Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Theo lý thuyết vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn:

• Đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách nhỏ hơn bán kính: $d_1 < R$.
• Đường thẳng tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách bằng bán kính: $d_2 = R$.

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền là điều kiện cần và đủ để tam giác vuông:

• $A \in (O) \iff OA = \dfrac{BC}{2} \iff \triangle ABC$ vuông tại $A$.

Vì $A \in (B; BO)$ nên $BA = BO = R$.

Vì $A \in (O)$ nên $OA = R$. Do đó tam giác $OAB$ có $OA = OB = AB = R$ nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{B} = 60^\circ$.

Vì $A$ thuộc $(O)$ đường kính $BC$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Bán kính đường tròn là $R = \dfrac{BC}{2} = 3\text{ cm}$.

Vì tam giác $OAB$ đều nên $\widehat{AOB} = 60^\circ \implies \widehat{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ $AC$ là:

$$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2\pi\text{ (cm)}.$$

Bán kính $R = 3\text{ cm}$, số đo cung $n = 120^\circ$.

Diện tích hình quạt tròn là:

$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{\pi \cdot 9 \cdot 1}{3} = 3\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$

Vì $C$ đối xứng với $A$ qua tâm $O$ nên $OC = OA = 4\text{ cm} = R$, suy ra $C \in (O)$.

Tương tự, $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $OD = OB = 4\text{ cm} = R$, suy ra $D \in (O)$.

Do đó cả $C$ và $D$ đều nằm trên đường tròn $(O)$.

Cung nhỏ $AB$ có số đo $90^\circ$. Diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 4^2 \cdot 90}{360} = \dfrac{16\pi}{4} = 4\pi\text{ (cm}^2\text{)}.$$

Ta xét cặp $(B; 3\text{ cm})$ và $(C; 2\text{ cm})$:

Khoảng cách giữa hai tâm là $d = BC = 1\text{ cm}$.

Hiệu hai bán kính là $R_B - R_C = 3 - 2 = 1\text{ cm} = d$.

Vì $d = R_B - R_C$ nên hai đường tròn $(B)$ và $(C)$ tiếp xúc trong, không phải tiếp xúc ngoài. Do đó câu C là sai.

Đường kính qua trung điểm của dây không qua tâm thì vuông góc với dây:

• $I$ là trung điểm dây $AE \implies OI \perp EF$.
• $K$ là trung điểm dây $AF \implies O'K \perp EF$.

Suy ra $OI \parallel O'K$ (cùng vuông góc với $EF$), do đó tứ giác $OO'KI$ là hình thang. Vì $\widehat{OIK} = 90^\circ$ nên $OO'KI$ là hình thang vuông.

Vì điểm $A$ nằm giữa $E$ và $F$ nên $EF = AE + AF$.

Vì $I$ là trung điểm $AE$, $K$ là trung điểm $AF$ nên:

$$IK = IA + AK = \dfrac{1}{2}AE + \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{1}{2}(AE + AF) = \dfrac{1}{2}EF.$$

Hàm số dạng $y = ax^2$ với hệ số $a \ne 0$ là:

$y = -\dfrac{3}{4}x^2$ (có $a = -\dfrac{3}{4} \ne 0$).

Hàm số bậc hai $y = ax^2$ ($a \ne 0$) luôn xác định với mọi giá trị của biến số $x \in \mathbb{R}$.

Thay $x = -3$ vào hàm số:

$$y = 0{,}25 \cdot (-3)^2 = 0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25.$$

Khi chạm đất, $s = 19{,}6\text{ m}$. Ta có:

$$4{,}9t^2 = 19{,}6 \iff t^2 = 4 \implies t = 2\text{ (giây) (do } t > 0\text{)}.$$

Công thức diện tích: $S = \pi r^2$.

Khi bán kính tăng 3 lần ($r' = 3r$):

$$S' = \pi (3r)^2 = 9\pi r^2 = 9S.$$

Vậy diện tích tăng gấp $9$ lần.

Thể tích hình lăng trụ đứng là:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = a^2 \cdot 10 = 10a^2\text{ (cm}^3\text{)}.$$

Khi $a = 2\text{ cm} \implies V = 10 \cdot 2^2 = 40\text{ cm}^3$.

Ta có: $6a^2 = 54 \iff a^2 = 9 \implies a = 3\text{ cm}$ (vì $a > 0$).