Bài 28: Phép chia đa thức một biến
Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, phương pháp đặt tính chia đa thức một biến và trường hợp chia có dư bám sát 100% SGK Toán 7 Kết nối tri thức.
Bài 28. Phép chia đa thức một biến
Quy tắc chia đơn thức, thuật toán đặt tính chia đa thức một biến và trường hợp chia có dư bám sát SGK Toán 7 Kết nối tri thức.
• Phép chia hết
• Phép chia có dư
• Thương, dư (trong phép chia đa thức)
- Thực hiện các phép tính chia hai đa thức một biến.
- Nhận biết và vận dụng các tính chất của các phép tính về đa thức trong tính toán.
Bài toán: Tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$, trong đó:
$$A = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \quad \text{và} \quad B = x^2 - 2$$
Làm quen với phép chia đa thức
Phép chia hết
1. Xét hai đơn thức $6x^4$ và $-2x^3$, ta thấy $6x^4 = (-2x^3) \cdot (-3x)$. Từ đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:
$$6x^4 : (-2x^3) = -3x, \quad \text{hay} \quad \frac{6x^4}{-2x^3} = -3x$$
và nói rằng đó là một phép chia hết.
2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức $A$ và $B$ với $B \neq 0$. Nếu có một đa thức $Q$ sao cho $A = B \cdot Q$ thì ta có phép chia hết:
$$A : B = Q \quad \text{hay} \quad \frac{A}{B} = Q$$
trong đó: $A$ là đa thức bị chia; $B$ là đa thức chia; $Q$ là đa thức thương (gọi tắt là thương). Khi đó ta còn nói đa thức $A$ chia hết cho đa thức $B$.
3. Để thực hiện phép chia $6x^4$ cho $(-2x^3)$, ta làm như sau:
- Chia hai hệ số: $6 : (-2) = -3$.
- Chia hai luỹ thừa của biến: $x^4 : x^3 = x$.
- Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là $-3x$.
Khi nào thì $ax^m$ chia hết cho $bx^n$?
Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
Xem lời giải HĐ1
a) $12x^3 : (4x) = (12 : 4) \cdot (x^3 : x) = 3x^2$.
b) $(-2x^4) : x^4 = (-2 : 1) \cdot (x^4 : x^4) = -2 \cdot 1 = -2$.
c) $2x^5 : 5x^2 = (2 : 5) \cdot (x^5 : x^2) = \frac{2}{5}x^3 = 0{,}4x^3$.
Giả sử $x \neq 0$. Hãy cho biết:
a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của $x$ cũng là một luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương?
b) Thương hai luỹ thừa của $x$ cùng bậc bằng bao nhiêu?
Xem lời giải HĐ2
a) Để $x^m : x^n = x^{m - n}$ là luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương thì $m - n > 0 \implies m > n$.
b) Thương hai luỹ thừa cùng bậc của $x$ bằng $1$, vì $x^m : x^m = x^{m - m} = x^0 = 1$.
Cho hai đơn thức $ax^m$ và $bx^n$ ($m, n \in \mathbb{N}$; $a, b \in \mathbb{R}$ và $b \neq 0$). Khi đó nếu $m \ge n$ thì phép chia $ax^m$ cho $bx^n$ là phép chia hết và ta có:
Thực hiện các phép chia sau:
Xem lời giải Luyện tập 1
a) $3x^7 : \left(\frac{1}{2} x^4\right) = \left(3 : \frac{1}{2}\right) \cdot (x^7 : x^4) = 6x^3$.
b) $(-2x) : x = (-2 : 1) \cdot (x : x) = -2 \cdot 1 = -2$.
c) $0{,}25x^5 : (-5x^2) = [0{,}25 : (-5)] \cdot (x^5 : x^2) = -0{,}05x^3 = -\frac{1}{20}x^3$.
Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết
Để chia đa thức $A = 2x^4 - 13x^3 + 15x^2 + 11x - 3$ cho đa thức $B = x^2 - 4x - 3$, ta thực hiện đặt tính chia qua 5 bước:
Sơ đồ 5 bước đặt tính chia đa thức cột dọc (SGK trang 40-41)
$$A = B \cdot (2x^2 - 5x + 1)$$
Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. Cách làm như trong ví dụ sau:
$$(-6x^5 + 7x^4 - 6x^3) : 3x^3 = (-6x^5 : 3x^3) + (7x^4 : 3x^3) + (-6x^3 : 3x^3) = -2x^2 + \frac{7}{3}x - 2$$
Thực hiện phép chia:
Xem lời giải Luyện tập 2
a) Chia đa thức cho đơn thức:
$$(-x^6 + 5x^4 - 2x^3) : 0{,}5x^2 = (-x^6 : 0{,}5x^2) + (5x^4 : 0{,}5x^2) + (-2x^3 : 0{,}5x^2)$$
$$= -2x^4 + 10x^2 - 4x$$
b) Đặt tính chia $(9x^2 + 0x - 4) : (3x + 2)$:
- Lấy $9x^2 : 3x = 3x$. Trừ đi $(3x + 2) \cdot 3x = 9x^2 + 6x$ được dư thứ nhất: $-6x - 4$.
- Lấy $(-6x) : 3x = -2$. Trừ đi $(3x + 2) \cdot (-2) = -6x - 4$ được dư $0$.
$$\implies (9x^2 - 4) : (3x + 2) = 3x - 2$$
Tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$ với $A = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ và $B = x^2 - 2$.
Xem lời giải Vận dụng
Vì $A = B \cdot P \implies P = A : B = (2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2) : (x^2 - 2)$.
Đặt tính chia:
- $2x^4 : x^2 = 2x^2$. Lấy $A - (x^2 - 2) \cdot 2x^2 = A - (2x^4 - 4x^2) = -3x^3 + x^2 + 6x - 2$.
- $(-3x^3) : x^2 = -3x$. Trừ đi $(x^2 - 2) \cdot (-3x) = -3x^3 + 6x$, còn lại $x^2 - 2$.
- $(x^2) : x^2 = 1$. Trừ đi $(x^2 - 2) \cdot 1 = x^2 - 2$, dư $0$.
Vậy đa thức cần tìm là $P = 2x^2 - 3x + 1$.
Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư
Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức $D = 5x^3 - 3x^2 - x + 7$ cho đa thức $E = x^2 + 1$ được minh họa qua sơ đồ cột dọc:
Sơ đồ đặt tính chia có dư và lưu ý dòng khuyết hạng tử (SGK trang 42)
Mô tả lại các bước thực hiện trong phép chia đa thức $D$ cho $E$.
Xem trả lời
Dư $G = -6x + 10$ có bậc 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?
Xem trả lời
Hãy kiểm tra lại đẳng thức: $D = E \cdot (5x - 3) + G$.
Xem trả lời
Khi chia đa thức $A$ cho đa thức $B$ ($B \neq 0$):
- Đa thức dư $R$ phải bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$.
- Nếu thương là đa thức $Q$, dư là đa thức $R$ thì ta có đẳng thức:
Tìm dư $R$ và thương $Q$ trong phép chia đa thức $A = 3x^4 - 6x - 5$ cho đa thức $B = x^2 + 3x - 1$ rồi viết $A$ dưới dạng $A = B \cdot Q + R$.
Xem lời giải Luyện tập 3
Viết $A = 3x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 6x - 5$. Đặt tính chia cho $B = x^2 + 3x - 1$:
- $3x^4 : x^2 = 3x^2$. Lấy $A - (x^2 + 3x - 1) \cdot 3x^2 = -9x^3 + 3x^2 - 6x - 5$.
- $(-9x^3) : x^2 = -9x$. Trừ đi $(x^2 + 3x - 1) \cdot (-9x) = 30x^2 - 15x - 5$.
- $30x^2 : x^2 = 30$. Trừ đi $(x^2 + 3x - 1) \cdot 30 = -105x + 25$.
Vì bậc của $(-105x + 25)$ bằng 1 nhỏ hơn bậc 2 của $B$, nên phép chia kết thúc.
Thương $Q = 3x^2 - 9x + 30$; Dư $R = -105x + 25$.
Biểu diễn: $$3x^4 - 6x - 5 = (x^2 + 3x - 1)(3x^2 - 9x + 30) + (-105x + 25)$$
Tròn: Đố Vuông tìm được dư trong phép chia $x^3 - 3x^2 + x - 1$ cho $x^2 - 3x$.
Vuông: Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là $x - 1$.
Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?
Xem giải thích thử thách nhỏ
Vuông làm nhanh vì Vuông nhận thấy:
$$x^3 - 3x^2 + x - 1 = (x^3 - 3x^2) + (x - 1) = x(x^2 - 3x) + (x - 1)$$
Vì đa thức dư $(x - 1)$ có bậc là 1, nhỏ hơn bậc của đa thức chia $(x^2 - 3x)$ là 2, nên theo định nghĩa phép chia có dư, số dư chính là $x - 1$ (và thương là $x$).
Bài tập cuối bài (SGK trang 43)
Xem lời giải Bài 7.30
a) $8x^5 : 4x^3 = (8 : 4)(x^5 : x^3) = 2x^2$.
b) $120x^7 : (-24x^5) = [120 : (-24)](x^7 : x^5) = -5x^2$.
c) $\frac{3}{4}(-x)^3 : \frac{1}{8}x = -\frac{3}{4}x^3 : \frac{1}{8}x = \left(-\frac{3}{4} : \frac{1}{8}\right)(x^3 : x) = -6x^2$.
d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2) = [-3{,}72 : (-4)](x^4 : x^2) = 0{,}93x^2$.
Xem lời giải Bài 7.31
a) $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x) = [-5x^3 : (-5x)] + [15x^2 : (-5x)] + [18x : (-5x)] = x^2 - 3x - \frac{18}{5} = x^2 - 3x - 3{,}6$.
b) $(-2x^5 - 4x^3 + 3x^2) : 2x^2 = (-2x^5 : 2x^2) + (-4x^3 : 2x^2) + (3x^2 : 2x^2) = -x^3 - 2x + \frac{3}{2}$.
Xem lời giải Bài 7.32
a) Đặt tính chia $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1)$:
- $6x^3 : 3x = 2x^2$. Nhân $2x^2(3x - 1) = 6x^3 - 2x^2$. Trừ đi còn lại: $-9x + 3$.
- $(-9x) : 3x = -3$. Nhân $-3(3x - 1) = -9x + 3$. Trừ đi được $0$.
Kết quả: $(6x^3 - 2x^2 - 9x + 3) : (3x - 1) = 2x^2 - 3$.
b) Đặt tính chia $(4x^4 + 14x^3 + 0x^2 - 21x - 9) : (2x^2 - 3)$:
- $4x^4 : 2x^2 = 2x^2$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 2x^2 = 4x^4 - 6x^2$, còn $14x^3 + 6x^2 - 21x - 9$.
- $14x^3 : 2x^2 = 7x$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 7x = 14x^3 - 21x$, còn $6x^2 - 9$.
- $6x^2 : 2x^2 = 3$. Trừ đi $(2x^2 - 3) \cdot 3 = 6x^2 - 9$, dư $0$.
Kết quả: $(4x^4 + 14x^3 - 21x - 9) : (2x^2 - 3) = 2x^2 + 7x + 3$.
Thực hiện phép chia $0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2$ cho $0{,}25x^n$ trong mỗi trường hợp:
Xem lời giải Bài 7.33
a) Với $n = 2$, số chia là $0{,}25x^2$. Vì các số mũ $5, 3, 2 \ge 2$ nên đây là phép chia hết:
$$(0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 - 2x^2) : 0{,}25x^2 = 2x^3 + 12{,}8x - 8$$
b) Với $n = 3$, số chia là $0{,}25x^3$. Hạng tử $-2x^2$ có bậc 2 nhỏ hơn bậc 3 của số chia nên không chia hết cho $0{,}25x^3$. Phép chia này có thương là $2x^2 + 12{,}8$ và dư là $-2x^2$.
Trong mỗi trường hợp, tìm thương $Q(x)$ và dư $R(x)$ rồi biểu diễn $F(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x)$:
Xem lời giải Bài 7.34
a) Phép chia cho đơn thức $3x^2$:
Nhóm các hạng tử có số mũ $\ge 2$: $(6x^4 - 3x^3 + 15x^2) : 3x^2 = 2x^2 - x + 5$. Còn phần $2x - 1$ có bậc 1 < bậc 2 của $3x^2$.
Thương $Q(x) = 2x^2 - x + 5$; Dư $R(x) = 2x - 1$.
Biểu diễn: $$6x^4 - 3x^3 + 15x^2 + 2x - 1 = 3x^2(2x^2 - x + 5) + (2x - 1)$$
b) Đặt tính chia cho $3x^2 + x + 1$:
- $12x^4 : 3x^2 = 4x^2$. Lấy $F(x) - (3x^2 + x + 1) \cdot 4x^2 = 6x^3 - 4x^2 - x - 3$.
- $6x^3 : 3x^2 = 2x$. Trừ đi $(3x^2 + x + 1) \cdot 2x = -6x^2 - 3x - 3$.
- $(-6x^2) : 3x^2 = -2$. Trừ đi $(3x^2 + x + 1) \cdot (-2) = -x - 1$.
Vì bậc của $(-x - 1)$ là 1 < bậc 2 của $G(x)$ nên phép chia dừng lại.
Thương $Q(x) = 4x^2 + 2x - 2$; Dư $R(x) = -x - 1$.
Biểu diễn: $$12x^4 + 10x^3 - x - 3 = (3x^2 + x + 1)(4x^2 + 2x - 2) + (-x - 1)$$
Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức $21x - 4$ cho $3x^2$. Em có thể giúp bạn Tâm được không?
Xem lời giải Bài 7.35
Ta có thể giúp bạn Tâm như sau:
Đa thức bị chia $A = 21x - 4$ có bậc bằng 1. Đa thức chia $B = 3x^2$ có bậc bằng 2.
Vì bậc của đa thức bị chia nhỏ hơn bậc của đa thức chia ($1 < 2$), nên phép chia này không thực hiện được phép chia có thương khác 0.
Kết luận: Đa thức thương là $Q = 0$ và đa thức dư là $R = 21x - 4$.
Khi đó ta có đẳng thức: $$21x - 4 = 3x^2 \cdot 0 + (21x - 4)$$