Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau - Định lý dãy hai và nhiều tỉ số bằng nhau; áp dụng chia tỉ lệ và giải toán thực tiễn
- Dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$.
- Các số $a, c, e$ tỉ lệ với các số $b, d, f$ (viết là $a : c : e = b : d : f$).
- Cộng, trừ các số hạng tương ứng ở tử và mẫu của dãy tỉ số.
- Nhận biết và thiết lập dãy tỉ số bằng nhau từ điều kiện bài toán.
- Vận dụng thành thạo tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm các đại lượng chưa biết.
- Giải các bài toán thực tiễn về chia phần tỉ lệ (chia lợi nhuận, quyên góp, phân bổ công việc, pha chế).
Để xây dựng một số phòng học cho một ngôi trường ở bản vùng khó khăn, người ta cần số tiền là $450$ triệu đồng. Ba nhà từ thiện đã đóng góp số tiền đó theo tỉ lệ $3 : 5 : 7$. Hỏi mỗi nhà từ thiện đã đóng góp bao nhiêu tiền?
Cho tỉ lệ thức $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Tính các tỉ số $\frac{2 + 6}{3 + 9}$ và $\frac{2 - 6}{3 - 9}$.
$\bullet$ $\frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$\bullet$ $\frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$
So sánh hai tỉ số nhận được ở HĐ1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.
$\Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{6}{9} = \frac{2 + 6}{3 + 9} = \frac{2 - 6}{3 - 9} = \frac{2}{3}$.
Cả bốn tỉ số đều bằng nhau!
Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra:
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa, tức là $b \neq 0, d \neq 0, b \neq -d$ và $b \neq d$).
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\frac{x}{5} = \frac{y}{11}$ và $x + y = 32$.
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 1
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Từ đây ta tính được:
- $x = 2 \cdot 5 = 10$.
- $y = 2 \cdot 11 = 22$.
Vậy $x = 10$ và $y = 22$.
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\frac{x}{11} = \frac{y}{17}$ và $x - y = 12$.
Xem lời giải Luyện tập
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Từ đây suy ra:
- $x = (-2) \cdot 11 = -22$.
- $y = (-2) \cdot 17 = -34$.
Vậy $x = -22$ và $y = -34$.
Tính chất trên còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:
- Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$, ta còn nói các số $a, c, e$ tỉ lệ với các số $b, d, f$. Khi đó ta cũng viết là:
Ba nhà từ thiện đóng góp số tiền $450$ triệu đồng theo tỉ lệ $3 : 5 : 7$. Hỏi mỗi nhà từ thiện đã đóng góp bao nhiêu tiền?
Xem lời giải chi tiết Ví dụ 2
Gọi số tiền đóng góp của ba nhà từ thiện lần lượt là $x, y, z$ (triệu đồng) ($x, y, z > 0$).
Ta có: $x + y + z = 450$.
Theo đề bài, số tiền đóng góp tỉ lệ với các số $3; 5; 7$, do đó:
$$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra:
- $x = 30 \cdot 3 = 90$ (triệu đồng).
- $y = 30 \cdot 5 = 150$ (triệu đồng).
- $z = 30 \cdot 7 = 210$ (triệu đồng).
Vậy số tiền đóng góp của ba nhà từ thiện lần lượt là $90$; $150$ và $210$ triệu đồng.
Ba nhà đầu tư góp vốn để mở một công ty theo tỉ lệ $2 : 3 : 4$. Cuối năm, số tiền lợi nhuận công ty dự kiến trả cho các nhà đầu tư là $72$ triệu đồng, chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được.
Xem lời giải Vận dụng
Gọi số tiền lợi nhuận ba nhà đầu tư nhận được lần lượt là $a, b, c$ (triệu đồng) ($a, b, c > 0$).
Ta có: $a + b + c = 72$ và $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{a + b + c}{2 + 3 + 4} = \frac{72}{9} = 8$$
Suy ra:
- $a = 8 \cdot 2 = 16$ (triệu đồng).
- $b = 8 \cdot 3 = 24$ (triệu đồng).
- $c = 8 \cdot 4 = 32$ (triệu đồng).
Vậy ba nhà đầu tư nhận được số tiền lợi nhuận lần lượt là $16$ triệu, $24$ triệu và $32$ triệu đồng.
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\frac{x}{9} = \frac{y}{11}$ và $x + y = 40$.
Xem lời giải chi tiết Bài 6.7
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Từ đây ta tìm được:
- $x = 2 \cdot 9 = 18$.
- $y = 2 \cdot 11 = 22$.
Vậy $x = 18$ và $y = 22$.
Tìm hai số $x$ và $y$, biết: $\frac{x}{17} = \frac{y}{21}$ và $x - y = 8$.
Xem lời giải chi tiết Bài 6.8
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra:
- $x = (-2) \cdot 17 = -34$.
- $y = (-2) \cdot 21 = -42$.
Vậy $x = -34$ và $y = -42$.
Tỉ số giữa số sản phẩm làm được của hai công nhân là $0{,}95$. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia $10$ sản phẩm?
Xem lời giải chi tiết Bài 6.9
Đổi $0{,}95 = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$.
Gọi số sản phẩm của người làm ít hơn là $x$ và người làm nhiều hơn là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*$).
Theo đề bài ta có: $y - x = 10$ và $\frac{x}{y} = \frac{19}{20} \Rightarrow \frac{x}{19} = \frac{y}{20}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{x}{19} = \frac{y}{20} = \frac{y - x}{20 - 19} = \frac{10}{1} = 10$$
Suy ra:
- $x = 10 \cdot 19 = 190$ (sản phẩm).
- $y = 10 \cdot 20 = 200$ (sản phẩm).
Vậy hai công nhân làm được lần lượt là $190$ và $200$ sản phẩm.
Ba lớp 7A, 7B và 7C được giao nhiệm vụ trồng $120$ cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B và 7C tỉ lệ với $7; 8; 9$.
Xem lời giải chi tiết Bài 6.10
Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $a, b, c$ (cây) ($a, b, c \in \mathbb{N}^*$).
Theo đề bài ta có: $a + b + c = 120$ và $\frac{a}{7} = \frac{b}{8} = \frac{c}{9}$.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{a}{7} = \frac{b}{8} = \frac{c}{9} = \frac{a + b + c}{7 + 8 + 9} = \frac{120}{24} = 5$$
Từ đó suy ra:
- Lớp 7A trồng được: $a = 5 \cdot 7 = 35$ (cây).
- Lớp 7B trồng được: $b = 5 \cdot 8 = 40$ (cây).
- Lớp 7C trồng được: $c = 5 \cdot 9 = 45$ (cây).
Vậy số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $35$ cây; $40$ cây và $45$ cây.