a) Ta có: $2 + 4 = 6 < 7$, do đó ba độ dài $2\text{ cm}, 4\text{ cm}, 7\text{ cm}$ không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

b) Ta có: $2 + 3 = 5 > 4$ (hoặc $2 > 4 - 3 = 1$), ba độ dài $2\text{ cm}, 3\text{ cm}, 4\text{ cm}$ thỏa mãn điều kiện nên đây là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Cách vẽ bằng compa và thước (Hình 9.16):

• Vẽ đoạn thẳng $AB = 4\text{ cm}$.
• Vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $2\text{ cm}$.
• Vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $3\text{ cm}$.
• Hai cung tròn cắt nhau tại $C$. Nối $AC$ và $BC$ ta được tam giác $ABC$ cần vẽ.

a) Ta có $2 + 3 = 5\text{ cm}$. Tổng độ dài hai đoạn thẳng bằng độ dài đoạn thẳng thứ ba nên ba điểm thẳng hàng, không thể tạo thành tam giác.

b) Ta có $3 + 4 = 7 > 6\text{ cm}$. Tổng hai cạnh nhỏ hơn lớn hơn cạnh lớn nhất nên bộ ba $3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 6\text{ cm}$ tạo thành một tam giác.

c) Ta có $2 + 4 = 6 > 5\text{ cm}$. Tương tự, bộ ba $2\text{ cm}, 4\text{ cm}, 5\text{ cm}$ tạo thành một tam giác.

Cách vẽ: Dùng thước kẻ vẽ cạnh lớn nhất, sau đó dùng compa quay hai cung tròn từ hai đầu mút với bán kính bằng hai cạnh còn lại, giao điểm của hai cung tròn là đỉnh thứ ba.

a) Theo bất đẳng thức tam giác:

$BC - AB < CA < BC + AB \iff 7 - 1 < CA < 7 + 1 \iff 6 < CA < 8$.

Vì $CA$ là số nguyên nên $CA = 7\text{ cm}$.

b) Theo bất đẳng thức tam giác:

$BC - AB < CA < BC + AB \iff 6 - 2 < CA < 6 + 2 \iff 4 < CA < 8$.

Mặt khác, đề bài cho $BC = 6\text{ cm}$ là cạnh lớn nhất, nên $CA \le BC = 6\text{ cm}$.

Kết hợp hai điều kiện trên ta được: $4 < CA \le 6$.

Vì $CA$ là số nguyên nên $CA \in \{5; 6\}$.

Vậy độ dài cạnh $CA$ có thể là $5\text{ cm}$ hoặc $6\text{ cm}$.

a) Trong tam giác $MNB$, theo bất đẳng thức tam giác ta có: $MB < MN + NB$.

Cộng $MA$ vào cả hai vế: $MA + MB < MA + MN + NB$.

Vì điểm $M$ nằm giữa $A$ và $N$ nên $MA + MN = NA$.

Do đó: $MA + MB < NA + NB$ (1).

b) Trong tam giác $ACN$, theo bất đẳng thức tam giác ta có: $NA < CA + CN$.

Cộng $NB$ vào cả hai vế: $NA + NB < CA + CN + NB$.

Vì điểm $N$ nằm trên cạnh $BC$ nên $CN + NB = CB$.

Do đó: $NA + NB < CA + CB$ (2).

c) Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu ta suy ra:

$MA + MB < CA + CB$.

Điểm $D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $BD + DC = BC$.

• Trong tam giác $ABD$, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$AD < AB + BD \quad (1)$

• Trong tam giác $ACD$, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$AD < AC + DC \quad (2)$

Cộng từng vế của hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được:

$2AD < AB + BD + AC + DC = AB + AC + (BD + DC) = AB + AC + BC$.

Chia cả hai vế cho 2:

$AD < \frac{AB + AC + BC}{2}$.

Vì $\frac{AB + AC + BC}{2}$ chính là nửa chu vi của tam giác $ABC$, nên $AD$ luôn nhỏ hơn nửa chu vi tam giác $ABC$ (điều phải chứng minh).