1. Xét tam giác thứ nhất:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$, ta có:

Rút gọn phương trình:

2. Xét tam giác thứ hai:

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$, ta có:

Rút gọn phương trình:

Kết luận: $x = 50^\circ$ và $y = 40^\circ$.

Xét hai tam giác $AMN$ và $BMN$, ta có:

• $AM = BM$ (theo giả thiết);
• $AN = BN$ (theo giả thiết);
• $MN$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle AMN = \triangle BMN\text{ (c.c.c)}$.

Suy ra $\widehat{MAN} = \widehat{MBN}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác $OAM$ và $OBN$, ta có:

• $\widehat{OAM} = \widehat{OBN}$ (theo giả thiết);
• $OA = OB$ (theo giả thiết);
• $\widehat{O}$ là góc chung ($\widehat{AOB}$ chung).

Do đó $\triangle OAM = \triangle OBN\text{ (g.c.g)}$.

Suy ra $AM = BN$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác $NAB$ và $MBA$, ta có:

• $AN = BM$ (theo giả thiết);
• $\widehat{NAB} = \widehat{MBA}$ (theo giả thiết $\widehat{BAN} = \widehat{ABM}$);
• $AB$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle NAB = \triangle MBA\text{ (c.g.c)}$.

Suy ra $\widehat{NBA} = \widehat{MAB}$ (hai góc tương ứng), tức là $\widehat{ABN} = \widehat{BAM}$.

1. Chứng minh $MB = NB$:

• Vì $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $MA = MB$.
• Vì $N$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $NA = NB$.
• Mặt khác, theo giả thiết $AM = AN$, suy ra:
  $$MB = MA = NA = NB$$

Do đó $MB = NB$.

2. Chứng minh $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$:

Xét hai tam giác $AMB$ và $ANB$, ta có:

• $MA = NA$ (theo giả thiết);
• $MB = NB$ (chứng minh trên);
• $AB$ là cạnh chung.

Do đó $\triangle AMB = \triangle ANB\text{ (c.c.c)}$.

Suy ra $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$ (hai góc tương ứng).

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 120^\circ$ nên hai góc ở đáy bằng nhau:

a) Chứng minh $\triangle BAM = \triangle CAN$:

Xét hai tam giác vuông $\triangle BAM$ (vuông tại $A$, vì $MA \perp AB$) và $\triangle CAN$ (vuông tại $A$, vì $NA \perp AC$), ta có:

• $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$);
• $\widehat{B} = \widehat{C} = 30^\circ$ (hai góc nhọn bằng nhau).

Do đó $\triangle BAM = \triangle CAN$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).

b) Chứng minh các tam giác $ANB, AMC$ lần lượt cân tại $N, M$:

• Trong tam giác $ABC$, ta có:
  $$\widehat{MAC} = \widehat{BAC} - \widehat{BAM} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$$
  Tam giác $AMC$ có $\widehat{MAC} = \widehat{C} = 30^\circ$, suy ra tam giác $AMC$ cân tại $M$.
• Tương tự, ta có:
  $$\widehat{NAB} = \widehat{BAC} - \widehat{CAN} = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$$
  Tam giác $ANB$ có $\widehat{NAB} = \widehat{B} = 30^\circ$, suy ra tam giác $ANB$ cân tại $N$.

a) Chứng minh tam giác $CAM$ cân tại $M$:

Trong tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$):

Tam giác $CAM$ có $\widehat{CAM} = 30^\circ$ (theo giả thiết) và $\widehat{C} = 30^\circ$. Suy ra $\widehat{CAM} = \widehat{C} = 30^\circ$.

Do đó tam giác $CAM$ cân tại $M$, kéo theo $MA = MC$.

b) Chứng minh tam giác $BAM$ là tam giác đều:

Ta có $\widehat{BAC} = 90^\circ$, nên:

Tam giác $BAM$ có $\widehat{B} = 60^\circ$ và $\widehat{BAM} = 60^\circ$. Tam giác có hai góc bằng $60^\circ$ là tam giác đều.

Vậy tam giác $BAM$ là tam giác đều, kéo theo $MA = MB = AB$.

c) Chứng minh $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$:

Từ câu a và câu b, ta có:

Vì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $B, C$ trên cạnh $BC$ và $MB = MC$, nên $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.