Bài 11: Định lí và chứng minh định lí
Tìm hiểu khái niệm định lí, cấu trúc giả thiết - kết luận và phương pháp chứng minh định lí bằng suy luận logic toán học.
Bài 11: Định lí và chứng minh định lí
Bước đầu làm quen với tư duy suy luận logic toán học: Phân biệt giả thiết, kết luận của định lí và phương pháp dùng lập luận suy diễn chặt chẽ để chứng minh một định lí.
- Định lí
- Giả thiết (GT)
- Kết luận (KL)
- Chứng minh một định lí
- Nhận biết một định lí, giả thiết, kết luận của định lí.
- Viết giả thiết, kết luận của định lí bằng kí hiệu hình học.
- Làm quen với các bước chứng minh định lí bằng suy luận logic.
Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau" (Hình 3.45).
Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể. Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không?
Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí
Nhận diện cấu trúc logic của một định lí toán họcTrong Bài 8, Tập suy luận (trang 42), khẳng định "(Nếu) hai góc đối đỉnh thì (hai góc đó) bằng nhau" đã được suy ra từ điều đúng đã biết là "hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$". Đó là một định lí.
Trong một định lí ta cần phân biệt giả thiết và kết luận của nó. Chẳng hạn:
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:
Nếu ... thì ...
• Phần giữa từ "nếu" và từ "thì" là giả thiết của định lí;
• Phần sau từ "thì" là kết luận của định lí.
Trong định lí: "Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại", thì có:
• Giả thiết là: "một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song";
• Kết luận là: "nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại".
Viết giả thiết và kết luận bằng kí hiệu:
| GT |
, d', d''$ là các đường thẳng; ' \parallel d'', d \perp d'$ |
| KL | \perp d''$ |
Giả thiết, kết luận được viết tắt tương ứng là GT và KL.
Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau".
Xem lời giải Luyện tập 1
• Phát biểu dưới dạng "Nếu... thì...": Nếu hai góc là hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau.
| GT | Hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{x'Oy'}$ đối đỉnh |
| KL | $\widehat{xOy} = \widehat{x'Oy'}$ |
Thế nào là chứng minh định lí?
Quy trình suy luận logic từ Giả thiết đến Kết luậnChứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.
Chứng minh định lí nói trong tình huống mở đầu: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau".
| GT |
\parallel b$, $ cắt $ tại $, $ cắt $ tại $; $\widehat{A_1}, \widehat{B_1}$ là hai góc đồng vị. |
| KL | $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ |
Các bước chứng minh chi tiết:
1. Qua điểm $ kẻ đường thẳng '$ sao cho góc $\widehat{B_2} = \widehat{A_1}$.
2. Khi đó đường thẳng $ tạo với hai đường thẳng $ và '$ hai góc đồng vị bằng nhau $\widehat{A_1} = \widehat{B_2}$.
3. Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có \parallel b'$.
4. Suy ra qua điểm $ có hai đường thẳng $ và '$ cùng song song với $. Theo Tiên đề Euclid, đường thẳng '$ phải trùng với $.
5. Từ đó suy ra $\widehat{B_1} = \widehat{A_1}$ (vì cùng bằng $\widehat{B_2}$). Định lí được chứng minh hoàn tất!
Em hãy chứng minh định lí: "Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông".
Xem chứng minh chi tiết Luyện tập 2
Giả thiết và kết luận:
• GT: $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù, $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$.
• KL: $\widehat{AOC} = 90^\circ, \widehat{BOC} = 90^\circ$.
Chứng minh:
Vì $\widehat{AOC}$ và $\widehat{BOC}$ là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{AOC} + \widehat{BOC} = 180^\circ$$
Mặt khác theo giả thiết $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$, do đó thay $\widehat{BOC}$ bằng $\widehat{AOC}$ ta có:
$$\widehat{AOC} + \widehat{AOC} = 180^\circ \implies 2\widehat{AOC} = 180^\circ \implies \widehat{AOC} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
Suy ra $\widehat{BOC} = \widehat{AOC} = 90^\circ$. Vậy mỗi góc là một góc vuông.
Bạn Tròn: "Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ?"
Bạn Vuông: "Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ?"
Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?
Xem phân tích logic câu hỏi Tranh luận
Ý kiến của bạn Vuông là hoàn toàn chính xác!
Để bác bỏ một khẳng định tổng quát ("Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"), ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ:
• Hai góc cùng bằng $40^\circ$ nằm ở hai vị trí rời nhau (khác đỉnh) thì hiển nhiên không phải là hai góc đối đỉnh.
• Hai góc so le trong bằng nhau hoặc hai góc kề nhau bằng nhau cũng không phải là hai góc đối đỉnh.
Do đó: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" là định lí ĐÚNG, nhưng khẳng định đảo "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh" là SAI.
Bài tập SGK trang 57
Lời giải chi tiết từng bước cho 3 bài toán sách giáo khoaCó thể coi định lí "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?
Xem lời giải chi tiết Bài 3.24
Trả lời: HOÀN TOÀN CÓ THỂ COI NHƯ VẬY.
Cách suy ra:
Giả sử hai đường thẳng phân biệt $ và $ cùng vuông góc với đường thẳng $.
Khi đó, đường thẳng $ cắt cả hai đường thẳng $ và $ tạo thành các góc vuông ($90^\circ$).
Xét một cặp góc đồng vị (hoặc một cặp góc so le trong) do đường thẳng $ tạo ra với $ và $:
Cả hai góc này đều có số đo bằng $90^\circ$, do đó chúng bằng nhau ($90^\circ = 90^\circ$).
Theo định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta kết luận ngay \parallel b$.
Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: "Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại". Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?
Xem chứng minh chi tiết Bài 3.25
Giả thiết và kết luận:
• GT: \parallel b, c \perp a$ tại $.
• KL: \perp b$.
Chứng minh:
1. Vì \parallel b$ và $ cắt $ tại $ nên theo tiên đề Euclid, đường thẳng $ cũng cắt đường thẳng $ tại điểm $.
2. Vì \perp a$ tại $ nên trong các góc tạo thành tại đỉnh $ có góc $\widehat{A_1} = 90^\circ$.
3. Vì \parallel b$ nên góc đồng vị $\widehat{B_1}$ tại đỉnh $ bằng với $\widehat{A_1}$: $\widehat{B_1} = \widehat{A_1} = 90^\circ$.
4. Vì $\widehat{B_1} = 90^\circ$ nên \perp b$ tại $.
Những khẳng định đúng đã biết được sử dụng:
• Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại (hệ quả Tiên đề Euclid).
• Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.
• Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau tạo thành một góc $90^\circ$).
Cho góc $\widehat{xOy}$ không phải là góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
(1) Nếu $ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ thì $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$.
(2) Nếu tia $ thoả mãn $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ thì $ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.
Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng. (Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác).
Xem lời giải chi tiết Bài 3.26
• Khẳng định (1) là khẳng định ĐÚNG: Theo định nghĩa tia phân giác của một góc, tia phân giác nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau nên $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$.
• Khẳng định (2) là khẳng định SAI: Vì điều kiện $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ chưa đủ để kết luận $ là tia phân giác, mà còn thiếu điều kiện tia $ phải nằm giữa hai tia $ và $.
Phản ví dụ:
Vẽ tia phân giác $ của góc $\widehat{xOy}$. Lấy tia '$ là tia đối của tia $.
Khi đó ta có: $\widehat{xOt'} = 180^\circ - \widehat{xOt}$ và $\widehat{yOt'} = 180^\circ - \widehat{tOy}$.
Vì $\widehat{xOt} = \widehat{tOy}$ nên suy ra $\widehat{xOt'} = \widehat{yOt'}$.
Mặc dù $\widehat{xOt'} = \widehat{yOt'}$ nhưng tia '$ nằm ngoài góc $\widehat{xOy}$ (không nằm giữa , Oy$) nên '$ không thể là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.