai ngoại tỉ và hai trung tỉ: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

Ngoài ra, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (với điều kiện các mẫu khác 0):

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}.$$

Gọi số đo ba góc của tam giác $ABC$ lần lượt là $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ (đơn vị: độ; $0^\circ < \widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} < 180^\circ$).

Theo định lí tổng các góc trong một tam giác, ta có: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Vì số đo ba góc tỉ lệ với $5; 6; 7$ nên:

$$\frac{\widehat{A}}{5} = \frac{\widehat{B}}{6} = \frac{\widehat{C}}{7}.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{\widehat{A}}{5} = \frac{\widehat{B}}{6} = \frac{\widehat{C}}{7} = \frac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}}{5 + 6 + 7} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ.$$

Từ đây suy ra số đo từng góc:

• $\widehat{A} = 10^\circ \cdot 5 = 50^\circ$.

• $\widehat{B} = 10^\circ \cdot 6 = 60^\circ$.

• $\widehat{C} = 10^\circ \cdot 7 = 70^\circ$.

Vậy số đo ba góc của tam giác là $\widehat{A} = 50^\circ, \widehat{B} = 60^\circ$ và $\widehat{C} = 70^\circ$.

Gọi $x, y, z$ lần lượt là số công nhân của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba ($x, y, z \in \mathbb{N}^*$).

Vì ba đội làm cùng khối lượng công việc với năng suất như nhau nên số công nhân và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

$$4x = 5y = 6z \quad \text{và} \quad x - y = 3.$$

Chia cả ba biểu thức cho $\text{BCNN}(4, 5, 6) = 60$, ta được:

$$\frac{4x}{60} = \frac{5y}{60} = \frac{6z}{60} \implies \frac{x}{15} = \frac{y}{12} = \frac{z}{10}.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{x}{15} = \frac{y}{12} = \frac{z}{10} = \frac{x - y}{15 - 12} = \frac{3}{3} = 1.$$

Từ đây suy ra:

• Đội thứ nhất: $x = 1 \cdot 15 = 15$ (người).

• Đội thứ hai: $y = 1 \cdot 12 = 12$ (người).

• Đội thứ ba: $z = 1 \cdot 10 = 10$ (người).

Vậy đội thứ nhất có 15 người, đội thứ hai có 12 người và đội thứ ba có 10 người.