Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết
Bài học giúp học sinh nắm vững các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng (cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị, cặp góc trong cùng phía); thấu hiểu các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song và tính chất hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba; thành thạo kĩ năng vẽ hai đường thẳng song song bằng êke và thước kẻ.
- Hai đường thẳng song song
- Hai góc đồng vị
- Hai góc so le trong, góc trong cùng phía
- Nhận biết các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
- Mô tả dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song qua góc so le trong, đồng vị.
- Nhận biết và thực hành vẽ hai đường thẳng song song bằng dụng cụ học tập (êke).
Để kiểm tra các thanh ngang trên mái nhà đã song song với nhau chưa, người thợ chỉ cần kiểm tra chúng có cùng vuông góc với một thanh dọc hay không.
Vì sao lại như vậy, chúng ta cùng tìm hiểu qua bài học này!
Các thanh xà ngang song song khi cùng vuông góc một thanh dọc
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng
Góc so le trong, góc đồng vị
Cho đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt tại $A$ và $B$ tạo thành bốn góc đỉnh $A$, bốn góc đỉnh $B$ được đánh số như Hình 3.16.
Ta sắp xếp các góc thành từng cặp, mỗi cặp gồm một góc đỉnh $A$ và một góc đỉnh $B$:
• Các cặp góc $\widehat{A}_1$ và $\widehat{B}_3$, $\widehat{A}_4$ và $\widehat{B}_2$ được gọi là các cặp góc so le trong.
• Các cặp góc $\widehat{A}_1$ và $\widehat{B}_1$, $\widehat{A}_2$ và $\widehat{B}_2$, $\widehat{A}_3$ và $\widehat{B}_3$, $\widehat{A}_4$ và $\widehat{B}_4$ được gọi là các cặp góc đồng vị.
Câu hỏi (SGK trang 46):
Cho đường thẳng $mn$ cắt hai đường thẳng $xy$ và $uv$ lần lượt tại hai điểm $P$ và $Q$ (Hình 3.17). Em hãy kể tên:
a) Hai cặp góc so le trong;
b) Bốn cặp góc đồng vị.
Xem lời giải chi tiết
a) Hai cặp góc so le trong là:
- $\widehat{xPQ}$ và $\widehat{PQv}$;
- $\widehat{yPQ}$ và $\widehat{PQu}$.
b) Bốn cặp góc đồng vị là:
- $\widehat{mPx}$ và $\widehat{PQu}$;
- $\widehat{mPy}$ và $\widehat{PQv}$;
- $\widehat{xPQ}$ và $\widehat{uQn}$;
- $\widehat{yPQ}$ và $\widehat{vQn}$.
Quan hệ giữa các cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị
Trên Hình 3.18, cho biết hai góc so le trong $\widehat{A}_1$ và $\widehat{B}_3$ bằng nhau và bằng $60^\circ$.
HĐ1: Hãy tính và so sánh hai góc so le trong còn lại $\widehat{A}_2$ và $\widehat{B}_4$.
HĐ2: Chọn hai góc đồng vị rồi tính và so sánh hai góc đó.
Xem lời giải chi tiết
• Giải HĐ1:
Vì $\widehat{A}_1$ và $\widehat{A}_2$ là hai góc kề bù nên $\widehat{A}_2 = 180^\circ - \widehat{A}_1 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Vì $\widehat{B}_3$ và $\widehat{B}_4$ là hai góc kề bù nên $\widehat{B}_4 = 180^\circ - \widehat{B}_3 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Do đó: $\widehat{A}_2 = \widehat{B}_4 = 120^\circ$.
• Giải HĐ2:
Chọn cặp góc đồng vị $\widehat{A}_1$ và $\widehat{B}_1$.
Vì $\widehat{B}_1$ và $\widehat{B}_3$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{B}_1 = \widehat{B}_3 = 60^\circ$.
Suy ra $\widehat{A}_1 = \widehat{B}_1 = 60^\circ$.
Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
- Hai góc so le trong còn lại bằng nhau;
- Hai góc đồng vị bằng nhau.
Luyện tập 1: Góc trong cùng phía (SGK trang 47)
Quan sát Hình 3.19.
a) Biết $\widehat{A}_2 = 40^\circ, \widehat{B}_4 = 40^\circ$. Em hãy tính số đo các góc còn lại.
b) Các cặp góc $A_1$ và $B_4$; $A_2$ và $B_3$ được gọi là các cặp góc trong cùng phía. Tính các tổng: $\widehat{A}_1 + \widehat{B}_4$; $\widehat{A}_2 + \widehat{B}_3$.
Xem lời giải chi tiết
a) Vì $\widehat{A}_2$ và $\widehat{B}_4$ là hai góc so le trong bằng nhau ($\widehat{A}_2 = \widehat{B}_4 = 40^\circ$) nên:
- Cặp so le trong còn lại: $\widehat{A}_1 = \widehat{B}_3 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
- Tại đỉnh $A$: $\widehat{A}_3 = \widehat{A}_1 = 140^\circ$ (đối đỉnh); $\widehat{A}_4 = \widehat{A}_2 = 40^\circ$ (đối đỉnh).
- Tại đỉnh $B$: $\widehat{B}_1 = \widehat{B}_3 = 140^\circ$ (đối đỉnh); $\widehat{B}_2 = \widehat{B}_4 = 40^\circ$ (đối đỉnh).
b) Tính tổng các góc trong cùng phía:
$$\widehat{A}_1 + \widehat{B}_4 = 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ$$ $$\widehat{A}_2 + \widehat{B}_3 = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$$Nhận xét: Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180^\circ$).
Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Để biết hai đường thẳng cắt nhau hay song song với nhau, ta cần biết chúng có điểm chung hay không. Việc kiểm tra trực tiếp (kéo dài hai đường thẳng) trong nhiều trường hợp là rất khó thực hiện (Hình 3.20a). Vậy có cách nào thuận tiện hơn để nhận biết hai đường thẳng song song hay không?
- Một cặp góc so le trong bằng nhau; HOẶC
- Một cặp góc đồng vị bằng nhau
Ví dụ (SGK trang 48):
Quan sát Hình 3.21 và giải thích tại sao $xy \parallel x'y'$.
Xem lời giải chi tiết
Ta có $\widehat{xAB} = \widehat{ABy'} = 70^\circ$.
Hai góc này ở vị trí so le trong.
Do đó $xy \parallel x'y'$ (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Luyện tập 2 (SGK trang 48):
1. Quan sát Hình 3.22 và giải thích vì sao $AB \parallel DC$.
Xem lời giải câu 1
Trong Hình 3.22, đường thẳng $AD$ cắt hai đường thẳng $AB$ và $DC$ tại $A$ và $D$.
Ta có $\widehat{xAB} = \widehat{ADC} = 60^\circ$.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AB \parallel DC$.
2. Tìm trên Hình 3.23 hai đường thẳng song song với nhau và giải thích vì sao chúng song song.
Xem lời giải câu 2
Hai đường thẳng song song với nhau là $xy$ và $x'y'$.
Giải thích: Vì $xy \perp zz'$ tại $H$ và $x'y' \perp zz'$ tại $K$ nên $\widehat{zHy} = \widehat{HKy'} = 90^\circ$.
Hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau nên $xy \parallel x'y'$.
Đây chính là cơ sở toán học để người thợ kiểm tra các thanh ngang trên mái nhà ở tình huống mở đầu!
Thực hành 1 & 2: Vẽ hai đường thẳng song song bằng êke (SGK trang 48 - 49)
Cho đường thẳng $a$ và điểm $A$ nằm ngoài $a$. Để vẽ đường thẳng $b$ đi qua $A$ và song song với $a$, ta có thể sử dụng góc nhọn $60^\circ$ (hoặc góc $30^\circ$, góc vuông $90^\circ$) của êke:
Tại sao khi vẽ như trên ta lại khẳng định được hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau?
Xem lời giải chi tiết
Vì cạnh nghiêng của êke đóng vai trò là cát tuyến cắt hai đường thẳng $a$ và $b$. Khi trượt êke, góc nhọn của êke tạo với hai đường thẳng $a$ và $b$ hai góc đồng vị (cùng bằng $60^\circ$ hoặc $30^\circ$).
Do có hai góc đồng vị bằng nhau nên theo dấu hiệu nhận biết, hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau.
Bài tập SGK trang 49 (Đầy đủ lời giải chi tiết)
Bài 3.6 (SGK trang 49):
Quan sát Hình 3.24:
a) Tìm một góc ở vị trí so le trong với góc $\widehat{MNB}$.
b) Tìm một góc ở vị trí đồng vị với góc $\widehat{ACB}$.
c) Kể tên một cặp góc trong cùng phía.
Xem lời giải chi tiết
a) Góc ở vị trí so le trong với góc $\widehat{MNB}$ là góc $\widehat{NBC}$ (xét hai đường thẳng $MN, BC$ với cát tuyến $BN$).
b) Góc ở vị trí đồng vị với góc $\widehat{ACB}$ là góc $\widehat{ANM}$ (xét hai đường thẳng $MN, BC$ với cát tuyến $AC$).
c) Một cặp góc trong cùng phía là: góc $\widehat{BMN}$ và góc $\widehat{MBC}$ (hoặc góc $\widehat{MNB}$ và góc $\widehat{NBC}$).
Bài 3.7 (SGK trang 49):
Quan sát Hình 3.25. Biết $\widehat{MEF} = 40^\circ, \widehat{EMN} = 40^\circ$. Em hãy giải thích tại sao $EF \parallel NM$.
Xem lời giải chi tiết
Đường thẳng $EM$ cắt hai đường thẳng $EF$ và $NM$.
Ta có $\widehat{MEF} = \widehat{EMN} = 40^\circ$.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $EF \parallel NM$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Bài 3.8 (SGK trang 49):
Quan sát Hình 3.26, giải thích tại sao $AB \parallel DC$.
Xem lời giải chi tiết
Quan sát Hình 3.26, ta có:
- $AB \perp AD$ (kí hiệu góc vuông tại $A$);
- $DC \perp AD$ (kí hiệu góc vuông tại $D$).
Vì hai đường thẳng phân biệt $AB$ và $DC$ cùng vuông góc với đường thẳng $AD$ nên chúng song song với nhau: $AB \parallel DC$.
Bài 3.9, 3.10, 3.11 (SGK trang 49): Thực hành vẽ hình học
Bài 3.9: Cho điểm $A$ và đường thẳng $d$ không đi qua $A$. Hãy vẽ đường thẳng $d'$ đi qua $A$ và song song với $d$.
Bài 3.10: Cho hai điểm $A$ và $B$. Hãy vẽ đường thẳng $a$ đi qua $A$ và đường thẳng $b$ đi qua $B$ sao cho $a \parallel b$.
Bài 3.11: Hãy vẽ hai đoạn thẳng $AB$ và $MN$ sao cho $AB \parallel MN$ và $AB = MN$.
Xem lời giải chi tiết
• Bài 3.9: Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với đường thẳng $d$, cạnh góc vuông còn lại đi qua $A$. Dùng cạnh đó vẽ một đường thẳng vuông góc $c \perp d$. Sau đó tại điểm $A$, dùng êke vẽ đường thẳng $d' \perp c$. Khi đó $d' \parallel d$.
• Bài 3.10: Vẽ đường thẳng $a$ bất kì đi qua $A$. Sau đó qua điểm $B$, dùng êke vẽ đường thẳng $b$ song song với $a$ theo quy trình trượt êke (hoặc cùng vuông góc với đường thẳng $AB$).
• Bài 3.11: Vẽ đoạn thẳng $AB$ có độ dài tùy ý (chẳng hạn $5\text{ cm}$). Qua điểm $M$, vẽ đường thẳng song song với $AB$. Trên đường thẳng đó, dùng thước đo chia vạch lấy điểm $N$ sao cho $MN = 5\text{ cm}$. Ta được hai đoạn thẳng $AB \parallel MN$ và $AB = MN$.