Chương V: Đường tròn – Bài 16

Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Nắm vững 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn dựa vào so sánh khoảng cách \(d\) từ tâm đến đường thẳng với bán kính \(R\); thành thạo định lí dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Tình huống mở đầu (Trang 99 SGK)

Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính \(1\text{ cm}\) lên một tờ giấy trải phẳng. Trên tờ giấy đó có vẽ những đường thẳng song song cách đều, khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì nằm cạnh nhau luôn bằng \(2\text{ cm}\). Nếu khoảng cách ấy luôn bằng \(2\text{ cm}\) thì có thể xảy ra những trường hợp nào sau đây? Vì sao?
a) Đồng xu đè lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần của đường thẳng);
b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào;
c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

Xem lời giải tình huống mở đầu

• Đường kính của đồng xu là \(2R = 2 \times 1 = 2\text{ cm}\), đúng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song kế tiếp.

• Do đó:
– Trường hợp a) có thể xảy ra: khi tâm đồng xu cách một đường thẳng một khoảng \(d < 1\text{ cm}\).
– Trường hợp b) có thể xảy ra: khi tâm đồng xu nằm chính giữa hai đường thẳng (khoảng cách đến cả hai đường thẳng đều bằng \(1\text{ cm}\), đồng xu tiếp xúc hoặc nằm lọt giữa hai đường thẳng mà không cắt đè lên).
– Trường hợp c) không thể xảy ra: vì đường kính đồng xu chỉ bằng \(2\text{ cm}\), nó không thể cùng lúc cắt đè lên hai đường thẳng cách nhau \(2\text{ cm}\) (trừ khi tiếp xúc đồng thời ở hai mép, nhưng khi đó không che khuất phần nào của đường thẳng).

Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a Cắt nhau (\(d < R\))

Đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\) có đúng 2 điểm chung \(A\) và \(B\).

Đoạn thẳng \(AB\) là một dây cung của \((O)\). Khoảng cách \(d = OH < R\).

b Tiếp xúc nhau (\(d = R\))

Đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\) có duy nhất 1 điểm chung \(H\).

Điểm \(H\) gọi là tiếp điểm. Đường thẳng \(a\) gọi là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(H\). Khi đó: \(a \perp OH\).

c Không giao nhau (\(d > R\))

Đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\) không có điểm chung nào.

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng lớn hơn bán kính: \(d = OH > R\).

Luyện tập 1 (Trang 100 SGK)

Cho đường thẳng \(a\) và điểm \(O\) cách \(a\) một khoảng bằng \(4\text{ cm}\) (\(d = 4\text{ cm}\)). Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng \(a\)? Tại sao?
a) \((O; 3\text{ cm})\); b) \((O; 5\text{ cm})\); c) \((O; 4\text{ cm})\).

Xem lời giải Luyện tập 1

a) Với đường tròn \((O; 3\text{ cm})\): Bán kính \(R = 3\text{ cm} < d = 4\text{ cm} \implies\) Đường tròn không cắt (không giao nhau với) đường thẳng \(a\).

b) Với đường tròn \((O; 5\text{ cm})\): Bán kính \(R = 5\text{ cm} > d = 4\text{ cm} \implies\) Đường thẳng \(a\) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

c) Với đường tròn \((O; 4\text{ cm})\): Bán kính \(R = 4\text{ cm} = d = 4\text{ cm} \implies\) Đường thẳng \(a\) tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lí 1: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

\(H \in (O)\) và \(a \perp OH\) tại \(H \iff a\) là tiếp tuyến của \((O)\) tại tiếp điểm \(H\).

Ví dụ 1 (Trang 101 SGK)

Cho \(AB\) là một dây không đi qua tâm của đường tròn \((O)\). Đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(AB\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\) ở điểm \(C\) (Hình 5.27). Chứng minh rằng \(CB\) là một tiếp tuyến của \((O)\).

Xem lời giải Ví dụ 1

• Gọi \(D\) là giao điểm của \(AB\) và \(OC\).

• Trong tam giác cân \(AOB\) (\(OA = OB = R\)), đường cao \(OD\) đồng thời là đường phân giác của góc ở tâm \(O\), suy ra \(\widehat{O}_1 = \widehat{O}_2\).

• Xét \(\triangle AOC\) và \(\triangle BOC\) có:
– \(OA = OB = R\)
– \(\widehat{O}_1 = \widehat{O}_2\)
– Cạnh \(OC\) chung
\(\implies \triangle AOC = \triangle BOC\text{ (c-g-c)}\).

• Từ đó suy ra: \(\widehat{OBC} = \widehat{OAC} = 90^\circ\) (vì \(CA\) là tiếp tuyến tại \(A\) nên \(CA \perp OA\)).

• Vì \(B \in (O)\) và \(CB \perp OB\) tại \(B\), theo Định lí 1 thì \(CB\) là một tiếp tuyến của \((O)\) (đpcm).

Luyện tập 2 (Trang 101 SGK)

Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng \(6\text{ cm}\) và hai đường chéo cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng đường tròn \((I; 3\text{ cm})\) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Xem lời giải Luyện tập 2

• Giao điểm \(I\) của hai đường chéo hình vuông là tâm đối xứng của hình vuông.

• Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mỗi cạnh của hình vuông bằng một nửa chiều dài cạnh hình vuông: \[d = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\]

• Vì bán kính đường tròn \(R = 3\text{ cm} = d\), nên đường tròn \((I; 3\text{ cm})\) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông (đây chính là đường tròn nội tiếp hình vuông).

Luyện tập 2: Đường tròn nội tiếp hình vuông

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí 2: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại điểm \(M\) (với các tiếp điểm là \(A\) và \(B\)) thì:

Điểm \(M\) cách đều hai tiếp điểm: \(MA = MB\).
\(MO\) là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến: \(\widehat{AMO} = \widehat{BMO}\).
\(OM\) là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm: \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\).

Đặc biệt: Vì \(MA = MB\) và \(OA = OB = R\) nên đường thẳng \(OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(OM \perp AB\).

Ví dụ 2 (Trang 102 SGK)

Cho hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) của đường tròn \((O; R)\) (\(A\) và \(B\) là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng \(OM \perp AB\).
b) Tính \(MA\) và \(MB\), biết \(R = 2\text{ cm}\) và \(MO = 4\text{ cm}\).

Xem lời giải Ví dụ 2

a) Vì \(MA, MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(MA = MB\). Lại có \(OA = OB = R\). Do đó \(OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(OM \perp AB\).

b) Tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\) (do \(MA\) tiếp xúc với \((O)\) tại \(A\)). Áp dụng định lí Pythagore: \[AM^2 = OM^2 - OA^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\] \[\implies AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ (cm)}\]

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: \(BM = AM = 2\sqrt{3}\text{ cm}\).

Ghi nhớ trọng tâm Bài 16

So sánh \(d\) và \(R\): \(d < R\) (cắt nhau tại 2 điểm), \(d = R\) (tiếp xúc nhau tại 1 tiếp điểm), \(d > R\) (không giao nhau).
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến: \(H \in (O)\) và \(a \perp OH \implies a\) là tiếp tuyến tại \(H\).
Hai tiếp tuyến cắt nhau: \(MA = MB\), \(MO\) là phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến, \(OM\) là phân giác góc tạo bởi 2 bán kính, và \(OM \perp AB\).

Cho đường tròn \((O; R)\) và đường thẳng \(a\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến đường thẳng \(a\). Đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O)\) cắt nhau khi và chỉ khi:

Lời giải chi tiết:

Theo định nghĩa: Đường thẳng và đường tròn cắt nhau có đúng 2 điểm chung khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính: \(d < R\).