Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Nắm vững định nghĩa và cách giải phương trình tích dạng (ax+b)(cx+d)=0; điều kiện xác định và 4 bước chuẩn giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng $15\text{ m}$ người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là $x\text{ (m)}$ (Hình 2.1). Để diện tích phần đất còn lại là $169\text{ m}^2$ thì bề rộng $x$ của lối đi là bao nhiêu?
* Bài toán này dẫn đến phương trình $(15 - 2x)^2 = 169$. Bằng cách chuyển vế và áp dụng hằng đẳng thức phân tích thành nhân tử, ta sẽ quy được về các phương trình bậc nhất một ẩn để tìm ra đáp số!
Phương trình tích
Định nghĩa và phương pháp giải phương trình tích dạng $(ax + b)(cx + d) = 0$
Phân tích đa thức $P(x) = (x + 1)(2x - 1) + (x + 1)x$ thành nhân tử.
Xem lời giải chi tiết
Ta nhận thấy cả hai số hạng đều có nhân tử chung là $(x + 1)$. Đặt $(x + 1)$ làm nhân tử chung, ta có:
$$P(x) = (x + 1)[(2x - 1) + x] = (x + 1)(3x - 1)$$
Vậy $P(x) = (x + 1)(3x - 1)$.
Giải phương trình $P(x) = 0$.
Xem lời giải chi tiết
Từ kết quả của Hoạt động 1, ta có phương trình:
$$(x + 1)(3x - 1) = 0$$
Một tích bằng $0$ khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng $0$:
- $x + 1 = 0 \iff x = -1$
- $3x - 1 = 0 \iff 3x = 1 \iff x = \dfrac{1}{3}$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -1$ và $x = \dfrac{1}{3}$.
Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải hai phương trình:
$$ax + b = 0 \quad \text{hoặc} \quad cx + d = 0$$
Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng để kết luận tập nghiệm $S$ của phương trình ban đầu.
Giải phương trình: $(2x + 1)(3x - 1) = 0$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có $(2x + 1)(3x - 1) = 0$ nên $2x + 1 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$.
- $2x + 1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{2}$;
- $3x - 1 = 0 \iff 3x = 1 \iff x = \dfrac{1}{3}$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -\dfrac{1}{2}$ và $x = \dfrac{1}{3}$.
Giải phương trình: $x^2 - x = -2x + 2$.
Xem lời giải chi tiết
Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:
$$x^2 - x = -2x + 2$$
$$x^2 - x + 2x - 2 = 0$$
$$x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$$
$$(x + 2)(x - 1) = 0$$
Ta giải hai phương trình sau:
- $x + 2 = 0 \iff x = -2$;
- $x - 1 = 0 \iff x = 1$.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -2$ và $x = 1$.
Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
- Bước 1: Đưa phương trình về phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$;
- Bước 2: Giải phương trình tích tìm được.
Giải các phương trình sau:
a) $(3x + 1)(2 - 4x) = 0$; b) $x^2 - 3x = 2x - 6$.
Xem lời giải chi tiết
a) Giải phương trình: $(3x + 1)(2 - 4x) = 0$
Phương trình tương đương với:
- $3x + 1 = 0 \iff 3x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{3}$
- $2 - 4x = 0 \iff 4x = 2 \iff x = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{{-\dfrac{1}{3};\, \dfrac{1}{2}\right\}}$.
b) Giải phương trình: $x^2 - 3x = 2x - 6$
Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái và nhóm nhân tử chung:
$$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$$
$$x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$$
$$(x - 2)(x - 3) = 0$$
Suy ra $x - 2 = 0$ hoặc $x - 3 = 0 \iff x = 2$ hoặc $x = 3$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{{2;\, 3\}}$.
Giải bài toán khu vườn hình vuông cạnh $15\text{ m}$, lối đi rộng $x\text{ (m)}$, diện tích phần cỏ còn lại $169\text{ m}^2$.
Xem lời giải chi tiết
• Do lối đi xung quanh vườn có bề rộng là $x\text{ (m)}$ với điều kiện $0 < 2x < 15 \iff 0 < x < 7{,}5$.
• Chiều dài cạnh của mảnh đất hình vuông còn lại là: $15 - 2x\text{ (m)}$.
• Vì diện tích phần đất còn lại là $169\text{ m}^2$, ta có phương trình:
Suy ra $1 - x = 0$ hoặc $14 - x = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 14$.
Đối chiếu với điều kiện $0 < x < 7{,}5$, ta thấy chỉ có giá trị $x = 1$ thoả mãn (loại $x = 14$).
Vậy bề rộng của lối đi là $1\text{ m}$.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Điều kiện xác định và 4 bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
Xét phương trình: $x + \dfrac{1}{x + 1} = -1 + \dfrac{1}{x + 1}$.
Hoạt động 3 (SGK Trang 28):
Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.
Xem lời giải chi tiết
Chuyển vế biểu thức chứa ẩn $\dfrac{1}{x+1}$ sang vế trái:
$$x + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 1} = -1 \iff x = -1$$
Hoạt động 4 (SGK Trang 28):
Giá trị $x = -1$ có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Xem lời giải chi tiết
Trả lời: Giá trị $x = -1$ KHÔNG là nghiệm của phương trình đã cho.
Vì sao: Khi thay $x = -1$ vào phân thức $\dfrac{1}{x+1}$, mẫu thức trở thành $(-1) + 1 = 0$, mà phép chia cho $0$ không xác định. Do đó hai vế của phương trình không xác định tại $x = -1$.
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác $0$ và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) $\dfrac{5x + 2}{x - 1} = 0$; b) $\dfrac{1}{x + 1} = 1 + \dfrac{1}{x - 2}$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$ nên ĐKXĐ của phương trình $\dfrac{5x + 2}{x - 1} = 0$ là $x \ne 1$.
b) Ta có $x + 1 \ne 0$ khi $x \ne -1$ và $x - 2 \ne 0$ khi $x \ne 2$.
Do đó ĐKXĐ của phương trình $\dfrac{1}{x + 1} = 1 + \dfrac{1}{x - 2}$ là $x \ne -1$ và $x \ne 2$.
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) $\dfrac{3x + 1}{2x - 1} = 1$; b) $\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{x + 1}{x} = 2$.
Xem lời giải chi tiết
a) Mẫu thức $2x - 1 \ne 0 \iff 2x \ne 1 \iff x \ne \dfrac{1}{2}$.
Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne \dfrac{1}{2}$.
b) Các mẫu thức trong phương trình là $x - 1$ và $x$.
Để phương trình xác định thì: $\begin{cases} x - 1 \ne 0 \\ x \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 1 \\ x \ne 0 \end{cases}$.
Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \ne 1$ và $x \ne 0$.
Xét phương trình: $\dfrac{x + 3}{x} = \dfrac{x + 9}{x - 3}$ (1)
Hãy thực hiện các yêu cầu: a) Tìm ĐKXĐ; b) Quy đồng và khử mẫu; c) Giải phương trình tìm được; d) Kết luận nghiệm.
Xem lời giải chi tiết
- a) ĐKXĐ: Mẫu thức là $x$ và $x - 3$. Điều kiện: $\begin{cases} x \ne 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 0 \\ x \ne 3 \end{cases}$.
- b) Quy đồng và khử mẫu: Mẫu thức chung là $x(x - 3)$.
$$\dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 3)} = \dfrac{x(x + 9)}{x(x - 3)} \implies (x + 3)(x - 3) = x(x + 9)$$
- c) Giải phương trình:
$$x^2 - 9 = x^2 + 9x \iff x^2 - x^2 - 9x = 9 \iff -9x = 9 \iff x = -1$$
- d) Kết luận: Giá trị $x = -1$ thoả mãn ĐKXĐ ($x \ne 0$ và $x \ne 3$).
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là $S = \{{-1\}}$.
Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Giải phương trình: $\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{(x + 1)(x - 2)}$ (2)
Xem lời giải chi tiết
Bước 1. Điều kiện xác định: $x \ne -1$ và $x \ne 2$.
Bước 2. Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được:
Bước 3. Giải phương trình (2a):
$$2x - 4 + x + 1 = 3 \iff 3x - 3 = 3 \iff 3x = 6 \iff x = 2$$
Bước 4. Đối chiếu với ĐKXĐ: Giá trị $x = 2$ không thoả mãn ĐKXĐ (do điều kiện $x \ne 2$).
Vậy phương trình (2) vô nghiệm (tập nghiệm $S = \varnothing$).
Giải phương trình: $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{4x}{x^3 - 1} = \dfrac{x}{x^2 + x + 1}$.
Xem lời giải chi tiết
Ta nhận thấy $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Mặt khác, $x^2 + x + 1 = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Bước 1: ĐKXĐ: $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$.
Bước 2: Mẫu thức chung là $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Quy đồng và khử mẫu:
Bước 3: Giải phương trình:
$$x^2 - 3x + 1 = x^2 - x \iff x^2 - x^2 - 3x + x = -1 \iff -2x = -1 \iff x = \dfrac{1}{2}$$
Bước 4: Kiểm tra ĐKXĐ: Giá trị $x = \dfrac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện $x \ne 1$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{{\dfrac{1}{2}\right\}}$.