Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)
Khái niệm hàm số bậc hai y = ax² (a ≠ 0), bảng giá trị và tập xác định. Đồ thị hàm số y = ax² là một đường parabol có đỉnh là gốc toạ độ O, nhận trục Oy làm trục đối xứng. Tính chất bề lõm khi a > 0 và a < 0. Ứng dụng giải quyết các bài toán thực tiễn: cáp cầu treo võng, cổng vòm kiến trúc, rơi tự do và các hình khối học.
Chương VI: Bài 18 - Hàm số y = ax² (a ≠ 0)
1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)
• Xác định với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.
• Mô tả các đại lượng trong tự nhiên: quãng đường rơi tự do $s = 4{,}9t^2$, diện tích hình tròn $S = \pi r^2$, diện tích toàn phần hình lập phương $S = 6a^2$.
2. Đồ thị Parabol
• Đồ thị là một đường cong gọi là parabol có đỉnh là gốc toạ độ $O(0; 0)$.
• Nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng: nếu điểm $(x_0; y_0)$ thuộc parabol thì $(-x_0; y_0)$ cũng thuộc parabol.
• Nếu $a > 0$: parabol nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất.
• Nếu $a < 0$: parabol nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất.
Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao $75\text{ m}$ so với mặt của cây cầu và cách nhau $400\text{ m}$. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) như Hình 6.1 và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu $100\text{ m}$ (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).
Xem lời giải tình huống mở đầu
Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như Hình 6.1, với gốc $O$ là điểm thấp nhất của dây cáp (tâm mặt cầu), trục hoành $Ox$ nằm trên mặt cầu.
Khoảng cách giữa hai trụ tháp là $400\text{ m}$, do tính đối xứng nên hoành độ của đỉnh tháp $B$ là $x = \dfrac{400}{2} = 200\text{ m}$. Chiều cao trụ tháp là $75\text{ m}$, do đó điểm $B$ có toạ độ $(200; 75)$.
Vì điểm $B(200; 75)$ thuộc đồ thị $y = ax^2$ nên:
$$75 = a \cdot 200^2 \implies a = \dfrac{75}{40000} = \dfrac{3}{1600}.$$Phương trình parabol của dây cáp là: $y = \dfrac{3}{1600}x^2$.
Điểm $H$ cách tâm $O$ một khoảng $100\text{ m} \implies x_H = 100\text{ m}$. Chiều cao dây cáp tại $C$ là tung độ $y_C$:
$$y_C = \dfrac{3}{1600} \cdot 100^2 = \dfrac{30000}{1600} = 18{,}75\text{ (m)}.$$Vậy chiều cao $CH$ của dây cáp tại điểm cách tâm $100\text{ m}$ là $18{,}75\text{ m}$.
Nhận biết hàm số y = ax² (a ≠ 0)
Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động $s$ (mét) của vật được cho bởi công thức $s = 4{,}9t^2$, trong đó $t$ (giây) là thời gian chuyển động.
a) Hoàn thành bảng giá trị ứng với $t = 0; 1; 2$.
b) Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao $19{,}6\text{ m}$ so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?
Xem lời giải HĐ1
a) Thay các giá trị của $t$ vào công thức $s = 4{,}9t^2$:
- $t = 0 \implies s = 4{,}9 \cdot 0^2 = 0\text{ (m)}$.
- $t = 1 \implies s = 4{,}9 \cdot 1^2 = 4{,}9\text{ (m)}$.
- $t = 2 \implies s = 4{,}9 \cdot 2^2 = 19{,}6\text{ (m)}$.
b) Vật rơi từ độ cao $19{,}6\text{ m}$ chạm đất khi $s = 19{,}6\text{ m}$:
$$4{,}9t^2 = 19{,}6 \iff t^2 = \dfrac{19{,}6}{4{,}9} = 4 \implies t = 2\text{ (giây) (do } t > 0\text{)}.$$Vậy sau 2 giây thì vật chạm đất.
a) Viết công thức tính diện tích $S$ của hình tròn bán kính $r$.
b) Hoàn thành bảng giá trị của $S$ khi $r = 1; 2; 3; 4\text{ cm}$ (lấy $\pi \approx 3{,}14$ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Xem lời giải HĐ2
a) Công thức tính diện tích hình tròn bán kính $r$ là: $S = \pi r^2$.
b) Bảng giá trị:
- $r = 1 \implies S = 3{,}14 \cdot 1^2 = 3{,}14\text{ (cm}^2\text{)}$.
- $r = 2 \implies S = 3{,}14 \cdot 2^2 = 12{,}56\text{ (cm}^2\text{)}$.
- $r = 3 \implies S = 3{,}14 \cdot 3^2 = 28{,}26\text{ (cm}^2\text{)}$.
- $r = 4 \implies S = 3{,}14 \cdot 4^2 = 50{,}24\text{ (cm}^2\text{)}$.
Định nghĩa và Tập xác định
Hàm số có dạng $y = ax^2$ với $a \ne 0$ gọi là hàm số bậc hai một ẩn dạng đơn giản.
Nhận xét: Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) xác định với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$.
Lập bảng giá trị của hàm số $y = \dfrac{3}{2}x^2$ và $y = -\dfrac{3}{2}x^2$ với $x \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.
Xem lời giải chi tiết
• Đối với hàm số $y = \dfrac{3}{2}x^2$:
Giá trị tương ứng: $x = 0 \to y = 0$; $x = \pm 1 \to y = \dfrac{3}{2}$; $x = \pm 2 \to y = 6$; $x = \pm 3 \to y = \dfrac{27}{2}$.
• Đối với hàm số $y = -\dfrac{3}{2}x^2$:
Giá trị tương ứng: $x = 0 \to y = 0$; $x = \pm 1 \to y = -\dfrac{3}{2}$; $x = \pm 2 \to y = -6$; $x = \pm 3 \to y = -\dfrac{27}{2}$.
Nhận xét: Vì $(-x)^2 = x^2$ nên hai giá trị đối nhau của $x$ cho cùng một giá trị $y$.
Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $a\text{ (cm)}$ và chiều cao $15\text{ cm}$.
a) Viết công thức tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 5\text{ cm}$.
b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp thay đổi thế nào?
Xem lời giải Vận dụng 1
a) Thể tích hình chóp tứ giác đều là: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot 15 = 5a^2\text{ (cm}^3\text{)}$.
Khi $a = 5\text{ cm} \implies V = 5 \cdot 5^2 = 125\text{ (cm}^3\text{)}$.
b) Khi cạnh đáy tăng lên 2 lần ($a' = 2a$), thể tích mới là:
$$V' = 5(2a)^2 = 5 \cdot 4a^2 = 4 \cdot (5a^2) = 4V.$$Vậy khi cạnh đáy tăng 2 lần thì thể tích hình chóp tăng 4 lần.
Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)
Cách vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$):
- Bước 1: Lập bảng giá trị của hàm số với tối thiểu 5 điểm (gồm gốc toạ độ $O(0; 0)$ và hai cặp giá trị đối xứng nhau qua $O$).
- Bước 2: Biểu diễn các điểm đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.
- Bước 3: Nối các điểm bằng một đường cong trơn mượt đối xứng qua trục tung $Oy$.
Lập bảng giá trị tương ứng:
| $x$ | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| $y = -\dfrac{1}{4}x^2$ | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Biểu diễn các điểm $(-4; -4), (-2; -1), (0; 0), (2; -1), (4; -4)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ rồi nối lại ta được parabol như Hình 6.2.
Đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) là một đường cong gọi là đường parabol có các tính chất sau:
- Có đỉnh là gốc toạ độ $O(0; 0)$.
- Có trục đối xứng là trục tung $Oy$ (hai điểm $(x; y)$ và $(-x; y)$ đối xứng nhau qua $Oy$).
- Nếu $a > 0$: Đồ thị nằm phía trên trục hoành, điểm $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu $a < 0$: Đồ thị nằm phía dưới trục hoành, điểm $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $2$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.
Xem lời giải Luyện tập 2
Thay tung độ $y = 2$ vào phương trình hàm số:
$$\dfrac{1}{2}x^2 = 2 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ hoặc } x = -2.$$Vậy có hai điểm thuộc parabol có tung độ bằng $2$ là $M(2; 2)$ và $M'(-2; 2)$.
Nhận xét: Hai điểm $M(2; 2)$ và $M'(-2; 2)$ có hoành độ đối nhau và cùng tung độ nên đối xứng nhau qua trục tung $Oy$.
Hướng dẫn giải bài tập SGK (Bài 6.1 đến 6.7)
Tính các giá trị $y$ tương ứng với $x \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.
Xem lời giải
$x = 0 \implies y = 0$.
$x = \pm 1 \implies y = 0{,}25 \cdot 1^2 = 0{,}25$.
$x = \pm 2 \implies y = 0{,}25 \cdot 4 = 1$.
$x = \pm 3 \implies y = 0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$.
Đáy hình vuông cạnh $a\text{ (cm)}$, chiều cao $10\text{ cm}$. Viết công thức $V(a)$ và tính $V$ khi $a = 2\text{ cm}$. Nếu cạnh đáy tăng 2 lần thì $V$ thay đổi thế nào?
Xem lời giải
a) $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = a^2 \cdot 10 = 10a^2\text{ (cm}^3\text{)}$. Khi $a = 2\text{ cm} \implies V = 10 \cdot 4 = 40\text{ cm}^3$.
b) Khi $a$ tăng 2 lần: $a' = 2a \implies V' = 10(2a)^2 = 40a^2 = 4V$ (thể tích tăng lên 4 lần).
Viết công thức diện tích toàn phần $S$ theo độ dài cạnh $a$. Tính cạnh $a$ khi $S = 54\text{ cm}^2$.
Xem lời giải
a) Hình lập phương gồm 6 mặt hình vuông cạnh $a$ nên diện tích toàn phần là: $S = 6a^2$.
b) Khi $S = 54\text{ cm}^2 \implies 6a^2 = 54 \implies a^2 = 9 \implies a = 3\text{ cm}$ (do $a > 0$).
Biết đường cong trong Hình 6.6 là parabol $y = ax^2$.
a) Tìm hệ số $a$.
b) Tìm tung độ điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -2$.
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 8$.
Xem lời giải
a) Quan sát đồ thị, parabol đi qua điểm $(2; 2)$ nên: $2 = a \cdot 2^2 \implies 4a = 2 \implies a = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Vậy hàm số là $y = \dfrac{1}{2}x^2$.
b) Khi $x = -2 \implies y = \dfrac{1}{2}(-2)^2 = 2$.
c) Khi $y = 8 \implies \dfrac{1}{2}x^2 = 8 \iff x^2 = 16 \iff x = \pm 4$. Vậy hai điểm cần tìm là $(4; 8)$ và $(-4; 8)$.
Cổng vòm có dạng parabol $y = ax^2$ như Hình 6.8. Chiều rộng chân cổng $AB = 6\text{ m}$, chiều cao cổng $OI = 4{,}5\text{ m}$.
a) Tìm hệ số $a$. Tính chiều cao $HK$ biết $H$ cách điểm chính giữa chân cổng $I$ là $2\text{ m}$.
b) Xe tải có chiều rộng $2\text{ m}$, chiều cao $3\text{ m}$ có thể đi qua cổng vòm được không?
Xem lời giải
a) Đỉnh $O$ ở đỉnh cổng. Mặt đất nằm ở đường thẳng $y = -4{,}5$.
Vì $AB = 6\text{ m}$ nên toạ độ chân cổng $B$ là $(3; -4{,}5)$. Thay vào $y = ax^2$:
$$-4{,}5 = a \cdot 3^2 \implies 9a = -4{,}5 \implies a = -0{,}5 = -\dfrac{1}{2}.$$Hàm số của cổng là: $y = -0{,}5x^2$.
Điểm $H$ cách $I(0; -4{,}5)$ là $2\text{ m} \implies x_H = 2$. Tung độ điểm $K$ là: $y_K = -0{,}5 \cdot 2^2 = -2\text{ m}$.
Chiều cao $HK = y_K - y_H = -2 - (-4{,}5) = 2{,}5\text{ (m)}$.
b) Xe tải rộng $2\text{ m}$ đi chính giữa cổng thì hai mép ngoài của thùng xe cách trục đối xứng $1\text{ m}$ ($x = \pm 1$).
Tại $x = 1$, tung độ vòm cổng là: $y = -0{,}5 \cdot 1^2 = -0{,}5\text{ m}$.
Chiều cao của vòm cổng tại vị trí này là: $-0{,}5 - (-4{,}5) = 4\text{ m}$.
Vì $4\text{ m} > 3\text{ m}$ (chiều cao xe tải) nên xe tải hoàn toàn có thể đi qua cổng vòm an toàn.