Luyện Tập Bài Tập Toán Học

• Chiều rộng của khu đất làm nhà là: $12 - x\text{ (m)}$.

• Chiều dài của khu đất làm nhà là: $14 - (x + 2) = 14 - x - 2 = 12 - x\text{ (m)}$.

Do đó, phần đất làm nhà có dạng hình vuông với độ dài cạnh là $(12 - x)\text{ m}$.

Diện tích phần đất làm nhà là: $S = (12 - x)(12 - x) = (12 - x)^2\text{ (m}^2\text{)}$.

• Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được: $\dfrac{1}{8}$ (công việc).

• Trong 1 giờ, người thứ nhất làm một mình được: $\dfrac{1}{x}$ (công việc).

• Do đó, trong 1 giờ, người thứ hai làm được: $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{x}$ (công việc).

Chuyển vế và nhóm nhân tử chung:

$$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$$

$$x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$$

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = 3$.

Vậy tập nghiệm là $S = \{2;\, 3\}$.

Ta phân tích $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

$$\sqrt{52} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$

Ta có $27a = 9 \cdot 3a = 3^2 \cdot 3a$.

Do $a \ge 0$ nên $3a \ge 0$, ta có:

$$\sqrt{27a} = \sqrt{3^2 \cdot 3a} = 3\sqrt{3a}$$

Đặt $25$ làm nhân tử chung dưới dấu căn:

$$50\sqrt{2} + 100 = 25(2\sqrt{2} + 4) = 5^2(2\sqrt{2} + 4)$$

Đưa $5^2$ ra ngoài dấu căn:

$$\sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{5^2(2\sqrt{2} + 4)} = 5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}$$

Đặt $9 = 3^2$ làm nhân tử chung:

$$9\sqrt{5} - 18 = 9(\sqrt{5} - 2) = 3^2(\sqrt{5} - 2)$$

Vì $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{5} - 2 > 0$. Đưa $3^2$ ra ngoài:

$$\sqrt{9\sqrt{5} - 18} = \sqrt{3^2(\sqrt{5} - 2)} = 3\sqrt{\sqrt{5} - 2}$$

Vì $4 > 0$, ta đưa $4$ vào trong dấu căn bằng cách bình phương:

$$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$$

Vì $-2 < 0$, khi đưa vào trong dấu căn ta giữ nguyên dấu trừ ở phía trước căn thức:

$$-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{4 \cdot 7} = -\sqrt{28}$$

Đưa số dương $4$ vào trong căn:

$$4\sqrt{\dfrac{15}{2}} = \sqrt{4^2 \cdot \dfrac{15}{2}} = \sqrt{16 \cdot \dfrac{15}{2}} = \sqrt{8 \cdot 15} = \sqrt{120}$$

Giữ dấu trừ phía ngoài và đưa $5$ vào trong căn:

$$-5\sqrt{\dfrac{16}{5}} = -\sqrt{5^2 \cdot \dfrac{16}{5}} = -\sqrt{25 \cdot \dfrac{16}{5}} = -\sqrt{5 \cdot 16} = -\sqrt{80}$$

Nhân cả tử và mẫu trong căn với $5$:

$$2a\sqrt{\dfrac{3}{5}} = 2a\sqrt{\dfrac{3 \cdot 5}{5^2}} = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{15}}{5} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$$

Nhân cả tử và mẫu trong căn với $x > 0$:

$$-3x\sqrt{\dfrac{5}{x}} = -3x\sqrt{\dfrac{5x}{x^2}} = -3x \cdot \dfrac{\sqrt{5x}}{x} = -3\sqrt{5x}$$

Nhân cả tử và mẫu với $b > 0$:

$$-\sqrt{\dfrac{3a}{b}} = -\sqrt{\dfrac{3a \cdot b}{b^2}} = -\dfrac{\sqrt{3ab}}{|b|} = -\dfrac{\sqrt{3ab}}{b}\quad (\text{do } b > 0)$$

Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp $(\sqrt{5} + 2)$:

$$\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$$

Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp $(1 + \sqrt{3})$:

$$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \dfrac{3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \dfrac{6 + 4\sqrt{3}}{-2} = -3 - 2\sqrt{3}$$