Toán 7 • Tập 2 • Chương VII

BÀI 26: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN

Nắm vững quy tắc cộng, trừ hai đa thức một biến theo hai cách: bỏ dấu ngoặc nhóm hạng tử cùng bậc hoặc đặt tính cột dọc; vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp vào bài toán thực tiễn.

Khái niệm, thuật ngữ

Tổng, hiệu của hai đa thức; đa thức đối; hạng tử khuyết.

Kiến thức, kĩ năng

Thực hiện thành thạo các phép tính cộng, trừ hai đa thức một biến theo hai cách.
Nhận biết và vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với đa thức không.
Thiết lập đa thức trong các bài toán thực tiễn: diện tích, kinh tế mua sắm.

Tình huống mở đầu (SGK trang 31)

Xét hai biểu thức số: $A = 5 \cdot 7^2 + 2$ và $B = 7^2 - 12 \cdot 7$. Dựa vào tính chất các phép toán đối với các số, ta có:

$$\begin{aligned} A + B &= (5 \cdot 7^2 + 2) + (7^2 - 12 \cdot 7) \\ &= (5 \cdot 7^2 + 7^2) - 12 \cdot 7 + 2 \\ &= (5 + 1) \cdot 7^2 - 12 \cdot 7 + 2 = 6 \cdot 7^2 - 12 \cdot 7 + 2 \end{aligned}$$

Tương tự như biểu thức số, ta cũng có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ hai đa thức; kết quả của mỗi phép tính đó cũng là một đa thức.

Cộng Hai Đa Thức Một Biến

Cho hai đa thức: $P = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x$ và $Q = -x^3 + 4x^2 - 2x + 1$.

Giả sử ta cần tìm tổng: $P + Q = (x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x) + (-x^3 + 4x^2 - 2x + 1)$. Ta có thể trình bày phép cộng này theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc

$$\begin{aligned} P + Q &= (x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x) + (-x^3 + 4x^2 - 2x + 1) \\ &= x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x - x^3 + 4x^2 - 2x + 1 \\ &= x^4 + (3x^3 - x^3) + (4x^2 - 5x^2) + (7x - 2x) + 1 \\ &= x^4 + 2x^3 - x^2 + 5x + 1 \end{aligned}$$

Cách 2: Đặt tính cộng theo cột dọc

Đặt các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột:

$$\begin{array}{rrrrrr} & x^4 & + 3x^3 & - 5x^2 & + 7x & \\ + & & - x^3 & + 4x^2 & - 2x & + 1 \\ \hline P+Q= & x^4 & + 2x^3 & - x^2 & + 5x & + 1 \end{array}$$

Lưu ý: Nếu một đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì hãy để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Câu hỏi thảo luận (SGK trang 32)

Tìm tổng của hai đa thức: $x^3 - 5x + 2$ và $x^3 - x^2 + 6x - 4$.

Xem lời giải

$$\begin{aligned} (x^3 - 5x + 2) + (x^3 - x^2 + 6x - 4) &= (x^3 + x^3) - x^2 + (-5x + 6x) + (2 - 4) \\ &= 2x^3 - x^2 + x - 2 \end{aligned}$$

Chú ý: Tính chất của phép cộng đa thức

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất tương tự như phép cộng các số thực:

Tính chất giao hoán: $A + B = B + A$
Tính chất kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$
Cộng với đa thức không: $A + 0 = 0 + A = A$

Luyện tập 1 (SGK trang 32)

Cho hai đa thức $M = 0{,}5x^4 - 4x^3 + 2x - 2{,}5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1{,}5$. Hãy tính tổng $M + N$ (trình bày theo hai cách).

Xem lời giải Luyện tập 1

Cách 1 (Nhóm hạng tử cùng bậc):

$$\begin{aligned} M + N &= (0{,}5x^4 - 4x^3 + 2x - 2{,}5) + (2x^3 + x^2 + 1{,}5) \\ &= 0{,}5x^4 + (-4x^3 + 2x^3) + x^2 + 2x + (-2{,}5 + 1{,}5) \\ &= 0{,}5x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 1 \end{aligned}$$

Cách 2 (Đặt tính cột dọc):

$$\begin{array}{rrrrrr} & 0{,}5x^4 & - 4x^3 & & + 2x & - 2{,}5 \\ + & & + 2x^3 & + x^2 & & + 1{,}5 \\ \hline M+N= & 0{,}5x^4 & - 2x^3 & + x^2 & + 2x & - 1 \end{array}$$

Vận dụng 1 (SGK trang 32)

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau: $A = 2x^3 - 5x^2 + x - 7$; $B = x^2 - 2x + 6$; $C = -x^3 + 4x^2 - 1$.

Xem lời giải Vận dụng 1

Đặt tính cộng cột dọc cho ba đa thức:

$$\begin{array}{rrrrr} & 2x^3 & - 5x^2 & + x & - 7 \\ & & + x^2 & - 2x & + 6 \\ + & - x^3 & + 4x^2 & & - 1 \\ \hline A+B+C = & x^3 & & - x & - 2 \end{array}$$

Vậy $A + B + C = x^3 - x - 2$. (Hạng tử $x^2$ có tổng hệ số: $-5 + 1 + 4 = 0$).

Trừ Hai Đa Thức Một Biến

Cho hai đa thức: $P = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x$ và $Q = -x^3 + 4x^2 - 2x + 1$. Đối với phép trừ $P - Q$, ta cũng có hai cách trình bày:

HĐ1: Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm hạng tử cùng bậc

$$\begin{aligned} P - Q &= (x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x) - (-x^3 + 4x^2 - 2x + 1) \\ &= x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 7x + x^3 - 4x^2 + 2x - 1 \\ &= x^4 + (3x^3 + x^3) + (-5x^2 - 4x^2) + (7x + 2x) - 1 \\ &= x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 9x - 1 \end{aligned}$$

HĐ2: Đặt tính trừ theo cột dọc

Đặt đa thức $Q$ dưới $P$ sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột rồi trừ từng cột:

$$\begin{array}{rrrrrr} & x^4 & + 3x^3 & - 5x^2 & + 7x & \\ - & & - x^3 & + 4x^2 & - 2x & + 1 \\ \hline P-Q= & x^4 & + 4x^3 & - 9x^2 & + 9x & - 1 \end{array}$$

Luyện tập 2 (SGK trang 32)

Cho hai đa thức $M = 0{,}5x^4 - 4x^3 + 2x - 2{,}5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1{,}5$. Hãy tính hiệu $M - N$ (trình bày theo hai cách).

Xem lời giải Luyện tập 2

Cách 1:

$$\begin{aligned} M - N &= (0{,}5x^4 - 4x^3 + 2x - 2{,}5) - (2x^3 + x^2 + 1{,}5) \\ &= 0{,}5x^4 - 4x^3 + 2x - 2{,}5 - 2x^3 - x^2 - 1{,}5 \\ &= 0{,}5x^4 + (-4x^3 - 2x^3) - x^2 + 2x + (-2{,}5 - 1{,}5) \\ &= 0{,}5x^4 - 6x^3 - x^2 + 2x - 4 \end{aligned}$$

Cách 2:

$$\begin{array}{rrrrrr} & 0{,}5x^4 & - 4x^3 & & + 2x & - 2{,}5 \\ - & & + 2x^3 & + x^2 & & + 1{,}5 \\ \hline M-N= & 0{,}5x^4 & - 6x^3 & - x^2 & + 2x & - 4 \end{array}$$

Chú ý (SGK trang 33):

Tương tự như các số, đối với các đa thức $P, Q, R$, ta cũng có:

Nếu $Q + R = P$ thì $R = P - Q$. | Nếu $R = P - Q$ thì $Q + R = P$.

Vận dụng 2 (SGK trang 33)

Cho đa thức $A = x^4 - 3x^2 - 2x + 1$. Tìm các đa thức $B$ và $C$ sao cho:

$A + B = 2x^5 + 5x^3 - 2$

$A - C = x^3$

Xem lời giải Vận dụng 2

Tìm đa thức $B$:

$$\begin{aligned} B &= (2x^5 + 5x^3 - 2) - A \\ &= (2x^5 + 5x^3 - 2) - (x^4 - 3x^2 - 2x + 1) \\ &= 2x^5 + 5x^3 - 2 - x^4 + 3x^2 + 2x - 1 \\ &= 2x^5 - x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 2x - 3 \end{aligned}$$

Tìm đa thức $C$:

$$\begin{aligned} C &= A - x^3 = (x^4 - 3x^2 - 2x + 1) - x^3 \\ &= x^4 - x^3 - 3x^2 - 2x + 1 \end{aligned}$$

Bài tập Thực hành & Vận dụng (SGK Trang 33)

Bài 7.12 (SGK trang 33)

Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc: $$(x^2 - 3x + 2) \quad \text{và} \quad (4x^3 - x^2 + x - 1)$$

Xem lời giải chi tiết Bài 7.12

$$\begin{aligned} (x^2 - 3x + 2) + (4x^3 - x^2 + x - 1) &= 4x^3 + (x^2 - x^2) + (-3x + x) + (2 - 1) \\ &= 4x^3 - 2x + 1 \end{aligned}$$

Bài 7.13 (SGK trang 33)

Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: $(-x^3 - 5x + 2) - (3x + 8)$.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.13

Đặt tính trừ:

$$\begin{array}{rrrr} & - x^3 & - 5x & + 2 \\ - & & 3x & + 8 \\ \hline & - x^3 & - 8x & - 6 \end{array}$$

Vậy hiệu là $-x^3 - 8x - 6$.

Bài 7.14 (SGK trang 33)

Cho hai đa thức $A = 6x^4 - 4x^3 + x - \frac{1}{3}$ và $B = -3x^4 - 2x^3 - 5x^2 + x + \frac{2}{3}$. Tính $A + B$ và $A - B$.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.14

Tính $A + B$:

$$\begin{aligned} A + B &= [6x^4 + (-3x^4)] + [-4x^3 + (-2x^3)] - 5x^2 + (x + x) + \left(-\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) \\ &= 3x^4 - 6x^3 - 5x^2 + 2x + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

Tính $A - B$:

$$\begin{aligned} A - B &= [6x^4 - (-3x^4)] + [-4x^3 - (-2x^3)] - (-5x^2) + (x - x) + \left(-\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\right) \\ &= 9x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 1 \end{aligned}$$

Bài 7.15 (SGK trang 33)

Cho các đa thức $A = 3x^4 - 2x^3 - x + 1$; $B = -2x^3 + 4x^2 + 5x$ và $C = -3x^4 + 2x^2 + 5$. Tính $A + B + C$; $A - B + C$ và $A - B - C$.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.15

1) Tính $A + B + C$:

$$\begin{aligned} A + B + C &= (3 - 3)x^4 + (-2 - 2)x^3 + (4 + 2)x^2 + (-1 + 5)x + (1 + 5) \\ &= -4x^3 + 6x^2 + 4x + 6 \end{aligned}$$

2) Tính $A - B + C$:

$$\begin{aligned} A - B + C &= [3 - 0 + (-3)]x^4 + [-2 - (-2) + 0]x^3 + [0 - 4 + 2]x^2 + [-1 - 5 + 0]x + [1 - 0 + 5] \\ &= -2x^2 - 6x + 6 \end{aligned}$$

3) Tính $A - B - C$:

$$\begin{aligned} A - B - C &= [3 - 0 - (-3)]x^4 + [-2 - (-2) - 0]x^3 + [0 - 4 - 2]x^2 + [-1 - 5 - 0]x + [1 - 0 - 5] \\ &= 6x^4 - 6x^2 - 6x - 4 \end{aligned}$$

Bài 7.16 (SGK trang 33)

Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua $x$ cuốn sách khoa học, $x + 8$ cuốn sách tham khảo và $x + 5$ cuốn truyện tranh.

Loại sách	Giá bán một cuốn (đồng)
Truyện tranh	15 000
Sách tham khảo	12 500
Sách khoa học	21 500

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.16

a) Đa thức biểu thị số tiền mua từng loại sách là:

Sách khoa học ($x$ cuốn): $21\,500x$ (đồng).
Sách tham khảo ($x + 8$ cuốn): $12\,500(x + 8) = 12\,500x + 100\,000$ (đồng).
Truyện tranh ($x + 5$ cuốn): $15\,000(x + 5) = 15\,000x + 75\,000$ (đồng).

b) Đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả là:

$$\begin{aligned} T(x) &= 21\,500x + (12\,500x + 100\,000) + (15\,000x + 75\,000) \\ &= (21\,500 + 12\,500 + 15\,000)x + (100\,000 + 75\,000) \\ &= 49\,000x + 175\,000 \quad \text{(đồng)} \end{aligned}$$

Bài 7.17 (SGK trang 33)

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $65\text{ m}$, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là $x$ mét, chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến $x$):

a) Biểu thị diện tích của bể bơi.

b) Biểu thị diện tích mảnh đất.

c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Xem lời giải chi tiết Bài 7.17

a) Bể bơi có chiều rộng là $x$ (m) và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, tức là $3x$ (m). Do đó, diện tích của bể bơi là:

$$S_{\text{bể}} = x \cdot 3x = 3x^2 \quad (\text{m}^2)$$

b) Theo Hình 7.1, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật gồm lề trên ($4\text{ m}$), chiều rộng bể bơi ($x\text{ m}$) và lề dưới ($5\text{ m}$):

$$\text{Chiều rộng mảnh đất} = 4 + x + 5 = x + 9 \quad (\text{m})$$

Chiều dài mảnh đất là $65\text{ m}$. Do đó, diện tích mảnh đất là:

$$S_{\text{đất}} = 65(x + 9) = 65x + 585 \quad (\text{m}^2)$$

c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi bằng diện tích toàn bộ mảnh đất trừ đi diện tích bể bơi:

$$S_{\text{xung quanh}} = S_{\text{đất}} - S_{\text{bể}} = (65x + 585) - 3x^2 = -3x^2 + 65x + 585 \quad (\text{m}^2)$$

Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến