Luyện tập chung Chương II
Tổng hợp phương pháp giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu và vận dụng tính chất bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn.
I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN GHI NHỚ
1. Phương trình tích
- Dạng: $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
- Phương pháp: Chuyển toàn bộ các hạng tử về một vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi giải từng phương trình bậc nhất.
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các mẫu thức khác 0.
- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.
- Bước 3: Giải phương trình nhận được và đối chiếu điều kiện xác định để kết luận nghiệm.
3. Bất đẳng thức & Tính chất liên hệ
- Liên hệ với phép cộng: $a < b \implies a + c < b + c$.
- Liên hệ với phép nhân: Nếu $c > 0 \implies ac < bc$; nếu $c < 0 \implies ac > bc$ (đổi chiều bất đẳng thức).
- Tính chất bắc cầu: $a < b$ và $b < c \implies a < c$.
4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Dạng: $ax + b < 0$ ($a \ne 0$) hoặc các dạng $\le, >, \ge$.
- Quy tắc biến đổi: Chuyển vế đổi dấu và nhân/chia hai vế cho một số khác 0 (chú ý đổi chiều khi nhân/chia cho số âm).
II. PHÂN TÍCH CÁC VÍ DỤ MẪU TRANG 36 - 37
Xem lời giải Ví dụ 1
Ta nhận thấy $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Vì $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$, nên ĐKXĐ là $x \ne 1$.
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
$$\frac{(x^2 + x + 1) + 2(x - 1)}{x^3 - 1} = \frac{x^2 + x}{x^3 - 1} \implies x^2 + 3x - 1 = x^2 + x \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}.$$
Giá trị $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{2}$.
Xem lời giải Ví dụ 2
ĐKXĐ: $x \ne 3$ và $x \ne -3$. Mẫu thức chung là $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
$$x(x - 3) - 2(x + 3) = -2x - 6 \implies x^2 - 5x - 6 = -2x - 6 \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0.$$
$\implies x = 0$ hoặc $x = 3$.
- Giá trị $x = 0$ thỏa mãn ĐKXĐ.
- Giá trị $x = 3$ không thỏa mãn ĐKXĐ (bị loại).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$.
Xem lời giải Ví dụ 3
a) Từ $a < b$, nhân hai vế với $2 > 0$ ta được $2a < 2b$. Cộng cả hai vế với $1$: $2a + 1 < 2b + 1$.
Vì $1 < 2 \implies 2b + 1 < 2b + 2$. Theo tính chất bắc cầu: $2a + 1 < 2b + 2$.
b) Từ $a < b$, nhân hai vế với $-2 < 0$ ta đổi chiều: $-2a > -2b$. Cộng hai vế với $-5$: $-2a - 5 > -2b - 5$.
Vì $-5 > -7 \implies -2b - 5 > -2b - 7$. Theo tính chất bắc cầu: $-2a - 5 > -2b - 7$.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP SGK TRANG 37
a) $2(x + 1) = (5x - 1)(x + 1)$ b) $(-4x + 3)x = (2x + 5)x$
Xem lời giải Bài 2.12
a) $2(x + 1) - (5x - 1)(x + 1) = 0 \iff (x + 1)[2 - (5x - 1)] = 0 \iff (x + 1)(3 - 5x) = 0$.
$\implies x + 1 = 0 \iff x = -1$ hoặc $3 - 5x = 0 \iff x = \frac{3}{5}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{-1; \frac{3}{5}\}$.
b) $(-4x + 3)x - (2x + 5)x = 0 \iff x[(-4x + 3) - (2x + 5)] = 0 \iff x(-6x - 2) = 0$.
$\implies x = 0$ hoặc $-6x - 2 = 0 \iff x = -\frac{1}{3}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{0; -\frac{1}{3}\}$.
Xem lời giải Bài 2.13
Theo đề bài, chi phí $C(x) = 450\text{ triệu đồng}$. Ta có phương trình:
$$\frac{50x}{100 - x} = 450 \implies 50x = 450(100 - x) \iff 50x = 45000 - 450x \iff 500x = 45000 \iff x = 90.$$
Giá trị $x = 90$ thỏa mãn điều kiện $0 \le x < 100$.
Vậy với $450\text{ triệu đồng}$, người ta có thể loại bỏ được $90\%$ lượng tảo độc trong hồ.
a) $\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{x^3 + 8}$ b) $\frac{2x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x^2 - 16}$
Xem lời giải Bài 2.14
a) ĐKXĐ: $x \ne -2$ (vì $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 > 0$). MTC: $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Quy đồng khử mẫu:
$(x^2 - 2x + 4) - 2(x + 2) = x - 4 \iff x^2 - 4x = x - 4 \iff x^2 - 5x + 4 = 0 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$.
$\implies x = 1$ hoặc $x = 4$ (cả hai đều thỏa mãn ĐKXĐ). Tập nghiệm: $S = \{1; 4\}$.
b) ĐKXĐ: $x \ne \pm 4$. MTC: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Quy đồng khử mẫu:
$2x(x + 4) + 3(x - 4) = x - 12 \iff 2x^2 + 8x + 3x - 12 = x - 12 \iff 2x^2 + 10x = 0 \iff 2x(x + 5) = 0$.
$\implies x = 0$ hoặc $x = -5$ (cả hai đều thỏa mãn ĐKXĐ). Tập nghiệm: $S = \{0; -5\}$.
Xem lời giải Bài 2.15
a) Từ $a > b$, nhân hai vế với $4 > 0$ ta được $4a > 4b$. Cộng hai vế với $4$: $4a + 4 > 4b + 4$.
Lại có $4 > 3 \implies 4b + 4 > 4b + 3$. Áp dụng tính chất bắc cầu suy ra $4a + 4 > 4b + 3$.
b) Từ $a > b$, nhân hai vế với $-3 < 0$ ta đổi chiều: $-3a < -3b$. Cộng hai vế với $1$: $1 - 3a < 1 - 3b$.
Lại có $1 < 3 \implies 1 - 3b < 3 - 3b$. Áp dụng tính chất bắc cầu suy ra $1 - 3a < 3 - 3b$.