Bài tập cuối chương II
Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức Chương II: Bất đẳng thức và tính chất, bất phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình quy về bậc nhất và bất đẳng thức Cauchy.
I. BẢNG TỔNG KẾT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHƯƠNG II
1. Bất đẳng thức và tính chất
- Cộng hai vế: $a < b \implies a + c < b + c$.
- Nhân số dương: $c > 0 \implies ac < bc$.
- Nhân số âm: $c < 0 \implies ac > bc$ (đảo chiều bất đẳng thức).
- Bắc cầu: $a < b$ và $b < c \implies a < c$.
2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Dạng: $ax + b < 0, ax + b \le 0, ax + b > 0, ax + b \ge 0$ ($a \ne 0$).
- Giải bằng 2 quy tắc: Chuyển vế (đổi dấu số hạng) và Nhân/chia hai vế (đổi chiều khi nhân/chia số âm).
- Biểu diễn tập nghiệm trên trục số bằng ngoặc tròn $($ hoặc ngoặc vuông $[$.
3. Phương trình tích & Chứa ẩn ở mẫu
- Phương trình tích: $A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$.
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Tìm ĐKXĐ $\to$ Quy đồng khử mẫu $\to$ Giải $\to$ So sánh ĐKXĐ loại nghiệm ngoại lai.
4. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
- Với mọi $a \ge 0, b \ge 0$, ta luôn có: $\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ hay $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b$. Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học và đại số.
II. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP SGK TRANG 42 - 43
- 2.21: $-2x + 1 < 0 \iff -2x < -1 \iff x > \frac{1}{2}$. Chọn B.
- 2.22: ĐKXĐ của $\frac{x}{2x + 1} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x}{(2x + 1)(x - 5)}$ là $x \ne -\frac{1}{2}$ và $x \ne 5$. Chọn D.
- 2.23: $x - 1 = m + 4 \iff x = m + 5$. Để nghiệm lớn hơn 1: $m + 5 > 1 \iff m > -4$. Chọn C.
- 2.24: $1 - 2x \ge 2 - x \iff -x \ge 1 \iff x \le -1$. Chọn C.
- 2.25: $a > b \implies 5a > 5b \implies 5a + 1 > 5b + 1$. Chọn C.
a) $(3x - 1)^2 - (x + 2)^2 = 0$ b) $x(x + 1) = 2(x^2 - 1)$
Xem lời giải Bài 2.26
a) Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$[(3x - 1) - (x + 2)][(3x - 1) + (x + 2)] = 0 \iff (2x - 3)(4x + 1) = 0$.
$\implies 2x - 3 = 0 \iff x = \frac{3}{2}$ hoặc $4x + 1 = 0 \iff x = -\frac{1}{4}$.
Vậy tập nghiệm là $S = \{-\frac{1}{4}; \frac{3}{2}\}$.
b) Ta có $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Chuyển vế đặt nhân tử chung:
$x(x + 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0 \iff (x + 1)[x - 2(x - 1)] = 0 \iff (x + 1)(2 - x) = 0$.
$\implies x = -1$ hoặc $x = 2$. Vậy tập nghiệm là $S = \{-1; 2\}$.
a) $\frac{x}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} = \frac{x^2}{x^2 - 25}$ b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{3}{x^3 + 1}$
Xem lời giải Bài 2.27
a) ĐKXĐ: $x \ne \pm 5$. MTC: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Quy đồng khử mẫu: $x(x + 5) - 2(x - 5) = x^2 \iff x^2 + 3x + 10 = x^2 \iff 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy tập nghiệm là $S = \{-\frac{10}{3}\}$.
b) ĐKXĐ: $x \ne -1$. MTC: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.
Quy đồng khử mẫu: $(x^2 - x + 1) - x(x + 1) = 3 \iff x^2 - x + 1 - x^2 - x = 3 \iff -2x = 2 \implies x = -1$.
So sánh ĐKXĐ: Giá trị $x = -1$ không thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình vô nghiệm, $S = \varnothing$.
- Gói A: Cước thuê bao hàng tháng 32 USD, 45 phút miễn phí, 0,4 USD cho mỗi phút thêm.
- Gói B: Cước thuê bao hàng tháng 44 USD, không có phút miễn phí, 0,25 USD/phút.
Xem lời giải Bài 2.30
a) Gọi thời gian gọi trong tháng là $t$ phút ($t > 45$).
- Cước phí gói A: $32 + 0{,}4(t - 45) = 0{,}4t + 14$ (USD).
- Cước phí gói B: $44 + 0{,}25t$ (USD).
Phương trình để cước phí hai gói bằng nhau:
$0{,}4t + 14 = 44 + 0{,}25t \iff 0{,}15t = 30 \iff t = 200\text{ phút}$.
b) Lựa chọn gói cước:
- Khi gọi 180 phút ($180 < 200$): Gói A tốn $32 + 0{,}4(180 - 45) = 86$ USD, gói B tốn $44 + 0{,}25(180) = 89$ USD $\implies$ Nên dùng gói A.
- Khi gọi 500 phút ($500 > 200$): Gói A tốn $32 + 0{,}4(500 - 45) = 214$ USD, gói B tốn $44 + 0{,}25(500) = 169$ USD $\implies$ Nên dùng gói B.
Xem lời giải Bài 2.31 & 2.32
Điểm trung bình của 4 bài kiểm tra là: $\frac{6{,}7 \times 3 + x}{4} = \frac{20{,}1 + x}{4}$.
Để điểm trung bình từ $7{,}0$ trở lên: $\frac{20{,}1 + x}{4} \ge 7{,}0 \iff 20{,}1 + x \ge 28 \iff x \ge 7{,}9$.
Vì $x$ là số nguyên nên bài kiểm tra viết cần đạt ít nhất 8 điểm.
Số quả ném ra ngoài là $15 - x$. Tổng số điểm đạt được: $2x - 1(15 - x) = 3x - 15$.
Để được chọn vào đội tuyển thì tổng điểm phải từ $15$ trở lên: $3x - 15 \ge 15 \iff 3x \ge 30 \iff x \ge 10$.
Vậy học sinh đó phải ném vào rổ ít nhất 10 quả.