• Xét hai tam giác $ABC$ và $DEF$, ta có:

• $AB = DE$ (theo giả thiết);
• $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$ (theo giả thiết);
• $AC = DF$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle ABC = \triangle DEF$ (c.g.c).

• Suy ra $EF = BC = 6\text{ cm}$ (hai cạnh tương ứng).

• Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$, do đó:

$$\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$$

• Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ nên các góc tương ứng bằng nhau:

$$\widehat{DEF} = \widehat{ABC} = 45^\circ$$

$$\widehat{EFD} = \widehat{ACB} = 75^\circ$$

• Xét hai tam giác $ABC$ và $DEF$, ta có:

• $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$ (theo giả thiết);
• $AB = DE$ (theo giả thiết);
• $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 70^\circ$ (theo giả thiết).

Cạnh $AB$ và hai góc kề $\widehat{BAC}, \widehat{ABC}$ của tam giác $ABC$ tương ứng bằng cạnh $DE$ và hai góc kề $\widehat{EDF}, \widehat{DEF}$ của tam giác $DEF$.

Do đó $\triangle ABC = \triangle DEF$ (g.c.g).

• Suy ra $DF = AC = 6\text{ cm}$ (hai cạnh tương ứng).

a) Chứng minh $\triangle AEC = \triangle AED$:

Xét hai tam giác $AEC$ và $AED$, ta có:

• $AE$ là cạnh chung;
• $\widehat{AEC} = \widehat{AED}$ (theo giả thiết);
• $EC = ED$ (theo giả thiết).

Do đó $\triangle AEC = \triangle AED$ (c.g.c).

b) Chứng minh $\triangle ABC = \triangle ABD$:

• Từ $\triangle AEC = \triangle AED$, suy ra:

$AC = AD$ (hai cạnh tương ứng), và $\widehat{CAE} = \widehat{DAE}$ (hai góc tương ứng), hay $\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$.

• Vì $E$ nằm trên đoạn thẳng $AB$ nên:

$\widehat{BEC} = 180^\circ - \widehat{AEC}$ (hai góc kề bù),

$\widehat{BED} = 180^\circ - \widehat{AED}$ (hai góc kề bù).

Do $\widehat{AEC} = \widehat{AED} \implies \widehat{BEC} = \widehat{BED}$.

• Xét hai tam giác $BEC$ và $BED$ có: $BE$ chung, $\widehat{BEC} = \widehat{BED}$, $EC = ED \implies \triangle BEC = \triangle BED$ (c.g.c), suy ra $BC = BD$.

• Xét hai tam giác $ABC$ và $ABD$ có:

• $AC = AD$;
• $\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$;
• $AB$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABC = \triangle ABD$ (c.g.c) (hoặc cũng có thể kết luận theo trường hợp c.c.c vì có thêm $BC = BD$).

a) Chứng minh $\triangle OAC = \triangle OBC$:

• Vì $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$.

• Trong $\triangle OAC$: $\widehat{ACO} = 180^\circ - (\widehat{AOC} + \widehat{CAO})$.

• Trong $\triangle OBC$: $\widehat{BCO} = 180^\circ - (\widehat{BOC} + \widehat{CBO})$.

Vì $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$ và $\widehat{CAO} = \widehat{CBO}$ nên $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$.

• Xét hai tam giác $OAC$ và $OBC$, ta có:

• $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$;
• $OC$ là cạnh chung;
• $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$.

Do đó $\triangle OAC = \triangle OBC$ (g.c.g).

b) Chứng minh $\triangle MAC = \triangle MBC$:

• Từ $\triangle OAC = \triangle OBC$, ta suy ra: $AC = BC$ và $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$.

• Vì $M$ nằm trên tia đối của tia $CO$ nên hai góc $\widehat{ACM}$ và $\widehat{ACO}$ kề bù, tức là $\widehat{ACM} = 180^\circ - \widehat{ACO}$.

Tương tự $\widehat{BCM} = 180^\circ - \widehat{BCO}$.

Do $\widehat{ACO} = \widehat{BCO} \implies \widehat{ACM} = \widehat{BCM}$.

• Xét hai tam giác $MAC$ và $MBC$, ta có:

• $AC = BC$ (chứng minh trên);
• $\widehat{ACM} = \widehat{BCM}$ (chứng minh trên);
• $CM$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle MAC = \triangle MBC$ (c.g.c).