Luyện Tập Bài Tập Toán Học

Đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) là một đường cong parabol có đỉnh là gốc toạ độ $O(0; 0)$ và nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.

Vì hệ số $a = -3 < 0$ nên đồ thị parabol quay bề lõm xuống dưới, nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành (trừ gốc toạ độ $O$) và điểm $O(0; 0)$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Thay hoành độ $x = -2$ vào hàm số:

$$y = \dfrac{1}{2}(-2)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2.$$

Suy ra điểm $N(-2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số.

Cho $y = 2 \implies \dfrac{1}{2}x^2 = 2 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

Vậy có hai điểm là $(2; 2)$ và $(-2; 2)$.

Thay toạ độ điểm $A(2; 2)$ vào phương trình $y = ax^2$:

$$2 = a \cdot 2^2 \iff 4a = 2 \implies a = \dfrac{1}{2}.$$

Thay $y = 8$ vào hàm số:

$$\dfrac{1}{2}x^2 = 8 \iff x^2 = 16 \iff x = \pm 4.$$

Vậy các điểm đó là $(4; 8)$ và $(-4; 8)$.

Vì hàm số $y = -3x^2$ có hệ số $a = -3 < 0$ nên đồ thị của nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành (trừ gốc $O$). Ngược lại hàm số $y = x^2$ có $a = 1 > 0$ nằm phía trên trục hoành.

Thay $(-1; 1)$ vào vế trái:

$$-2(-1) + 5(1) = 2 + 5 = 7 = \text{VP}.$$

Vậy $(-1; 1)$ là nghiệm của phương trình.

Thay $(2; 1)$ vào vế trái:

$$4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5 \ne 7.$$

Do đó cặp số $(2; 1)$ không phải là nghiệm.

Cặp số $(4; 3)$ thỏa mãn cả hai phương trình:

• $-2(4) + 5(3) = -8 + 15 = 7$ (thỏa mãn).
• $4(4) - 3(3) = 16 - 9 = 7$ (thỏa mãn).

Do đó $(4; 3)$ là nghiệm của hệ hai phương trình.

Từ phương trình thứ nhất: $y = 2x - 1$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$x - 2(2x - 1) = -1 \iff -3x + 2 = -1 \iff -3x = -3 \implies x = 1.$$

Suy ra $y = 2(1) - 1 = 1$. Nghiệm là $(1; 1)$.

Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $0{,}5$ và phương trình thứ hai cho $1{,}2$ ta đều được: $x - y = 1$.

Hai phương trình trùng nhau nên hệ có vô số nghiệm dạng $(x; x - 1)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Từ phương trình thứ nhất: $x = -2 - 3y$. Thế vào phương trình hai:

$$5(-2 - 3y) - 4y = 28 \iff -19y = 38 \implies y = -2.$$

Suy ra $x = -2 - 3(-2) = 4$. Vậy nghiệm là $(4; -2)$.

Nhân (1) với 2 và (2) với 7:

$$\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ 21x + 14y = -35 \end{cases} \implies 11x = -33 \implies x = -3.$$

Thay vào (2): $3(-3) + 2y = -5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Nghiệm là $(-3; 2)$.

Nhân phương trình thứ hai với $2{,}5$ ta được: $-2x + 3y = 2{,}5$.

Cộng với phương trình thứ nhất vế theo vế:

$$(2x - 3y) + (-2x + 3y) = 11 + 2{,}5 \iff 0x + 0y = 13{,}5 \text{ (vô lý)}.$$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm ($S = \emptyset$).

Nhân phương trình thứ hai với 10 ta được: $4x + 2y = 8$.

Trừ phương trình thứ nhất: $(4x + 2y) - (4x - 3y) = 8 - 6 \iff 5y = 2 \implies y = 0{,}4$.

Thay $y = 0{,}4$ vào: $4x = 6 + 3(0{,}4) = 7{,}2 \implies x = 1{,}8$. Nghiệm là $(1{,}8; 0{,}4)$.

Cân bằng số nguyên tử:

• Nguyên tử $\text{Al}$: $4 = 2y \implies y = 2$.
• Nguyên tử $\text{O}$: $2x = 3y \implies 2x = 3(2) = 6 \implies x = 3$.

Vậy $x = 3, y = 2$.

Thay toạ độ $A$ và $B$ vào phương trình:

$$\begin{cases} -2a + b = -1 \\ 2a + b = 3 \end{cases} \implies 2b = 2 \implies b = 1.$$

Suy ra $2a = 3 - 1 = 2 \implies a = 1$.