Bài 20: Tỉ lệ thức
Bài 20: Tỉ lệ thức - Định nghĩa tỉ lệ thức; tính chất của tỉ lệ thức (tích chéo và hoán vị); vận dụng giải các bài toán thực tiễn
- Tỉ số giữa hai số $a$ và $b$ ($b \neq 0$).
- Tỉ lệ thức: Đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (hoặc $a : b = c : d$).
- Ngoại tỉ ($a$ và $d$), Trung tỉ ($b$ và $c$).
- Tính chất tích chéo: $ad = bc$.
- Tính chất hoán vị ngoại tỉ, trung tỉ.
- Nhận biết hai tỉ số có lập thành một tỉ lệ thức hay không.
- Từ một đẳng thức tích $ad = bc$, lập được $4$ tỉ lệ thức tương ứng.
- Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức.
- Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để giải các bài toán thực tế (tỉ xích kích thước, pha chế, quy đổi đơn vị).
Cờ đỏ sao vàng là quốc kì của nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Lá cờ có dạng một hình chữ nhật màu đỏ với hình ngôi sao năm cánh màu vàng nằm ở chính giữa.
Nếu tìm hiểu kĩ hơn em sẽ thấy dù lớn hay nhỏ thì các lá cờ đều có một điểm chung về kích thước. Điểm chung đó là gì nhỉ?
Lá quốc kì cắm trên đỉnh cột cờ Lũng Cú, Tuyên Quang có chiều rộng $6\text{ m}$, chiều dài $9\text{ m}$. Lá quốc kì bố Linh treo tại nhà mỗi dịp lễ có chiều rộng $0{,}8\text{ m}$, chiều dài $1{,}2\text{ m}$.
a) Tính tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của mỗi lá cờ. Viết kết quả này dưới dạng phân số tối giản.
b) So sánh hai tỉ số nhận được.
Xem lời giải HĐ 1
a)
- Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của lá cờ Lũng Cú: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
- Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của lá cờ bố Linh treo: $\frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
b) Vì cả hai tỉ số đều bằng $\frac{2}{3}$ nên ta có: $\frac{6}{9} = \frac{0{,}8}{1{,}2}$.
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:
- Đẳng thức $\frac{6}{9} = \frac{0{,}8}{1{,}2}$ được gọi là một tỉ lệ thức.
- Chú ý: Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ còn được viết dưới dạng: $a : b = c : d$.
- Các số $a, b, c, d$ được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức. Trong đó $a$ và $d$ gọi là các ngoại tỉ (số hạng ngoài), $b$ và $c$ gọi là các trung tỉ (số hạng giữa).
Hai tỉ số sau có lập thành một tỉ lệ thức không?
Xem lời giải Ví dụ 1
Ta viết các tỉ số đã cho dưới dạng tỉ số giữa các số nguyên tối giản:
- $10 : 15 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
- $\frac{2}{7} : \frac{3}{7} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$.
Vì cả hai tỉ số đều bằng $\frac{2}{3}$ nên ta có tỉ lệ thức: $10 : 15 = \frac{2}{7} : \frac{3}{7}$.
Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức tương ứng:
Xem lời giải Luyện tập 1
Tính từng tỉ số:
- $4 : 20 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
- $0{,}5 : 1{,}25 = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}$.
- $\frac{3}{5} : \frac{3}{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$.
Vì $0{,}5 : 1{,}25 = \frac{3}{5} : \frac{3}{2} = \frac{2}{5}$ nên ta có tỉ lệ thức: $0{,}5 : 1{,}25 = \frac{3}{5} : \frac{3}{2}$.
Tròn: "Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai phân số mà thôi."
Vuông: "Điều này có đúng không nhỉ?" Em hãy giúp Vuông trả lời câu hỏi trên nhé!
Xem giải đáp Tranh luận
Ý kiến của bạn Tròn là chưa đầy đủ và chưa chính xác.
- Một phân số $\frac{a}{b}$ bắt buộc $a$ và $b$ phải là các số nguyên ($b \neq 0$).
- Trong khi đó, ở tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, các số hạng $a, b, c, d$ có thể là bất kì số hữu tỉ nào (số thập phân, phân số, hỗn số,...), ví dụ: $\frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac{6}{9}$.
Mặt sân cỏ trong sân vận động Quốc gia Mỹ Đình có dạng hình chữ nhật có chiều dài $105\text{ m}$ và chiều rộng $68\text{ m}$. Nam vẽ mô phỏng mặt sân cỏ này bằng một hình chữ nhật có chiều dài $21\text{ cm}$ và chiều rộng $13{,}6\text{ cm}$. Hỏi Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế hay chưa?
Xem lời giải Vận dụng 1
- Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài thực tế của sân cỏ là: $\frac{68}{105}$.
- Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài trên hình vẽ của Nam là:
$$\frac{13{,}6}{21} = \frac{136}{210} = \frac{68}{105}$$
Vì $\frac{13{,}6}{21} = \frac{68}{105}$ nên Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế.
Quay trở lại tỉ lệ thức $\frac{6}{9} = \frac{0{,}8}{1{,}2}$. Hãy tính các tích chéo $6 \cdot 1{,}2$ và $9 \cdot 0{,}8$ rồi so sánh kết quả.
$\bullet$ $6 \cdot 1{,}2 = 7{,}2$
$\bullet$ $9 \cdot 0{,}8 = 7{,}2$
$\Rightarrow 6 \cdot 1{,}2 = 9 \cdot 0{,}8$. Tích chéo luôn bằng nhau!
Từ đẳng thức $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, ta có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?
Chia cả hai vế cho tích của hai thừa số thích hợp, ta thu được: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}; \quad \frac{2}{4} = \frac{3}{6}; \quad \frac{6}{3} = \frac{4}{2}; \quad \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Tính chất 1 (Tích chéo): Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $ad = bc$ (Tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ).
Tính chất 2 (Hoán vị): Nếu $ad = bc$ (với $a, b, c, d \neq 0$) thì ta có các tỉ lệ thức:
Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức: $0{,}2 \cdot 4{,}5 = 0{,}6 \cdot 1{,}5$.
Xem lời giải Luyện tập 2
Từ đẳng thức $0{,}2 \cdot 4{,}5 = 0{,}6 \cdot 1{,}5$, ta lập được $4$ tỉ lệ thức sau:
Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ($a, b, c, d \neq 0$), ta suy ra:
Phương cùng các bạn dự định làm các lá quốc kì Việt Nam bằng giấy đảm bảo tỉ lệ quy định, chiều rộng $14\text{ cm}$ để tham gia Hội khoẻ Phù Đổng. Tính chiều dài của lá cờ.
Xem lời giải Ví dụ 2
Gọi $x\text{ (cm)}$ là chiều dài của lá cờ Phương và các bạn dự định làm ($x > 0$).
Vì tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của quốc kì Việt Nam luôn bằng $2 : 3$ nên ta có tỉ lệ thức:
$$\frac{14}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{14 \cdot 3}{2} = 21\text{ (cm)}$$
Vậy chiều dài của lá cờ là $21\text{ cm}$.
Để gói $10$ chiếc bánh chưng, bà Nam cần $5\text{ kg}$ gạo nếp. Nếu bà muốn gói $45$ chiếc bánh chưng cùng loại gửi cho người dân vùng lũ thì bà cần bao nhiêu kilôgam gạo nếp?
Xem lời giải Vận dụng 2
Gọi $y\text{ (kg)}$ là khối lượng gạo nếp bà Nam cần để gói $45$ chiếc bánh chưng ($y > 0$).
Vì số gạo nếp và số bánh chưng tỉ lệ với nhau nên ta có tỉ lệ thức:
$$\frac{10}{45} = \frac{5}{y} \Rightarrow y = \frac{45 \cdot 5}{10} = 22{,}5\text{ (kg)}$$
Vậy bà Nam cần $22{,}5\text{ kg}$ gạo nếp.
Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:
Xem lời giải chi tiết Bài 6.1
a) $\frac{10}{16} : \frac{4}{21} = \frac{5}{8} \cdot \frac{21}{4} = \frac{105}{32} = 105 : 32$.
b) $1{,}3 : 2{,}75 = \frac{130}{275} = \frac{26}{55} = 26 : 55$.
c) $\frac{-2}{5} : 0{,}25 = \frac{-2}{5} : \frac{1}{4} = \frac{-2}{5} \cdot 4 = \frac{-8}{5} = (-8) : 5$.
Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:
Xem lời giải chi tiết Bài 6.2
Rút gọn từng tỉ số:
- $12 : 30 = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.
- $\frac{3}{7} : \frac{18}{24} = \frac{3}{7} : \frac{3}{4} = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{7}$.
- $2{,}5 : 6{,}25 = \frac{250}{625} = \frac{2}{5}$.
Vì $12 : 30 = 2{,}5 : 6{,}25$ ($= \frac{2}{5}$) nên ta lập được tỉ lệ thức: $$12 : 30 = 2{,}5 : 6{,}25$$
Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau:
Xem lời giải chi tiết Bài 6.3
a) $\frac{x}{6} = \frac{-3}{4} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot (-3)}{4} = \frac{-18}{4} = \frac{-9}{2} = -4{,}5$.
b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{-20} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot (-20)}{15} = \frac{-100}{15} = \frac{-20}{3}$.
Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức: $14 \cdot (-15) = (-10) \cdot 21$.
Xem lời giải chi tiết Bài 6.4
Từ $14 \cdot (-15) = (-10) \cdot 21$, ta có các tỉ lệ thức:
Để pha nước muối sinh lí, người ta cần pha theo đúng tỉ lệ. Biết rằng cứ $3$ lít nước tinh khiết thì pha với $27\text{ g}$ muối. Hỏi nếu có $45\text{ g}$ muối thì cần pha với bao nhiêu lít nước tinh khiết để được nước muối sinh lí?
Xem lời giải chi tiết Bài 6.5
Gọi $x\text{ (lít)}$ là lượng nước tinh khiết cần dùng để pha với $45\text{ g}$ muối ($x > 0$).
Vì lượng muối và lượng nước tinh khiết tỉ lệ thuận với nhau nên ta có tỉ lệ thức:
$$\frac{3}{x} = \frac{27}{45} \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 45}{27} = 5\text{ (lít)}$$
Vậy cần pha với $5$ lít nước tinh khiết.
Để cày hết một cánh đồng trong $14$ ngày phải sử dụng $18$ máy cày. Hỏi muốn cày hết cánh đồng đó trong $12$ ngày thì phải sử dụng bao nhiêu máy cày (biết năng suất của các máy cày là như nhau)?
Xem lời giải chi tiết Bài 6.6
Gọi $m$ là số máy cày cần thiết để cày xong cánh đồng trong $12$ ngày ($m \in \mathbb{N}^*$).
Vì cùng một diện tích cày và năng suất mỗi máy như nhau nên số ngày cày và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tích số ngày và số máy cày là một hằng số:
$$12 \cdot m = 14 \cdot 18$$
Suy ra tỉ lệ thức:
$$\frac{m}{18} = \frac{14}{12} \Rightarrow m = \frac{18 \cdot 14}{12} = \frac{252}{12} = 21\text{ (máy)}$$
Vậy muốn cày hết cánh đồng trong $12$ ngày thì phải sử dụng $21$ máy cày.