Luyện tập chung Chương III (Mục 3-4)
Rèn luyện toàn diện kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai, các bài toán căn bậc ba, ứng dụng thực tế thùng lập phương và tính toán áp lực gió lên cánh buồm.
I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ
1. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
- Khai triển hằng đẳng thức: $\sqrt{A^2} = |A|$.
- Trục căn thức ở mẫu bằng nhân liên hợp: $\frac{1}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{A} \mp \sqrt{B}}{A - B}$.
- Đưa thừa số ra ngoài / vào trong dấu căn: $\sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B}$ ($B \ge 0$).
2. Căn bậc ba $\sqrt[3]{A}$
- Mỗi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba: $(\sqrt[3]{a})^3 = a$.
- Hằng đẳng thức: $\sqrt[3]{A^3} = A$ (đúng với mọi $A$, không cần dấu giá trị tuyệt đối).
- Phép nhân / chia căn bậc ba: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$; $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ ($b \ne 0$).
3. Hình lập phương & Căn bậc ba
- Thể tích khối lập phương cạnh $x$: $V = x^3 \implies x = \sqrt[3]{V}$.
- Diện tích toàn phần (đủ 6 mặt): $S_{tp} = 6x^2$.
- Thùng không nắp trên (gồm 1 đáy + 4 mặt bên = 5 mặt): $S = 5x^2$.
4. Áp lực gió & Vận tốc
- Lực gió $F$ tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ gió $v$: $F = k \cdot v^2$ (hệ số $k = 30$).
- Khi biết lực tối đa $F_{\max}$, tốc độ gió tối đa thuyền chịu được: $v_{\max} = \sqrt{\frac{F_{\max}}{k}}$.
II. HƯỚNG DẪN CHI TIẾT CÁC VÍ DỤ SGK TRANG 63
Xem lời giải Ví dụ 1
Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$:
$$A = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} + \sqrt{2^2}$$
$$= (\sqrt{3}+1) - \sqrt{3}(\sqrt{3}+1) + 2$$
$$= \sqrt{3} + 1 - 3 - \sqrt{3} + 2 = 0.$$
Kết luận: Biểu thức $A = 0$.
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của $P$ khi $x = 101$.
Xem lời giải Ví dụ 2
a) Quy đồng mẫu số chung là $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) = x - 1$:
$$P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$$
$$= \frac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{2x}{x - 1}.$$
b) Thay $x = 101$ vào biểu thức đã rút gọn:
$$P = \frac{2 \cdot 101}{101 - 1} = \frac{202}{100} = 2{,}02.$$
Xem lời giải Ví dụ 3
Gọi $x$ ($\text{dm}$, $x > 0$) là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm.
Thể tích hình lập phương là $V = x^3 = 216\text{ dm}^3$, suy ra độ dài cạnh:
$$x = \sqrt[3]{216} = 6\text{ (dm)}.$$
Vì thùng đựng không có nắp trên nên thùng gồm $4$ mặt bên và $1$ mặt đáy (tổng cộng $5$ mặt), mỗi mặt là một hình vuông cạnh $6\text{ dm}$.
Do đó diện tích bìa cứng cần dùng là:
$$S = 5 \cdot 6^2 = 5 \cdot 36 = 180\text{ (dm}^2\text{)}.$$