Bài tập cuối chương II (Toán Lớp 9)

Hệ thống hóa kiến thức Chương II: Bất đẳng thức & Bất phương trình bậc nhất một ẩn

I. BẢNG TỔNG KẾT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG II

1. Bất đẳng thức và tính chất

- Cộng hai vế: $a < b \implies a + c < b + c$.
- Nhân số dương: $c > 0 \implies ac < bc$.
- Nhân số âm: $c < 0 \implies ac > bc$ (đảo chiều bất đẳng thức).
- Bắc cầu: $a < b$ và $b < c \implies a < c$.

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Dạng: $ax + b < 0, ax + b \le 0, ax + b > 0, ax + b \ge 0$ ($a \ne 0$).
- Giải bằng 2 quy tắc: Chuyển vế (đổi dấu số hạng) và Nhân/chia hai vế (đổi chiều khi nhân/chia số âm).
- Biểu diễn tập nghiệm trên trục số bằng ngoặc tròn $($ hoặc ngoặc vuông $[$.

3. Phương trình tích & Chứa ẩn ở mẫu

- Phương trình tích: $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Tìm ĐKXĐ $\to$ Quy đồng khử mẫu $\to$ Giải $\to$ So sánh ĐKXĐ loại nghiệm ngoại lai.

4. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

- Với mọi $a \ge 0, b \ge 0$, ta luôn có: $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ hay $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b$. Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học và đại số.

II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK TRANG 42 - 43

Bài 2.21 - 2.25 (Trang 42 SGK): Trắc nghiệm nhanh

2.21: $-2x + 1 < 0 \iff -2x < -1 \iff x > \frac{1}{2}$. Chọn B.
2.22: ĐKXĐ của $\frac{x}{2x + 1} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x}{(2x + 1)(x - 5)}$ là $x \ne -\frac{1}{2}$ và $x \ne 5$. Chọn D.
2.23: $x - 1 = m + 4 \iff x = m + 5$. Để nghiệm lớn hơn 1: $m + 5 > 1 \iff m > -4$. Chọn C.
2.24: $1 - 2x \ge 2 - x \iff -x \ge 1 \iff x \le -1$. Chọn C.
2.25: $a > b \implies 5a > 5b \implies 5a + 1 > 5b + 1$. Chọn C.

Bài 2.26 (Trang 42 SGK): Giải các phương trình:

a) $(3x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 0$ b) $x(x + 1) = 2(x^2 - 1)$

Xem lời giải Bài 2.26

a) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$[(3x - 1) - (x + 2)][(3x - 1) + (x + 2)] = 0 \iff (2x - 3)(4x + 1) = 0$.
$\implies 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$ hoặc $4x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{4}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{-\frac{1}{4}; \frac{3}{2}\}$.

b) Ta có $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Chuyển vế đặt nhân tử chung:
$x(x + 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0 \iff (x + 1)[x - 2(x - 1)] = 0 \iff (x + 1)(2 - x) = 0$.
$\implies x = -1$ hoặc $x = 2$. Vậy tập nghiệm là $S = \{-1; 2\}$.

Bài 2.27 (Trang 42 SGK): Giải các phương trình:

a) $\frac{x}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} = \frac{x^2}{x^2 - 25}$ b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{3}{x^3 + 1}$

Xem lời giải Bài 2.27

a) ĐKXĐ: $x \ne \pm 5$. MTC: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Quy đồng khử mẫu: $x(x + 5) - 2(x - 5) = x^2 \iff x^2 + 3x + 10 = x^2 \iff 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy tập nghiệm là $S = \{-\frac{10}{3}\}$.

b) ĐKXĐ: $x \ne -1$. MTC: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.
Quy đồng khử mẫu: $(x^2 - x + 1) - x(x + 1) = 3 \iff x^2 - x + 1 - x^2 - x = 3 \iff -2x = 2 \implies x = -1$.
So sánh ĐKXĐ: Giá trị $x = -1$ không thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình vô nghiệm, $S = \varnothing$.

Bài 2.30 (Trang 42 - 43 SGK): So sánh hai gói cước viễn thông quốc tế

- Gói A: Cước thuê bao hàng tháng 32 USD, 45 phút miễn phí, 0,4 USD cho mỗi phút thêm.
- Gói B: Cước thuê bao hàng tháng 44 USD, không có phút miễn phí, 0,25 USD/phút.

Xem lời giải Bài 2.30

a) Gọi thời gian gọi trong tháng là $t$ phút ($t > 45$).
- Cước phí gói A: $32 + 0{,}4(t - 45) = 0{,}4t + 14$ (USD).
- Cước phí gói B: $44 + 0{,}25t$ (USD).
Phương trình để cước phí hai gói bằng nhau:
$0{,}4t + 14 = 44 + 0{,}25t \iff 0{,}15t = 30 \iff t = 200\text{ phút}$.

b) Lựa chọn gói cước:
- Khi gọi 180 phút ($180 < 200$): Gói A tốn $32 + 0{,}4(180 - 45) = 86$ USD, gói B tốn $44 + 0{,}25(180) = 89$ USD $\implies$ Nên dùng gói A.
- Khi gọi 500 phút ($500 > 200$): Gói A tốn $32 + 0{,}4(500 - 45) = 214$ USD, gói B tốn $44 + 0{,}25(500) = 169$ USD $\implies$ Nên dùng gói B.

Bài 2.31 & 2.32 (Trang 43 SGK): Ứng dụng giải bất phương trình vào thực tiễn

Xem lời giải Bài 2.31 & 2.32

Bài 2.31: Gọi điểm bài kiểm tra viết là $x$ ($x \in \mathbb{N}, 0 \le x \le 10$).
Điểm trung bình của 4 bài kiểm tra là: $\frac{6{,}7 \times 3 + x}{4} = \frac{20{,}1 + x}{4}$.
Để điểm trung bình từ $7{,}0$ trở lên: $\frac{20{,}1 + x}{4} \ge 7{,}0 \iff 20{,}1 + x \ge 28 \iff x \ge 7{,}9$.
Vì $x$ là số nguyên nên bài kiểm tra viết cần đạt ít nhất 8 điểm.

Bài 2.32: Gọi số quả bóng ném vào rổ là $x$ ($x \in \mathbb{N}, 0 \le x \le 15$).
Số quả ném ra ngoài là $15 - x$. Tổng số điểm đạt được: $2x - 1(15 - x) = 3x - 15$.
Để được chọn vào đội tuyển thì tổng điểm phải từ $15$ trở lên: $3x - 15 \ge 15 \iff 3x \ge 30 \iff x \ge 10$.
Vậy học sinh đó phải ném vào rổ ít nhất 10 quả.

Nghiệm của bất phương trình $-2x + 1 < 0$ là:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $-2x + 1 < 0 \iff -2x < -1$. Chia hai vế cho $-2 < 0$, bất đẳng thức đổi chiều: $x > \frac{1}{2}$. Chọn B.