Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ
Khái niệm số hữu tỉ, tập hợp Q, biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, số đối và so sánh hai số hữu tỉ.
Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ
Hiểu rõ bản chất số hữu tỉ, tập hợp $\mathbb{Q}$, kỹ năng biểu diễn trên trục số, xác định số đối và so sánh số hữu tỉ.
• Số hữu tỉ; Tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$; Số đối của số hữu tỉ.
- Nhận biết số hữu tỉ, tập hợp các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, số đối của số hữu tỉ, thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ.
- Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
- So sánh hai số hữu tỉ.
Hệ sinh thái trên Trái Đất đang dần bị phá huỷ. Cứ sau ba giây, thế giới mất diện tích rừng đủ để che phủ một sân bóng đá. Trong thế kỉ qua, hơn $\frac{1}{2}$ vùng đất ngập nước bị phá huỷ; khoảng $50\%$ rạn san hô đã biến mất và có thể tới hơn $90\%$ rạn san hô sẽ biến mất vào năm 2050, ngay cả khi sự nóng lên toàn cầu được giới hạn ở mức tăng $1{,}5^\circ\text{C}$. (Theo Báo cáo của Liên Hợp Quốc ngày Môi trường thế giới, 5-5-2021)
Chỉ số WHtR (Waist to Height Ratio) của một người trưởng thành, được tính bằng tỉ số giữa số đo vòng bụng và số đo chiều cao (cùng một đơn vị đo).
Chỉ số này được coi là một công cụ đo lường sức khoẻ hữu ích vì có thể dự báo được các nguy cơ béo phì, mắc bệnh tim mạch,...
Bảng bên cho biết nguy cơ thừa cân, béo phì của một người đàn ông trưởng thành dựa vào chỉ số WHtR.
(Theo hospimedica.com)
| Đánh giá thể trạng | Mức chỉ số WHtR |
|---|---|
| Gầy | Chỉ số WHtR nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}42$ |
| Tốt | Chỉ số WHtR lớn hơn $0{,}42$ và nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}52$ |
| Hơi béo | Chỉ số WHtR lớn hơn $0{,}52$ và nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}57$ |
| Thừa cân | Chỉ số WHtR lớn hơn $0{,}57$ và nhỏ hơn hoặc bằng $0{,}63$ |
| Béo phì | Chỉ số WHtR lớn hơn $0{,}63$ |
• Ông An: cao $180\text{ cm}$, vòng bụng $108\text{ cm}$.
• Ông Chung: cao $160\text{ cm}$, vòng bụng $70\text{ cm}$.
Theo em, nếu tính theo chỉ số WHtR, sức khoẻ của ông An hay ông Chung tốt hơn?
1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Định nghĩa số hữu tỉ, tập hợp $\mathbb{Q}$, số đối và phương pháp biểu diễn điểm trên trục số
Số hữu tỉ là gì?
Tính chỉ số WHtR của ông An và ông Chung trong tình huống mở đầu.
Xem lời giải HĐ1
• Chỉ số WHtR của ông An: $\frac{108}{180} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.
• Chỉ số WHtR của ông Chung: $\frac{70}{160} = \frac{7}{16} = 0{,}4375$.
Ta có thể viết $1{,}5 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \dots$. Tương tự, em hãy viết ba phân số bằng nhau và bằng:
a) $-2{,}5$; b) $2\frac{3}{4}$.
Xem lời giải HĐ2
a) $-2{,}5 = \frac{-5}{2} = \frac{-10}{4} = \frac{-15}{6} = \dots$
b) $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4} = \frac{22}{8} = \frac{33}{12} = \dots$
Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó gọi là số hữu tỉ. Như vậy, chỉ số WHtR của ông An, ông Chung và các số cho trong HĐ2 đều là các số hữu tỉ.
Định nghĩa số hữu tỉ
• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0$.
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.
Các số $-7;\ 0{,}6;\ -1{,}2;\ 1\frac{4}{5}$ có là số hữu tỉ không? Vì sao?
Xem lời giải Ví dụ 1
Các số $-7;\ 0{,}6;\ -1{,}2;\ 1\frac{4}{5}$ là các số hữu tỉ vì chúng đều viết được dưới dạng phân số:
Giải thích vì sao các số $8;\ -3{,}3;\ 3\frac{2}{3}$ đều là các số hữu tỉ. Tìm số đối của mỗi số đó.
Xem lời giải Luyện tập 1
• Các số đã cho là số hữu tỉ vì viết được dưới dạng phân số: $8 = \frac{8}{1};\ -3{,}3 = \frac{-33}{10};\ 3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.
• Số đối của $8$ là $-8$.
• Số đối của $-3{,}3$ là $3{,}3$.
• Số đối của $3\frac{2}{3}$ là $-3\frac{2}{3}$ (hay $-\frac{11}{3}$).
Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Ta đã biết cách biểu diễn các số nguyên trên trục số.
Chẳng hạn, Hình 1.1 cho ta hình ảnh các số nguyên $-2; -1; 0; 1$ và $2$ được biểu diễn trên trục số.
Tương tự số nguyên, ta có thể biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số. Chẳng hạn, để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{2}$ ta làm như sau:
- Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ $0$ đến $1$) thành hai đoạn bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới (đơn vị mới bằng $\frac{1}{2}$ đơn vị cũ) (Hình 1.2a).
- Số hữu tỉ $\frac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ (nằm sau gốc $O$) và cách $O$ một đoạn bằng $3$ đơn vị mới (Hình 1.2b).
Tương tự, số hữu tỉ $-\frac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm $N$ (nằm trước gốc $O$) và cách $O$ một đoạn bằng $3$ đơn vị mới (Hình 1.3). Do đó $OM = ON$.
• Số hữu tỉ $\frac{3}{2} = 1{,}5$ nên $1{,}5$ cũng được biểu diễn bởi điểm $M$;
• Số hữu tỉ $-\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}$ nên $-\frac{6}{4}$ cũng được biểu diễn bởi điểm $N$ (Hình 1.3).
• Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ $a$ được gọi là điểm $a$.
Hình 1.3
Đoạn đơn vị từ $0$ đến $1$ được chia làm $4$ phần bằng nhau, mỗi phần là $\frac{1}{4}$ đơn vị mới.
Xem lời giải câu hỏi ?
• Điểm $A$ nằm sau $O$ và cách $O$ một đoạn $7$ đơn vị mới nên biểu diễn số $\frac{7}{4}$ (hay $1{,}75$).
• Điểm $B$ nằm trước $O$ và cách $O$ một đoạn $3$ đơn vị mới nên biểu diễn số $-\frac{3}{4}$ (hay $-0{,}75$).
• Điểm $C$ nằm trước $O$ và cách $O$ một đoạn $9$ đơn vị mới nên biểu diễn số $-\frac{9}{4}$ (hay $-2{,}25$).
Biểu diễn các số hữu tỉ $\frac{5}{4}$ và $\frac{-5}{4}$ trên trục số.
Xem lời giải Luyện tập 2
• Chia đoạn thẳng đơn vị thành $4$ phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$.
• Điểm biểu diễn số $\frac{5}{4}$ nằm sau gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $5$ đơn vị mới.
• Điểm biểu diễn số $-\frac{5}{4}$ nằm trước gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $5$ đơn vị mới.
Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn của hai số hữu tỉ đối nhau $a$ và $-a$ nằm về hai phía khác nhau so với điểm $O$ và có cùng khoảng cách đến $O$ (Hình 1.5).
2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
Quy tắc so sánh hai số hữu tỉ, tính chất bắc cầu, số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương
Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số rồi so sánh:
a) $-1{,}5$ và $\frac{5}{2}$; b) $-0{,}375$ và $-\frac{5}{8}$.
Xem lời giải HĐ3
a) Ta có $-1{,}5 = \frac{-3}{2}$. Vì $-3 < 5$ nên $\frac{-3}{2} < \frac{5}{2}$, do đó $-1{,}5 < \frac{5}{2}$.
b) Ta có $-0{,}375 = \frac{-375}{1000} = \frac{-3}{8}$. Vì $-3 > -5$ nên $\frac{-3}{8} > \frac{-5}{8}$, do đó $-0{,}375 > -\frac{5}{8}$.
Biểu diễn hai số hữu tỉ $-1{,}5$ và $\frac{5}{2}$ trên trục số. Em hãy cho biết điểm $-1{,}5$ nằm trước hay nằm sau điểm $\frac{5}{2}$ trên trục số.
Xem lời giải HĐ4
Điểm $-1{,}5$ nằm trước gốc $O$, điểm $\frac{5}{2}$ nằm sau gốc $O$. Do đó, điểm $-1{,}5$ nằm trước điểm $\frac{5}{2}$ trên trục số.
Quy tắc so sánh hai số hữu tỉ
• Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
• Với hai số hữu tỉ $a, b$ bất kì, ta luôn có hoặc $a = b$ hoặc $a < b$ hoặc $a > b$.
• Tính chất bắc cầu: Cho ba số hữu tỉ $a, b, c$. Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.
• Trên trục số, nếu $a < b$ thì điểm $a$ nằm trước điểm $b$.
Chú ý:
- Các điểm nằm trước gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ âm (tức số hữu tỉ nhỏ hơn $0$).
- Các điểm nằm sau gốc $O$ biểu diễn số hữu tỉ dương (tức số hữu tỉ lớn hơn $0$).
- Số $0$ không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm.
So sánh $0{,}7$ và $\frac{6}{5}$. Từ đó cho biết điểm $0{,}7$ nằm trước hay nằm sau điểm $\frac{6}{5}$ trên trục số.
Xem lời giải Ví dụ 2
Ta có $0{,}7 = \frac{7}{10}$ và $\frac{6}{5} = \frac{12}{10}$.
Vì $\frac{7}{10} < \frac{12}{10}$ nên $0{,}7 < \frac{6}{5}$.
Do đó điểm $0{,}7$ nằm trước điểm $\frac{6}{5}$ trên trục số (Hình 1.6).
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: $5\frac{1}{4};\ -2;\ 3{,}125;\ -\frac{3}{2}$.
Xem lời giải Luyện tập 3
• Các số âm: $-2$ và $-\frac{3}{2} = -1{,}5$. Vì $-2 < -1{,}5$ nên $-2 < -\frac{3}{2}$.
• Các số dương: $5\frac{1}{4} = 5{,}25$ và $3{,}125$. Vì $3{,}125 < 5{,}25$ nên $3{,}125 < 5\frac{1}{4}$.
Kết luận sắp xếp từ nhỏ đến lớn: $$-2 < -\frac{3}{2} < 3{,}125 < 5\frac{1}{4}$$
Em hãy giải bài toán mở đầu (so sánh chỉ số WHtR của ông An và ông Chung).
Xem lời giải Vận dụng
• Chỉ số WHtR của ông An là: $\frac{108}{180} = 0{,}6$.
Đối chiếu bảng WHtR: Vì $0{,}57 < 0{,}6 \le 0{,}63$ nên ông An ở mức thừa cân.
• Chỉ số WHtR của ông Chung là: $\frac{70}{160} = 0{,}4375$.
Đối chiếu bảng WHtR: Vì $0{,}42 < 0{,}4375 \le 0{,}52$ nên ông Chung ở mức tốt.
Kết luận: Tính theo chỉ số WHtR, sức khoẻ của ông Chung tốt hơn sức khoẻ của ông An.
BÀI TẬP (SGK TRANG 9)
Hệ thống toàn bộ bài tập từ 1.1 đến 1.6 kèm bảng thống kê và lời giải chi tiết
Hãy cho biết tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau:
a) $0{,}25 \in \mathbb{Q}$; b) $-\frac{6}{7} \in \mathbb{Q}$; c) $-235 \notin \mathbb{Q}$.
Xem lời giải Bài 1.1
a) Đúng, vì $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \in \mathbb{Q}$.
b) Đúng, vì $-\frac{6}{7} = \frac{-6}{7}$ có $-6; 7 \in \mathbb{Z},\ 7 \neq 0$ nên $-\frac{6}{7} \in \mathbb{Q}$.
c) Sai, vì $-235 = \frac{-235}{1} \in \mathbb{Q}$ (số nguyên là số hữu tỉ).
Tìm số đối của các số hữu tỉ sau:
a) $-0{,}75$; b) $6\frac{1}{5}$.
Xem lời giải Bài 1.2
a) Số đối của $-0{,}75$ là $-(-0{,}75) = 0{,}75$ (hay $\frac{3}{4}$).
b) Số đối của $6\frac{1}{5}$ là $-6\frac{1}{5}$ (hay $-\frac{31}{5}$).
Các điểm $A, B, C, D$ (Hình 1.7) biểu diễn những số hữu tỉ nào?
Xem lời giải chi tiết Bài 1.3
Trên trục số, khoảng cách từ $0$ đến $1$ gồm $6$ khoảng bằng nhau nên mỗi đoạn nhỏ biểu thị đơn vị mới bằng $\frac{1}{6}$.
• Điểm $A$ nằm trước gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $7$ đoạn đơn vị mới nên biểu diễn số $-\frac{7}{6}$ (hay $-1\frac{1}{6}$).
• Điểm $B$ nằm trước gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $3$ đoạn đơn vị mới nên biểu diễn số $-\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ (hay $-0{,}5$).
• Điểm $C$ nằm sau gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $2$ đoạn đơn vị mới nên biểu diễn số $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• Điểm $D$ nằm sau gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $8$ đoạn đơn vị mới nên biểu diễn số $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ (hay $1\frac{1}{3}$).
a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ $-0{,}625$?
b) Biểu diễn số hữu tỉ $-0{,}625$ trên trục số.
Xem lời giải Bài 1.4
a) Ta có: $-0{,}625 = -\frac{625}{1000} = -\frac{5}{8}$.
Rút gọn các phân số đã cho:
- $\frac{5}{-8} = -\frac{5}{8}$ (thỏa mãn);
- $\frac{10}{16} = \frac{5}{8} \neq -\frac{5}{8}$;
- $\frac{20}{-32} = -\frac{5}{8}$ (thỏa mãn);
- $\frac{-10}{16} = -\frac{5}{8}$ (thỏa mãn);
- $\frac{-25}{40} = -\frac{5}{8}$ (thỏa mãn);
- $\frac{35}{-48} \neq -\frac{5}{8}$.
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ $-0{,}625$ là: $\frac{5}{-8};\ \frac{20}{-32};\ \frac{-10}{16};\ \frac{-25}{40}$.
b) Để biểu diễn $-0{,}625 = -\frac{5}{8}$ trên trục số, ta chia đoạn đơn vị thành $8$ phần bằng nhau. Điểm biểu diễn nằm trước gốc $O$ và cách $O$ một đoạn bằng $5$ đơn vị mới.
So sánh:
a) $-2{,}5$ và $-2{,}125$; b) $-\frac{1}{10000}$ và $-\frac{1}{23456}$.
Xem lời giải Bài 1.5
a) Vì $2{,}5 > 2{,}125$ nên $-2{,}5 < -2{,}125$.
b) Vì $10000 < 23456$ nên $\frac{1}{10000} > \frac{1}{23456}$, suy ra $-\frac{1}{10000} < -\frac{1}{23456}$.
Tuổi thọ trung bình dự kiến của những người sinh năm 2019 ở một số quốc gia được cho trong bảng sau:
| Quốc gia | Australia | Pháp | Tây Ban Nha | Anh | Mỹ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tuổi thọ dự kiến | $83$ | $82{,}5$ | $83\frac{1}{5}$ | $81\frac{2}{5}$ | $78\frac{1}{2}$ |
(Theo Báo cáo của Tổ chức Y tế Thế giới, 2020)
Hãy sắp xếp các quốc gia theo tuổi thọ trung bình dự kiến từ nhỏ đến lớn.
Xem lời giải Bài 1.6
Viết các số đo tuổi thọ dưới dạng số thập phân:
- Australia: $83$ tuổi;
- Pháp: $82{,}5$ tuổi;
- Tây Ban Nha: $83\frac{1}{5} = 83{,}2$ tuổi;
- Anh: $81\frac{2}{5} = 81{,}4$ tuổi;
- Mỹ: $78\frac{1}{2} = 78{,}5$ tuổi.
So sánh các số thập phân: $$78{,}5 < 81{,}4 < 82{,}5 < 83 < 83{,}2$$