Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch
Bài 23 Toán 7 Tập 2: Định nghĩa đại lượng tỉ lệ nghịch y = a/x, tính chất tích không đổi x*y = a và ứng dụng BCNN giải bài toán thực tế bám sát SGK.
BÀI 23: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Định nghĩa $y = \frac{a}{x}$, tính chất tích không đổi $x_1y_1 = x_2y_2 = a$ và phương pháp BCNN giải toán thực tế
- Đại lượng tỉ lệ nghịch.
- Hệ số tỉ lệ ($a \ne 0$).
- Công thức liên hệ: $y = \frac{a}{x}$ hay $xy = a$.
- Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch và xác định hệ số tỉ lệ.
- Vận dụng tính chất: tích hai giá trị tương ứng luôn không đổi ($x_1y_1 = x_2y_2 = a$).
- Giải bài toán chia tỉ lệ nghịch bằng cách đưa về dãy tỉ số bằng nhau (phương pháp BCNN hoặc nghịch đảo).
Bốn người thợ cùng làm sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày. Hỏi 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong bao nhiêu ngày (biết năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau)?
Xem lời giải tình huống mở đầu
Gọi thời gian để 6 người thợ xây xong bức tường là $x$ (ngày) ($x > 0$).
Vì năng suất mỗi người như nhau nên số thợ và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:
$$6 \cdot x = 4 \cdot 9 \implies x = \frac{4 \cdot 9}{6} = \frac{36}{6} = 6\text{ (ngày)}$$
Vậy 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường trong 6 ngày.
1. Đại lượng tỉ lệ nghịch
Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường $180\text{ km}$. Gọi $t\ (\text{h})$ là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc $v\ (\text{km/h})$.
HĐ1 Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp:
| $v\ (\text{km/h})$ | $40$ | $50$ | $60$ | $80$ |
|---|---|---|---|---|
| $t\ (\text{h})$ | $4{,}5$ | $3{,}6$ | $3$ | $2{,}25$ |
HĐ2 Viết công thức tính thời gian $t$ theo vận tốc tương ứng $v$:
Công thức: $t = \frac{180}{v}$ (hay $v \cdot t = 180$).
Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $$y = \frac{a}{x}$$ (hay $x \cdot y = a$, với $a$ là hằng số khác 0) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$.
Chú ý: Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$ (vì $y = \frac{a}{x} \implies x = \frac{a}{y}$). Khi đó ta nói hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau.
Biết rằng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x = 2$ thì $y = -4$.
- a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = \frac{a}{x}$. Từ đó viết công thức tính $y$ theo $x$;
- b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 4$;
- c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 0{,}5$.
Xem lời giải chi tiết
a) Ta có $a = xy = 2 \cdot (-4) = -8$. Do đó công thức tính $y$ theo $x$ là: $y = \frac{-8}{x}$.
b) Khi $x = 4$ ta có $y = \frac{-8}{4} = -2$.
c) Từ $y = \frac{-8}{x}$ suy ra $x = \frac{-8}{y}$. Do đó khi $y = 0{,}5$ ta có:
$$x = \frac{-8}{0{,}5} = -16$$
Cho $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 12$.
| $x$ | $x_1 = 2$ | $x_2 = 3$ | $x_3 = 4$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $y_1 = 6$ | $y_2 = 4$ | $y_3 = 3$ |
Nhận xét tích: $x_1y_1 = 2 \cdot 6 = 12;\quad x_2y_2 = 3 \cdot 4 = 12;\quad x_3y_3 = 4 \cdot 3 = 12 = a$.
- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
$$x_1 y_1 = x_2 y_2 = x_3 y_3 = \dots = a$$
- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
$$\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1};\quad \frac{y_1}{y_3} = \frac{x_3}{x_1};\quad \frac{y_2}{y_3} = \frac{x_3}{x_2};\dots$$
Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng $12\text{ cm}^2$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Xem lời giải chi tiết
Gọi chiều dài là $a\ (\text{cm})$ và chiều rộng là $b\ (\text{cm})$.
Vì diện tích $S = a \cdot b = 12\text{ cm}^2$ không đổi, nên $a = \frac{12}{b}$.
Vậy chiều dài và chiều rộng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là $12$.
Một cửa hàng bán gạo cần đóng $300\text{ kg}$ gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau.
a) Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp:
| Lượng gạo mỗi túi (kg) | $5$ | $10$ | ? | ? |
|---|---|---|---|---|
| Số túi tương ứng | ? | ? | $15$ | $12$ |
b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
Xem lời giải chi tiết Vận dụng
a) Gọi lượng gạo mỗi túi là $x\ (\text{kg})$ và số túi là $y$. Ta có $x \cdot y = 300$.
- Khi $x = 5 \implies y = \frac{300}{5} = 60$ túi.
- Khi $x = 10 \implies y = \frac{300}{10} = 30$ túi.
- Khi $y = 15 \implies x = \frac{300}{15} = 20\text{ kg}$.
- Khi $y = 12 \implies x = \frac{300}{12} = 25\text{ kg}$.
b) Vì tích của lượng gạo mỗi túi và số túi luôn bằng $300$ không đổi nên số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là $300$.
2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
Hãy giải bài toán mở đầu (Bốn người thợ xây xong bức tường trong 9 ngày, hỏi 6 người thợ xây xong trong bao nhiêu ngày?).
Gọi $x$ (ngày) là thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường.
Vì năng suất mỗi người như nhau nên số người thợ và thời gian xây xong bức tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có:
$$\frac{x}{9} = \frac{4}{6} \implies x = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6\text{ (ngày)}$$
Vậy 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường trong 6 ngày.
Một nhà thầu ước tính rằng có thể hoàn thành một hợp đồng xây dựng trong 12 tháng với 280 công nhân. Nếu được yêu cầu phải hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng thì nhà thầu đó phải thuê bao nhiêu công nhân (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?
Xem lời giải chi tiết
Gọi số công nhân cần thuê để hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng là $x$ (công nhân) ($x \in \mathbb{N}^*$).
Vì khối lượng công việc không đổi nên số công nhân và số tháng hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:
$$\frac{x}{280} = \frac{12}{10} \implies x = \frac{280 \cdot 12}{10} = 336\text{ (công nhân)}$$
Vậy nhà thầu đó phải thuê 336 công nhân.
Một người mua 65 quả trứng gà gồm ba loại: loại I giá 4 nghìn đồng một quả, loại II giá 3 nghìn đồng một quả và loại III giá 2 nghìn đồng một quả. Hỏi người đó mua bao nhiêu quả trứng mỗi loại, biết rằng số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau?
Xem lời giải chi tiết
Gọi $x, y, z$ (quả) lần lượt là số quả trứng gà loại I, loại II và loại III. Ta có $x + y + z = 65$.
Vì số tiền mua mỗi loại trứng là như nhau nên: $4x = 3y = 2z$.
Chia cả ba vế cho $12$ (vì BCNN$(4, 3, 2) = 12$), ta được dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{4x}{12} = \frac{3y}{12} = \frac{2z}{12} \implies \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
$$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{x + y + z}{3 + 4 + 6} = \frac{65}{13} = 5$$
Suy ra:
- $x = 5 \cdot 3 = 15$ (quả);
- $y = 5 \cdot 4 = 20$ (quả);
- $z = 5 \cdot 6 = 30$ (quả).
Vậy người đó mua 15 quả loại I, 20 quả loại II và 30 quả loại III.
Bạn An mua tổng cộng 34 quyển vở gồm ba loại: loại 120 trang giá 12 nghìn đồng một quyển, loại 200 trang giá 18 nghìn đồng một quyển và loại 240 trang giá 20 nghìn đồng một quyển. Hỏi An mua bao nhiêu quyển vở mỗi loại, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?
Xem lời giải chi tiết
Gọi số quyển vở loại 120 trang, 200 trang và 240 trang An mua lần lượt là $x, y, z$ (quyển) ($x, y, z \in \mathbb{N}^*$). Ta có $x + y + z = 34$.
Vì số tiền mua mỗi loại vở là như nhau nên: $12x = 18y = 20z$.
Chia cả ba vế cho $180$ (vì BCNN$(12, 18, 20) = 180$):
$$\frac{12x}{180} = \frac{18y}{180} = \frac{20z}{180} \implies \frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{9}$$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{9} = \frac{x + y + z}{15 + 10 + 9} = \frac{34}{34} = 1$$
Suy ra: $x = 1 \cdot 15 = 15$; $y = 1 \cdot 10 = 10$; $z = 1 \cdot 9 = 9$.
Vậy bạn An mua 15 quyển loại 120 trang, 10 quyển loại 200 trang và 9 quyển loại 240 trang.
III. Lời giải Toàn bộ Bài tập SGK (Trang 18)
Cho biết $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp:
| $x$ | $2$ | $4$ | $5$ | ? | ? | ? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-6$ | ? | ? | $3$ | $10$ | $0{,}5$ |
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng $x$ và $y$.
Xem lời giải chi tiết
Hệ số tỉ lệ: $a = x_1 y_1 = 2 \cdot (-6) = -12$.
Công thức mô tả mối quan hệ giữa hai đại lượng là: $y = \frac{-12}{x}$ (hay $x = \frac{-12}{y}$).
Tính các giá trị tương ứng:
- Khi $x = 4 \implies y = \frac{-12}{4} = -3$.
- Khi $x = 5 \implies y = \frac{-12}{5} = -2{,}4$.
- Khi $y = 3 \implies x = \frac{-12}{3} = -4$.
- Khi $y = 10 \implies x = \frac{-12}{10} = -1{,}2$.
- Khi $y = 0{,}5 \implies x = \frac{-12}{0{,}5} = -24$.
Bảng số liệu hoàn chỉnh:
| $x$ | $2$ | $4$ | $5$ | $-4$ | $-1{,}2$ | $-24$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-6$ | $-3$ | $-2{,}4$ | $3$ | $10$ | $0{,}5$ |
Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng $x$ và $y$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
| $x$ | $3$ | $6$ | $16$ | $24$ |
| $y$ | $160$ | $80$ | $30$ | $20$ |
| $x$ | $4$ | $8$ | $25$ | $32$ |
| $y$ | $160$ | $80$ | $26$ | $20$ |
Xem lời giải chi tiết
a) Bảng a:
Xét các tích tương ứng: $3 \cdot 160 = 480;\quad 6 \cdot 80 = 480;\quad 16 \cdot 30 = 480;\quad 24 \cdot 20 = 480$.
Vì tích các giá trị tương ứng luôn không đổi (và bằng 480) nên $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
b) Bảng b:
Xét các tích: $4 \cdot 160 = 640;\quad 8 \cdot 80 = 640$, nhưng $25 \cdot 26 = 650 \ne 640$.
Vì tích $xy$ không không đổi nên $x$ và $y$ KHÔNG PHẢI là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Cho biết $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$, $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$. Hỏi $y$ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với $z$ và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải chi tiết
Vì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ nên: $y = \frac{a}{x}$ ($a \ne 0$).
Vì $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $b$ nên: $x = \frac{b}{z}$ ($b \ne 0$).
Thay $x = \frac{b}{z}$ vào công thức của $y$, ta có:
$$y = \frac{a}{\frac{b}{z}} = a \cdot \frac{z}{b} = \frac{a}{b} \cdot z$$
Vì $a \ne 0$ và $b \ne 0$ nên $\frac{a}{b} \ne 0$.
Do đó, $y$ TỈ LỆ THUẬN với $z$ theo hệ số tỉ lệ là $\frac{a}{b}$.
Với cùng số tiền để mua 17 tập giấy A4 loại I có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại II, biết rằng giá tiền giấy loại II chỉ bằng $85\%$ giá tiền giấy loại I?
Xem lời giải chi tiết
Gọi giá tiền một tập giấy loại I là $p_1$ (đồng) và giá tiền loại II là $p_2$ (đồng).
Theo đề bài: $p_2 = 85\% \cdot p_1 = 0{,}85 \cdot p_1 = \frac{17}{20}p_1$.
Với cùng một số tiền, số tập giấy mua được tỉ lệ nghịch với giá tiền mỗi tập giấy.
Gọi $n_2$ là số tập giấy loại II mua được. Ta có:
$$n_2 \cdot p_2 = 17 \cdot p_1 \implies n_2 = \frac{17 \cdot p_1}{p_2} = \frac{17 \cdot p_1}{\frac{17}{20}p_1} = 17 \cdot \frac{20}{17} = 20\text{ (tập)}$$
Vậy có thể mua được 20 tập giấy A4 loại II.
Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy và năng suất của các máy như nhau?
Xem lời giải chi tiết
Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x, y, z$ (máy) ($x, y, z \in \mathbb{N}^*$).
Vì làm trên ba cánh đồng cùng diện tích và năng suất mỗi máy như nhau nên số máy cày và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:
$$4x = 6y = 8z$$
Chia cả ba vế cho $24$ (vì BCNN$(4, 6, 8) = 24$):
$$\frac{4x}{24} = \frac{6y}{24} = \frac{8z}{24} \implies \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$$
Theo đề bài: $x - y = 2$. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{x - y}{6 - 4} = \frac{2}{2} = 1$$
Suy ra: $x = 1 \cdot 6 = 6$; $y = 1 \cdot 4 = 4$; $z = 1 \cdot 3 = 3$.
Vậy đội thứ nhất có 6 máy, đội thứ hai có 4 máy và đội thứ ba có 3 máy cày.
Sơ đồ diện tích: Số máy × Số ngày = hằng số không đổi (24 công máy)