Luyện tập chung Chương III (Mục 1-2)
Rèn luyện kỹ năng biến đổi căn thức bậc hai: hằng đẳng thức căn A bình bằng trị tuyệt đối A, khai căn tích thương, biểu thức liên hợp và ứng dụng vật lí tính vận tốc bay theo động năng.
I. KIẾN THỨC VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC CẦN NHỚ
1. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$
- Với mọi biểu thức $A$: $\sqrt{A^2} = |A|$.
- Nếu $A \ge 0 \implies \sqrt{A^2} = A$.
- Nếu $A < 0 \implies \sqrt{A^2} = -A$.
2. Phép nhân và phép chia căn bậc hai
- Với $A \ge 0, B \ge 0$: $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$.
- Với $A \ge 0, B > 0$: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.
- Đưa thừa số ra ngoài/vào trong dấu căn: $\sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B}$ ($B \ge 0$).
3. Biểu thức liên hợp
- $(A + \sqrt{B})(A - \sqrt{B}) = A^2 - B$ (với $B \ge 0$).
- $(\sqrt{A} + \sqrt{B})(\sqrt{A} - \sqrt{B}) = A - B$ (với $A \ge 0, B \ge 0$).
- Ứng dụng để khử căn thức ở mẫu và rút gọn các biểu thức chứa căn.
4. Ứng dụng tính vận tốc bay
- Vận tốc của vật theo động năng: $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ ($E$ tính bằng J, $m$ tính bằng kg).
- Vận tốc tính ra có đơn vị chuẩn là $\text{m/s}$.
II. PHÂN TÍCH CÁC VÍ DỤ MẪU TRANG 52
Xem lời giải Ví dụ 1
Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$:
$$A = |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{3}.$$
Vì $1 < 3 \implies 1 < \sqrt{3} \implies 1 - \sqrt{3} < 0$, nên $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.
Do đó: $A = (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} = -1$.
Vậy giá trị của biểu thức $A$ là $-1$.
Xem lời giải Ví dụ 2
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
a) $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.
b) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.
a) Rút gọn biểu thức $P$. b) Tính giá trị của $P$ tại $x = 100$.
Xem lời giải Ví dụ 3
a) Ta có $x\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x})^3 + 1^3 = (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)$.
Do đó: $P = \frac{(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{x - \sqrt{x} + 1} - 1 = (\sqrt{x} + 1) - 1 = \sqrt{x}$.
b) Tại $x = 100$ (thỏa mãn $x \ge 0$): $P = \sqrt{100} = 10$.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP SGK TRANG 53
a) $\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$ b) $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2}$
Xem lời giải Bài 3.12
a) $= |\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |1 - \sqrt{2}|$.
Vì $\sqrt{3} > \sqrt{2} \implies \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$; và $1 < \sqrt{2} \implies 1 - \sqrt{2} < 0$.
Vậy biểu thức $= (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{3} - 1$.
b) $= |\sqrt{7} - 3| + |\sqrt{7} + 3|$.
Vì $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3 \implies \sqrt{7} - 3 < 0 \implies |\sqrt{7} - 3| = 3 - \sqrt{7}$.
Vậy biểu thức $= (3 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} + 3) = 6$.
a) $\sqrt{3}(\sqrt{192} - \sqrt{75})$ b) $\frac{-3\sqrt{18} + 5\sqrt{50} - \sqrt{128}}{7\sqrt{2}}$
Xem lời giải Bài 3.13
a) $\sqrt{3}\sqrt{192} - \sqrt{3}\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 192} - \sqrt{3 \times 75} = \sqrt{576} - \sqrt{225} = 24 - 15 = 9$.
b) Rút thừa số ra ngoài căn:
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.
Tử số: $-3(3\sqrt{2}) + 5(5\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} = (-9 + 25 - 8)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Phân thức: $\frac{8\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{8}{7}$.
Xem lời giải Bài 3.14
a) Vế trái: $(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} =$ Vế phải (đpcm).
b) Vế trái: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6} =$ Vế phải (đpcm).
a) Chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của $x$.
b) Rút gọn căn thức đã cho với $x \ge 2$.
c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \ge 2$, biểu thức $x - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$ có giá trị không đổi.
Xem lời giải Bài 3.15
a) Ta có: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó căn thức xác định với mọi giá trị của $x$.
b) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$. Với $x \ge 2 \implies x - 2 \ge 0 \implies |x - 2| = x - 2$.
c) Với mọi $x \ge 2$: $x - \sqrt{x^2 - 4x + 4} = x - (x - 2) = x - x + 2 = 2$ (luôn bằng 2, không phụ thuộc vào $x$).
Xem lời giải Bài 3.16
Thay $m = 2{,}5\text{ kg}$ và $E = 281{,}25\text{ J}$ vào công thức:
$$v = \sqrt{\frac{2 \times 281{,}25}{2{,}5}} = \sqrt{\frac{562{,}5}{2{,}5}} = \sqrt{225} = 15\text{ m/s}.$$
Vậy vận tốc bay của vật là $15\text{ m/s}$ (tương đương $54\text{ km/h}$).