Luyện tập chung: Đường tròn, Cung và Dây, Diện tích hình quạt và hình vành khuyên

a) Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$, bán kính $R = \frac{BC}{2} = OB = OC$.

Tam giác $BHC$ vuông tại $H$ có $HO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $HO = \frac{BC}{2} = R \implies H \in (O; R)$.

Tương tự, tam giác $BKC$ vuông tại $K$ có $KO = \frac{BC}{2} = R \implies K \in (O; R)$.

Vậy đường tròn $(O; R)$ đường kính $BC$ đi qua cả hai điểm $K$ và $H$.

b) Hai tam giác vuông $\triangle HBC$ và $\triangle KCB$ có:

• Cạnh huyền $BC$ chung;
• $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (do $\triangle ABC$ cân tại $A$).

Do đó $\triangle HBC = \triangle KCB$ (cạnh huyền - góc nhọn) $\implies BH = CK$.

Hai dây bằng nhau $BH = CK$ căng hai cung nhỏ bằng nhau, suy ra $\text{sđ}\overparen{BH} = \text{sđ}\overparen{CK}$.

c) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{BAC} = 40^\circ$ nên:

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

Tam giác $OBK$ cân tại $O$ (vì $OB = OK = R$) có góc ở đáy $\widehat{OBK} = 70^\circ$ nên góc ở đỉnh là:

$\widehat{BOK} = 180^\circ - 2 \times 70^\circ = 40^\circ$.

Tương tự tam giác $OCH$ cân tại $O$ có $\widehat{HOC} = 40^\circ$.

Mặt khác, ba điểm $B, O, C$ thẳng hàng nên:

$\widehat{KOH} = 180^\circ - \widehat{BOK} - \widehat{HOC} = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.

Do đó số đo cung nhỏ $KH$ bằng $100^\circ$.

Gọi $S$ là diện tích hình viên phân, $S_q$ là diện tích hình quạt tròn $AOB$ ứng với góc ở tâm $90^\circ$, và $S_t$ là diện tích tam giác vuông $OAB$.

Ta có diện tích hình quạt tròn:

$S_q = \frac{\pi R^2 \cdot 90}{360} = \frac{1}{4}\pi R^2$.

Diện tích tam giác vuông cân $OAB$ (vuông tại $O$):

$S_t = \frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} R^2$.

Vậy diện tích hình viên phân là:

Trả lời: CÓ.

Giải thích: Vì $A, B \in (O)$ và $A', B'$ lần lượt đối xứng với $A, B$ qua tâm $O$ nên $OA' = OA = R$ và $OB' = OB = R$, suy ra $A', B'$ cũng thuộc đường tròn $(O)$. Do đó $A'B'$ là một dây cung của đường tròn $(O)$.

Theo tính chất hình học, trong một tam giác cân $OA'B'$ (có $OA' = OB' = R$), đường trung trực của cạnh đáy $A'B'$ đi qua đỉnh $O$ (tâm của đường tròn).

Vì mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng của đường tròn, nên đường trung trực của $A'B'$ chính là một trục đối xứng của $(O)$.

a) Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Tam giác $BHC$ vuông tại $H \implies HO = \frac{BC}{2}$.

Tam giác $BKC$ vuông tại $K \implies KO = \frac{BC}{2}$.

Suy ra bốn điểm $B, C, H, K$ cùng cách đều $O$ một khoảng bằng $\frac{BC}{2}$. Do đó đường tròn đường kính $BC$ đi qua $H$ và $K$.

b) Trong đường tròn đường kính $BC$, đoạn thẳng $BC$ là đường kính, còn $KH$ là một dây cung.

Vì tam giác $ABC$ không vuông tại $A$ nên đường thẳng $KH$ không đi qua tâm $O$.

Theo định lý so sánh giữa đường kính và dây: trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. Do đó dây $KH < BC$ (đpcm).

Gọi $O$ là tâm của đường tròn biểu diễn guồng nước và $R$ là bán kính của guồng nước ($OA = OC = R$).

Theo đề bài, $C$ là điểm ngập sâu nhất nên đoạn thẳng nối tâm $OC$ vuông góc với dây mặt nước $AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$.

Ta có: $AH = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ m}$.

Đoạn $OH = OC - HC = R - 0{,}5\text{ m}$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $OHA$ (vuông tại $H$):

$OA^2 = OH^2 + AH^2 \iff R^2 = (R - 0{,}5)^2 + 2^2$

$\iff R^2 = R^2 - R + 0{,}25 + 4 \iff R = 4{,}25\text{ m}$.

Vậy bán kính của guồng nước bằng $4{,}25\text{ m}$.

a) Cách vẽ: Vẽ đường tròn phụ $(O; 2{,}5\text{ cm})$ đồng tâm với $(O; 5\text{ cm})$. Kẻ một tiếp tuyến bất kì với đường tròn phụ, tiếp tuyến này cắt đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ tại hai điểm $A$ và $B$. Khi đó đoạn $AB$ chính là dây cần vẽ có khoảng cách đến $O$ bằng $2{,}5\text{ cm}$.

b) Độ dài dây $AB$: Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $AB \implies OH = 2{,}5\text{ cm}$.

Tam giác vuông $OHA$ có: $AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{18{,}75} = 2{,}5\sqrt{3}\text{ cm}$.

Suy ra: $AB = 2AH = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\text{ cm}$.

c) Số đo và độ dài cung nhỏ $AB$:

Trong tam giác vuông $OHA$, ta có: $\cos \widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} = \frac{2{,}5}{5} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOH} = 60^\circ$.

Vì $OH \perp AB$ nên tia $OH$ là phân giác của $\widehat{AOB} \implies \widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Do đó số đo cung nhỏ $AB$ là: $\text{sđ}\overparen{AB} = 120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ $AB$ là: $l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}47\text{ cm}$.

d) Diện tích hình quạt tròn:

Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ $AB$ là:

$S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 120}{360} = \frac{25\pi}{3} \approx 26{,}18\text{ cm}^2$.

Khi người đi xe đạp quay bàn đạp được $1$ vòng thì giò đĩa quay được $1$ vòng.

Chiều dài dây xích di chuyển bằng chu vi của giò đĩa: $C_1 = 2\pi R_1 = 2\pi \cdot 15 = 30\pi\text{ cm}$.

Chu vi của líp là: $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}$.

Số vòng líp quay được là tỉ số chu vi giữa giò đĩa và líp:

$n = \frac{C_1}{C_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{15}{4} = 3{,}75\text{ (vòng)}$.

Vì líp gắn đồng trục với bánh xe nên bánh xe cũng quay được $3{,}75$ vòng.

Chu vi bánh xe có đường kính $D = 65\text{ cm}$ là: $C_{bx} = \pi D = 65\pi\text{ cm}$.

Quãng đường xe chạy được sau $1$ vòng đạp là:

$s = n \cdot C_{bx} = 3{,}75 \times 65\pi = 243{,}75\pi \approx 765{,}76\text{ cm} \approx 7{,}7\text{ m}$.

Vậy xe chạy được quãng đường xấp xỉ $7{,}7\text{ m}$.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Bán kính của nửa đường tròn là $R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\text{ cm}$.

a) Xét tam giác $OBD$: Ta có $OB = OD = R$ nên $\triangle OBD$ cân tại $O$.

Mặt khác, tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{OBD} = 60^\circ$. Tam giác cân có một góc $60^\circ$ là tam giác đều, do đó $\widehat{BOD} = 60^\circ$.

Suy ra số đo cung nhỏ $BD$ là: $\text{sđ}\overparen{BD} = \widehat{BOD} = 60^\circ$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $\triangle OCE$ đều $\implies \widehat{COE} = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{EC} = 60^\circ$.

Góc ở tâm $\widehat{DOE} = 180^\circ - \widehat{BOD} - \widehat{COE} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \implies \text{sđ}\overparen{DE} = 60^\circ$.

Vậy ba cung nhỏ $BD, DE, EC$ bằng nhau và đều có số đo bằng $60^\circ$.

b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $BD$ và cung nhỏ $BD$:

Diện tích hình quạt tròn $OBD$ ứng với góc $60^\circ$:

$S_q = \frac{\pi R^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi (\sqrt{3})^2}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\text{ cm}^2$.

Tam giác đều $OBD$ có cạnh bằng $R = \sqrt{3}\text{ cm}$, diện tích của nó là:

$S_{\triangle OBD} = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\text{ cm}^2$.

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$S_{vp} = S_q - S_{\triangle OBD} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}5708 - 1{,}2990 \approx 0{,}27\text{ cm}^2$.