Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử qua điểm $ có hai đường thẳng phân biệt $ và $ cùng vuông góc với đường thẳng $ ( \perp d$ và \perp d$, với \ne b$).

Theo định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”, ta suy ra:

$ \parallel b$$

Mặt khác, theo giả thiết thì cả hai đường thẳng $ và $ đều đi qua điểm $, tức là $ và $ có điểm chung là $.

Điều này mâu thuẫn với tính chất của hai đường thẳng song song (hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung nào).

Sự mâu thuẫn đó chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Vậy không thể có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua $ và vuông góc với $.

Kết luận: Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm $ và vuông góc với đường thẳng $ (điều phải chứng minh).

1. Xác định các cặp đường thẳng song song:

• Vì \parallel b$ và \parallel c$ nên \parallel c$. Do đó, ba đường thẳng nằm ngang đôi một song song với nhau, tạo thành 3 cặp: $(a, b)$, $(b, c)$, $(a, c)$.
• Vì \perp a$ và \perp a$ ( \ne n$) nên theo định lí hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, ta có \parallel n$. Tạo thành 1 cặp: $(m, n)$.

Tổng số cặp đường thẳng song song là: $3 + 1 = 4$ cặp.

2. Xác định các cặp đường thẳng vuông góc:

• Vì \parallel b \parallel c$ mà \perp a$ nên đường thẳng $ cũng vuông góc với $ và $ ( \perp b, m \perp c$). Vậy $ vuông góc với cả 3 đường nằm ngang, tạo thành 3 cặp: $(m, a)$, $(m, b)$, $(m, c)$.
• Tương tự, vì \parallel b \parallel c$ mà \perp a$ nên đường thẳng $ cũng vuông góc với $ và $ ( \perp b, n \perp c$). Vậy $ vuông góc với cả 3 đường nằm ngang, tạo thành 3 cặp: $(n, a)$, $(n, b)$, $(n, c)$.

Tổng số cặp đường thẳng vuông góc là: $3 + 3 = 6$ cặp.

Kẻ tia $ song song với tia $ (hướng cùng phía với hai tia $ và $).

Vì \parallel By$ nên ta cũng có \parallel By$ (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba).

• Vì \parallel Cz$ nên hai góc so le trong bằng nhau:
  $\widehat{ACz} = \widehat{xAC}$ (tức $\widehat{C_1} = \widehat{A}$).
• Vì \parallel Cz$ nên hai góc so le trong bằng nhau:
  $\widehat{zCB} = \widehat{yBC}$ (tức $\widehat{C_2} = \widehat{B}$).

Vì tia $ nằm bên trong góc $\widehat{ACB}$ nên:

$$\widehat{ACB} = \widehat{ACz} + \widehat{zCB}$$

Thay các đẳng thức trên vào, ta được:

$$\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) Tính tổng số đo ba góc:

Theo gợi ý, vì tia $ nằm giữa hai tia '$ và $ nên:
$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = \widehat{x'Oz} + \widehat{zOy} = \widehat{x'Oy}$$ Do $ và '$ là hai tia đối nhau nên $\widehat{x'Oy}$ và $\widehat{yOx}$ (tức $\widehat{O_3}$) là hai góc kề bù:
$$\widehat{x'Oy} + \widehat{yOx} = 180^\circ$$ Vậy tổng số đo ba góc là:
$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = (\widehat{O_1} + \widehat{O_2}) + \widehat{O_3} = \widehat{x'Oy} + \widehat{O_3} = 180^\circ$$

b) Tính số đo góc $\widehat{O_2}$:

Từ kết quả câu a, ta có:
$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\circ$$ Thay $\widehat{O_1} = 60^\circ$ và $\widehat{O_3} = 70^\circ$ vào đẳng thức:
$$60^\circ + \widehat{O_2} + 70^\circ = 180^\circ \iff \widehat{O_2} + 130^\circ = 180^\circ$$ Suy ra:
$$\widehat{O_2} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$

Kết luận: $\widehat{O_2} = 50^\circ$.

Cách 1: Theo gợi ý của SGK (Kẻ tia đối):

Kẻ tia $ là tia đối của tia $.
Khi đó, $\widehat{xOy}$ và $\widehat{xOt}$ là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{xOt} = 180^\circ - \widehat{xOy} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ Tương tự, $\widehat{yOz}$ và $\widehat{zOt}$ là hai góc kề bù nên:
$$\widehat{zOt} = 180^\circ - \widehat{yOz} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ Vì tia $ nằm giữa hai tia $ và $ nên:
$$\widehat{zOx} = \widehat{xOt} + \widehat{zOt} = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$$

Cách 2: Sử dụng tổng các góc xung quanh một điểm:

Tổng số đo các góc không có điểm trong chung xung quanh một điểm bằng $360^\circ$:
$$\widehat{xOy} + \widehat{yOz} + \widehat{zOx} = 360^\circ$$ $$\iff 120^\circ + 110^\circ + \widehat{zOx} = 360^\circ \iff 230^\circ + \widehat{zOx} = 360^\circ$$ Suy ra:
$$\widehat{zOx} = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$$

Đáp số: $\widehat{zOx} = 130^\circ$.