Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng
Định lí Viète biểu diễn tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai; áp dụng nhẩm nghiệm phương trình bậc hai; tìm hai số khi biết tổng và tích; phân tích đa thức thành nhân tử và giải quyết các bài toán thực tiễn.
Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng
Khám phá mối quan hệ kì diệu giữa các nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai; phương pháp nhẩm nghiệm thần tốc và bài toán thực tế tìm hai số khi biết tổng và tích.
Tình huống mở đầu (SGK trang 21)
Bác An có $40\text{ m}$ hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $96\text{ m}^2$ để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.
Xem phân tích mở đầu
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x\text{ (m)}$ và $y\text{ (m)}$ ($x > y > 0$).
Chu vi mảnh vườn là $40\text{ m}$ nên nửa chu vi là: $x + y = 40 : 2 = 20\text{ (m)}$.
Diện tích mảnh vườn là $96\text{ m}^2$ nên: $x \cdot y = 96\text{ (m}^2\text{)}$.
Đây chính là bài toán: Tìm hai số khi biết tổng $S = 20$ và tích $P = 96$ của chúng! Định lí Viète sẽ giúp ta giải quyết bài toán này một cách nhanh chóng.
Định lí Viète
Khám phá định lí Viète
Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$). Giả sử $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$.
HĐ1: Nhắc lại công thức tính hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình trên.
HĐ2: Từ kết quả HĐ1, hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$.
Xem lời giải HĐ1 & HĐ2
HĐ1: Hai nghiệm của phương trình là: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$
HĐ2: Ta có:
- $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$.
- $x_1 x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$.
Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) thì:
(Định lí mang tên nhà toán học người Pháp François Viète, 1540 – 1603).
Ví dụ 1 (SGK trang 21)
Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
Xem lời giải Ví dụ 1
a) Phương trình $2x^2 + 11x + 7 = 0$ có $a = 2, b = 11, c = 7$.
Ta có: $\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 121 - 56 = 65 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}$; $x_1 x_2 = \dfrac{7}{2}$.
b) Phương trình $4x^2 - 12x + 9 = 0$ có $a = 4, b' = -6, c = 9$.
Ta có: $\Delta' = (-6)^2 - 4 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau (nghiệm kép) $x_1 = x_2$.
Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-12}{4} = 3$; $x_1 x_2 = \dfrac{9}{4}$.
Luyện tập 1 (SGK trang 22)
Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
Xem lời giải Luyện tập 1
a) $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2}$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{3}{2}$.
b) $\Delta' = (-10)^2 - 25 \cdot 4 = 100 - 100 = 0$. Phương trình có nghiệm kép.
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-20}{25} = \dfrac{4}{5}$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{4}{25}$.
c) Phương trình khuyết $b$ ($b = 0$). Ta có $\Delta = 0^2 - 4(2\sqrt{2})(-4) = 32\sqrt{2} > 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{2\sqrt{2}} = 0$. Tích hai nghiệm: $x_1 x_2 = \dfrac{-4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
Tranh luận (SGK trang 22)
Tròn nói: "Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ đều bằng 1." Ý kiến của em thế nào?
Xem lời giải Tranh luận
Ý kiến của Tròn là sai.
Ta xét biệt thức của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$
Do $\Delta < 0$ nên phương trình vô nghiệm. Vì phương trình không có nghiệm nào nên không tồn tại tổng và tích hai nghiệm!
Chú ý quan trọng: Chỉ áp dụng định lí Viète khi phương trình bậc hai có nghiệm, tức là $\Delta \ge 0$.
Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm
Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$):
Phương trình có một nghiệm là $x_1 = 1$, còn nghiệm kia là:
Phương trình có một nghiệm là $x_1 = -1$, còn nghiệm kia là:
Ví dụ 2 (SGK trang 23)
Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:
a) $x^2 - 6x + 5 = 0$;
b) $5x^2 + 14x + 9 = 0$.
Xem lời giải
a) Ta có $a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1; x_2 = 5$.
b) Ta có $a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1; x_2 = -\dfrac{9}{5}$.
Ví dụ 3 (SGK trang 23)
Giải phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$, biết phương trình có một nghiệm là $x_1 = 3$.
Xem lời giải
Gọi $x_2$ là nghiệm còn lại. Theo định lí Viète:
$$x_1 x_2 = 12 \implies x_2 = \dfrac{12}{x_1} = \dfrac{12}{3} = 4$$
Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1 = 3, x_2 = 4$.
Luyện tập 2 (SGK trang 23)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
Xem lời giải Luyện tập 2
a) $a + b + c = 3 + (-11) + 8 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8}{3}$.
b) $a - b + c = 4 - 15 + 11 = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{11}{4}$.
c) Theo định lí Viète: $x_1 x_2 = 2 \implies x_2 = \dfrac{2}{x_1} = \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$. Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$.
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
Điều kiện để có hai số đó là: $S^2 - 4P \ge 0$.
Luyện tập 3 (SGK trang 24)
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $-11$, tích của chúng bằng $28$.
Xem lời giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - (-11)x + 28 = 0 \iff x^2 + 11x + 28 = 0$.
$\Delta = 11^2 - 4 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 > 0 \implies \sqrt{\Delta} = 3$.
$x_1 = \dfrac{-11 + 3}{2} = -4; \quad x_2 = \dfrac{-11 - 3}{2} = -7$.
Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$.
Vận dụng (Giải tình huống mở đầu)
Mảnh vườn có chu vi $40\text{ m}$ và diện tích $96\text{ m}^2$. Tính kích thước mảnh vườn.
Xem lời giải
Nửa chu vi vườn là $40 : 2 = 20\text{ (m)}$. Tổng là $S = 20$, tích là $P = 96$.
Hai kích thước là nghiệm của: $x^2 - 20x + 96 = 0$.
$\Delta' = (-10)^2 - 96 = 4 > 0 \implies x_1 = 10 + 2 = 12; x_2 = 10 - 2 = 8$.
Vậy chiều dài mảnh vườn là $12\text{ m}$, chiều rộng là $8\text{ m}$.
Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử (SGK 6.26)
Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì tam thức bậc hai phân tích được thành: