Trên Hình 4.59 có ba đoạn thẳng cùng bằng $3\text{ cm}$: $AB = AC = AD = 3\text{ cm}$. Do đó có 3 tam giác cân:

a) Xét hai tam giác $ABD$ và $ACD$ có:

• $AB = AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• $BD = CD$ ($D$ là trung điểm của $BC$);
• $AD$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c.c.c).

b) Vì $\triangle ABD = \triangle ACD$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc tương ứng). Vậy hai góc ở đáy bằng nhau.

a) Tổng các góc trong tam giác $MPK$ là $180^\circ \implies \widehat{MKP} = 180^\circ - \widehat{M} - \widehat{MPK}$.
Tổng các góc trong tam giác $NPK$ là $180^\circ \implies \widehat{NKP} = 180^\circ - \widehat{N} - \widehat{NPK}$.
Mà $\widehat{M} = \widehat{N}$ (giả thiết) và $\widehat{MPK} = \widehat{NPK}$ ($PK$ là tia phân giác), suy ra $\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$.

b) Xét hai tam giác $MPK$ và $NPK$ có:

• $\widehat{MPK} = \widehat{NPK}$ ($PK$ là tia phân giác);
• $PK$ là cạnh chung;
• $\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle MPK = \triangle NPK$ (g.c.g).

c) Vì $\triangle MPK = \triangle NPK$ nên $PM = PN$ (hai cạnh tương ứng). Do đó tam giác $MNP$ cân tại $P$.

Vì $DF = EF = 4\text{ cm}$ nên tam giác $DEF$ cân tại $F$.
Do đó, hai góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{D} = \widehat{E} = 60^\circ$.

Trong tam giác $DEF$, góc ở đỉnh là: $$\widehat{F} = 180^\circ - (\widehat{D} + \widehat{E}) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$$

Tam giác $DEF$ có ba góc bằng nhau $\widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 60^\circ$ nên tam giác $DEF$ là tam giác đều. Suy ra cạnh còn lại $DE = DF = EF = 4\text{ cm}$.

a) Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì số đo mỗi góc là $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$. Vì có các góc bằng nhau từng đôi một nên tam giác đó có ba cạnh bằng nhau, do đó nó là tam giác đều.

b) Nếu một tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$:

• Nếu góc ở đỉnh bằng $60^\circ$, thì mỗi góc ở đáy bằng $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \implies$ ba góc bằng $60^\circ$.
• Nếu một góc ở đáy bằng $60^\circ$, thì góc ở đáy còn lại cũng bằng $60^\circ$, và góc ở đỉnh bằng $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Vậy một tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$ thì tam giác đó là tam giác đều.

a) Vì điểm $A$ trùng với điểm $B$ khi gấp nên $OA = OB$. Do đó, $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

b) Đo góc thấy nếp gấp $d$ tạo với đoạn thẳng $AB$ một góc $90^\circ$. Vậy đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $O$.

Hình a): Đúng. Đường thẳng vừa đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$, vừa vuông góc với $AB$.

Hình b): Sai. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $CD$ nhưng không vuông góc với $CD$.

Hình c): Sai. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng $EF$ nhưng không đi qua trung điểm của $EF$.

Đo bằng thước thẳng ta thấy $AM = BM$. Khi gấp mảnh giấy theo nếp gấp $d$, đoạn thẳng $MA$ trùng khít lên đoạn thẳng $MB$.

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Hai tam giác $OMA$ và $OMB$ có:

• $OA = OB$ (do $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$);
• $MA = MB$ (theo giả thiết);
• $OM$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle OMA = \triangle OMB$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (hai góc tương ứng).
Mặt khác, vì $\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = 90^\circ$.
Vậy $MO$ vuông góc với $AB$, hay $MO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Do đó $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Vì điểm $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $M$ cách đều hai mút $A$ và $B$:
$$BM = AM = 3\text{ cm}$$

Vì $MA = MB = 3\text{ cm}$ nên tam giác $MAB$ cân tại đỉnh $M$.
Suy ra hai góc ở đáy bằng nhau: $\widehat{MBA} = \widehat{MAB} = 60^\circ$.

Mở rộng: Tam giác $MAB$ cân có một góc bằng $60^\circ$ nên $\triangle MAB$ là tam giác đều, do đó $AB = 3\text{ cm}$.

Cách 1 (Xét tam giác vuông có góc chung $\widehat{A}$):

Xét hai tam giác vuông $ABE$ (vuông tại $E$) và $ACF$ (vuông tại $F$) có:

• $\widehat{A}$ là góc nhọn chung;
• $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$).

Do đó $\triangle ABE = \triangle ACF$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Cách 2 (Xét tam giác vuông có cạnh đáy $BC$ chung):

Xét hai tam giác vuông $BCE$ (vuông tại $E$) và $CBF$ (vuông tại $F$) có cạnh huyền $BC$ chung và góc ở đáy $\widehat{BCE} = \widehat{CBF}$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$).
Do đó $\triangle BCE = \triangle CBF$ (cạnh huyền - góc nhọn) $\implies BE = CF$.

Xét hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có:

• $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• $BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$);
• $AM$ là cạnh chung.

Vậy $\triangle ABM = \triangle ACM$ (c.c.c).

Suy ra:

• $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng), do đó $AM$ là tia phân giác của góc $BAC$.
• $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng). Mà $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Do đó $AM \perp BC$.

a) Nếu $AM \perp BC$, thì hai tam giác vuông $ABM$ và $ACM$ có: $AM$ chung và $MB = MC$. Do đó $\triangle ABM = \triangle ACM$ (hai cạnh góc vuông) $\implies AB = AC$. Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$.

b) Nếu $AM$ là tia phân giác của góc $BAC$:
Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$.
Xét $\triangle MAB$ và $\triangle MDC$ có: $MA = MD$, $\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (đối đỉnh), $MB = MC$.
Suy ra $\triangle MAB = \triangle MDC$ (c.g.c) $\implies AB = CD$ và $\widehat{BAM} = \widehat{CDM}$.
Mà $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ ($AM$ là phân giác), nên $\widehat{CDM} = \widehat{CAM}$.
Tam giác $ACD$ có $\widehat{CDA} = \widehat{CAD}$ nên $\triangle ACD$ cân tại $C \implies AC = CD$.
Từ $AB = CD$ và $AC = CD$, suy ra $AB = AC$. Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$.

a) Trong một tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất (đối diện với góc lớn nhất là $90^\circ$). Do đó cạnh huyền không thể bằng cạnh góc vuông nào. Vì vậy hai cạnh bằng nhau chỉ có thể là hai cạnh góc vuông. Hai cạnh góc vuông này cắt nhau tại đỉnh góc vuông, nên tam giác vuông cân luôn cân tại đỉnh góc vuông.

b) Giả sử tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Khi đó $\widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc ở đáy của tam giác cân).
Mặt khác, trong tam giác vuông thì hai góc nhọn phụ nhau: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.
Suy ra $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

c) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 45^\circ$.
Khi đó $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Do đó $\widehat{B} = \widehat{C} = 45^\circ$, suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Tam giác vừa vuông vừa cân nên là tam giác vuông cân.

Quan sát lưới ô vuông trong Hình 4.70:

• Đoạn thẳng $AB$ nằm ngang có độ dài là $6$ ô vuông. Do đó trung điểm của đoạn thẳng $AB$ cách điểm $A$ một khoảng bằng $3$ ô vuông.
• Đường thẳng $m$ là đường thẳng thẳng đứng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ (cách $A$ đúng 3 ô) và vuông góc với đường kẻ ngang chứa $AB$.

Vậy đường thẳng $m$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Vì $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AD \perp BC$ tại $D$.

Hai tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $D$) và $ACD$ (vuông tại $D$) có:

• Cạnh huyền $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• Cạnh góc vuông $AD$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle ABD = \triangle ACD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra $DB = DC$ (hai cạnh tương ứng), nghĩa là $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.

Vì đường thẳng $AD$ vuông góc với đoạn thẳng $BC$ tại trung điểm $D$ của $BC$, nên đường thẳng $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.